Файл: Математической физики.doc

Е.А.Рыбакина


НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Балтийский государственный технический университет “Военмех”
Е.А.Рыбакина

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2005

УДК(51:53+517.927.