Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

64
[
]
[
]
∑
∑
=
−
+
=
+
−
θ
−
θ
=
θ
−
θ
=
n
m
m
m
m
m
im
i
n
m
m
m
m
m
im
i
iX
X
I
I
iX
X
U
U
1 1
1 1
,
sin cos
,
sin cos
(4.42)
∑
∑
=
+
=
−
=
=
n
m
m
im
i
n
m
m
im
i
X
I
I
X
U
U
1 2
1 2
,
,
(4.43) где
l
k
X
X
X
m
m
m
m
m
=
θ
±
=
±
,
отр пад
. (4.44)
Уравнения (4.42), (4.43) можно переписать в матричной форме:
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−

65
4.3. Связь между ABCD-матрицей и S-матрицей 4n-полюсника
Выразим
S-матрицу 4n-полюсника через его ABCD-матрицу. Для этого матричное уравнение (4.10), связывающее напряжение
U
1
и ток
I
1
на
n вхо- дах 4
n-полюсника с векторами напряжения
U
2
и тока
I
2
на его
n выходах, распишем покомпонентно:
,
2 2
1 2
2 1
I
D
U
C
I
I
B
U
A
U
+
=
+
=
(4.52)
Выразим в (4.52) напряжения и токи через волновые переменные:
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2 2
2 1
0 2
2 2
1 0
1 1
2 1
0 2
2 2
1 0
2 2
2 1
0 1
1 2
1 0
b
a
Z
D
b
a
Z
C
b
a
Z
b
a
Z
B
b
a
Z
A
b
a
Z
+
−
+
+
=
−
+
−
+
+
=
+
−
−
−
(4.53) где
Z
0
– диагональная матрица, диагональные элементы которой равны вол- новым сопротивлениям линий на входах и выходах 4
n-полюсника. Решая эту систему матричных уравнений, находим
[
] [
]
[
]
[
]
)
(
)
(
)
(
2
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 0
1 0
1 0
1 0
1 1
0 1
0 2
2 0
1 0
1 1
0 1
1 0
1 1
0 1
1 0
1 1
0 1
1 0
1 1
0 1
1 0
1
a
C
Z
D
B
Z
A
C
Z
D
B
Z
A
a
C
Z
D
B
Z
A
b
a
C
Z
D
C
Z
D
B
Z
A
B
Z
A
C
Z
D
B
Z
A
a
C
Z
D
B
Z
A
C
Z
D
B
Z
A
b
−
+
+
−
×
×
+
+
+
+
+
+
+
=
−
+
+
−
+
×
×
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(4.54)
Отсюда получаем искомую
S-матрицу для 4n-полюсника
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
22 21 12 11
S
S
S
S
S
, (4.55) где
[
] [
]
[
]
[
]
)
(
)
(
,
)
(
2
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
0 1
0 1
0 1
0 22 1
0 1
0 21 0
1 0
1 1
0 1
1 0
1 1
0 1
1 0
12 1
0 1
1 0
1 1
0 1
1 0
11
C
Z
D
B
Z
A
C
Z
D
B
Z
A
S
C
Z
D
B
Z
A
S
C
Z
D
C
Z
D
B
Z
A
B
Z
A
C
Z
D
B
Z
A
S
C
Z
D
B
Z
A
C
Z
D
B
Z
A
S
−
+
+
−
+
+
+
=
+
+
+
=
−
+
+
−
+
×
×
+
+
+
=
+
+
+
−
+
+
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(4.56)

66
4.4. Расчет S-матрицы микрополоскового решетчатого фильтра
Микрополосковый решетчатый фильтр представляет собой отрезок связанных микрополосковых линий. Каждый полосковый проводник такого отрезка является микрополосковым резонатором. Все микрополосковые ре- зонаторы фильтра электромагнитно связаны между собой по всей их длине.
Вход и выход фильтра подключаются непосредственно к проводникам край- них резонаторов, как показано на рис. 4.9. Такое подключение резонаторов называют кондуктивным. Как и во всяком фильтре, каждый из его микро- полосковых резонаторов настроен с учетом влияния всех его связей на цен- тральную частоту полосы пропускания. В частности это может достигаться путем регулирования ширины полосковых проводников.
а
б
Рис. 4.9. Микрополосковый решетчатый фильтр:
а – диагональное кондуктивное подключение; б – смежное кондуктивное подключение
Как видно из рис. 4.9, существуют два способа симметричного под- ключения решетчатого фильтра – диагональный и смежный. Мы будем рас- сматривать случай диагонального кондуктивного подключения фильтра. Та- кое подключение, как показывают исследования, обеспечивает более сим- метричные склоны полосы пропускания.
Микрополосковый решетчатый фильтр наиболее просто можно рассчи- тать, используя приближенную модель (рис. 4.10), которая содержит три кас- кадно соединенных отрезка связанных микрополосковых линий. На схеме вытянутые прямоугольники изображают протяженные проводники отрезков микрополосковых линий. Два прямоугольника с разрывом – вверху и внизу – изображают подводящие линии внешнего тракта СВЧ. Сплошными линиями показаны соединения протяженных проводников. Эти соединительные линии имеют нулевую физическую длину. Свободные концы проводников отрезков

67
замкнуты на емкости
C
i
. Эти емкости моделируют эффективные концевые емкости разомкнутых концов полосковых проводников. Их величина опреде- ляется шириной проводника
W, толщиной подложки h и диэлектрической проницаемостью
ε
r
ее материала.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
0
l
1
l
1
+l
2
l
z
С
1
С
1
С
2
С
2
С
3
С
4
С
5
С
3
С
4
С
5
Рис. 4.10. Расчетная модель микрополоскового решетчатого фильтра
Пусть на верхний вход фильтра, который обозначен цифрой
1
, падает волна заданной амплитуды
a
1
. Этой амплитуде отвечает напряжение и ток на входе
1 1
1 1
1 1
1
,
Z
a
I
Z
a
U
=
=
, (4.57) где
Z
1
– волновое сопротивление линии на входе
1
. На нижний вход фильтра, который обозначен цифрой
2
, падает волна амплитудой
a
2
. Этой амплитуде отвечает напряжение и ток
2 2
2 2
2 2
,
Z
a
I
Z
a
U
=
=
, (4.58) где
Z
2
– волновое сопротивление линии на входе
2
. Напомним, что положи- тельные направления токов на входах направлены внутрь четырехполюсника.
Падающие на фильтр волны
a
1
и
a
2
вызывают в подводящих линиях отраженные волны
b
1
и
b
2
, а также вызывают в каждом проводнике фильтра по две волны, распространяющиеся в противоположные направления. Про- нумеруем все вторичные волны, начиная с
b
1
и
b
2
, как показано на рис. 4.10.
Амплитуды вторичных волн обозначим
X
i
, где
i
=
1
,
2
, …,
32
. Номера волн, распространяющихся слева направо, расположим на левом конце проводни-

68
ка, а номера волн, распространяющихся справа налево, расположим в правом конце проводника.
Следует иметь в виду, что если проводник принадлежит отрезку свя- занных микрополосковых линий, то волна, номер которой расположен на этом проводнике, распространяется одновременно и по всем остальным про- водникам этого отрезка.
Приступим к написанию системы уравнений для амплитуд
X
i
. Положи- тельное направление для всех токов на проводниках отрезков связанных микрополосковых линий выберем слева направо, то есть вдоль оси
z. Начнем с емкостей
C
i
, подключенных к левому краю левого пятипроводного отрезка.
Все эти емкости имеют координату
z
= 0.
Сформулируем сначала уравнение для произвольной емкости
C, под- ключенной к левому краю какого-либо проводника. Заряд
Q на емкости C, находящейся под напряжением
U, выражается формулой
Q = CU. (
4.59
)
Так как ток
I на левом конце проводника является током разряда емко- сти, то он связан с
Q равенством
I =
−∂Q/∂t. (
4.60
)
Подставляя (4.59) в (4.60) и учитывая временную зависимость (1.1), получаем общее уравнение для левого конца проводника, замкнутого на емкость
I
− iωCU = 0. (4.61)
В соответствии с общим уравнением (4.61) записываем первые пять уравнений для емкостей
C
i
(
i = 1, 2, … , 5), подключенных к левому краю пятипроводного отрезка, то есть для точек
z
= 0:
[
]
0
)
(
)
(
5 1
7 2
=
ω
+
+
ω
−
∑
=
+
+
m
m
im
i
im
m
im
i
im
X
U
C
i
I
X
U
C
i
I
. (4.62)
Здесь первое слагаемое в квадратных скобках содержит вклад от вто- ричных волн с номерами от
3
до
7
, распространяющихся слева направо сразу по всем пяти проводникам левого отрезка связанных линий. Эти волны име- ют амплитуды
X
3
,
X
4
, …,
X
7
Второе слагаемое в квадратных скобках содержит вклад волн с номе- рами от
8
до
12
, распространяющихся справа налево. Эти волны имеют ам- плитуды
X
8
,
X
9
, …,
X
12
. Так как они распространяются против оси
z, а поло-

69
жительное направление токов выбрано вдоль этой оси, знак перед амплиту- дами напряжений
U
i m
этих волн изменен. Набег фаз в (4.62) отсутствует, так как их отсчет для всех волн на левом отрезке производится от точки
z
= 0.
Запишем теперь уравнения для пяти точек соединения правых концов левого отрезка с левыми концами среднего отрезка, то есть для точек
z
= l
1
Первые пять уравнений для этих точек являются уравнениями непрерывно- сти напряжения по обе стороны соединения проводников:
[
]
0
e e
5 1
17 12 7
2 1
1
=
+
−
−
∑
=
+
+
+
θ
−
+
θ
m
m
im
m
im
m
i
im
m
i
im
X
U
X
U
X
U
X
U
m
m
, (4.63) где
θ
1m
= k
m
l
1
– электрическая длина левого отрезка для
m-й волны. Здесь пер- вые два слагаемых в квадратных скобках обусловлены волнами на левом от- резке, а последние два слагаемых – волнами на центральном отрезке. Набег фаз для последних двух слагаемых отсутствует, так как он отсчитывается от левого края центрального отрезка, то есть от точки
z
= l
1
Запишем еще одно уравнение непрерывности напряжения на входе
1
в точке кондуктивного подключения резонатора (
i = 1) при z
= l
1
:
[
]
1 1
5 1
17 1
12 1
1 1
a
Z
X
U
X
U
X
Z
m
m
m
m
m
−
=
+
−
+
∑
=
+
+
. (4.64)
Здесь выражение в квадратных скобках описывает напряжение на левом кон- це центрального отрезка. Остальные слагаемые описывают напряжение на входе
1
, складывающееся из напряжения падающей волны с амплитудой
a
1
и напряжения отраженной волны с амплитудой
b
1
= X
1
Четыре уравнения непрерывности тока для проводников с
i = 2, 3, …, 5 при
z
= l
1
имеют вид
[
]
0
e e
5 1
17 12 7
2 1
1
=
−
−
+
∑
=
+
+
+
θ
−
+
θ
m
m
im
m
im
m
i
im
m
i
im
X
I
X
I
X
I
X
I
m
m
. (4.65)
Пятое уравнение непрерывности тока для проводника с
i=1 при z
= l
1
имеет вид
[
]
e e
1 1
5 1
17 1
12 1
7 1
2 1
1 1
1 1
Z
a
X
I
X
I
X
I
X
I
Z
X
m
m
m
m
m
m
i
m
m
i
m
m
m
−
=
−
−
+
+
−
∑
=
+
+
+
θ
−
+
θ
(4.66)
Это уравнение получается из условия, что сумма всех токов, входящих в точ- ку соединения трех проводников, равна нулю.

70
Аналогичным образом получаем одиннадцать уравнений для пяти то- чек соединения проводников (
i = 1, 2, … , 5), имеющих координату z
= l
1
+ l
2
:
[
]
0
e e
5 1
27 22 17 12 2
2
=
+
−
−
∑
=
+
+
+
θ
−
+
θ
m
m
m
m
i
m
i
im
X
X
X
X
U
m
m
, (4.67)
[
]
2 2
5 1
27 22 5
2 2
a
Z
X
X
U
X
Z
m
m
m
m
=
−
+
−
∑
=
+
+
, (4.68)
[
]
)
5
(
0
e e
5 1
27 22 17 12 2
2
≠
=
−
−
+
∑
=
+
+
+
θ
−
+
θ
i
X
X
X
X
I
m
m
m
m
i
m
i
im
m
m
, (4.69)
[
]
2 2
5 1
27 22 17 12 5
2 2
2 2
e e
Z
a
X
X
X
X
I
Z
X
m
m
m
m
i
m
i
m
m
m
−
=
−
−
+
+
−
∑
=
+
+
+
θ
−
+
θ
, (4.70) где
θ
2 m
= k
m
l
2
– электрическая длина центрального отрезка для
m-й волны.
Наконец, пять уравнений для правых концов проводников правого отрезка, замкнутых на емкости, то есть уравнения для точек с координатой
z
= l, имеют вид
[
]
0
e
)
(
e
)
(
5 1
27 22 1
1
=
ω
−
+
ω
+
∑
=
+
θ
−
+
θ
m
m
i
im
i
im
m
i
im
i
im
X
U
C
i
I
X
U
C
i
I
m
m
. (4.71)
Уравнения (4.71) получаются из условия (4.61), в котором изменен знак перед током, так как этот ток в случае подключения емкости к правому кон- цу проводника является уже не вытекающим из емкости, а втекающим в нее.
Таким образом, мы записали 32 уравнения для 32-х неизвестных амплитуд
X
i
. Эта система уравнений решается численно. Затем, так как
b
1
=
X
1
и
b
2
=
X
2
, элементы матрицы в соответствии с определением (4.20) находятся по формулам
,
,
,
1
,
0 2
22 1
,
0 1
12 0
,
1 2
21 0
,
1 1
11 2
1 2
1 2
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
a
a
a
a
a
a
a
a
X
S
X
S
X
S
X
S
(4.72)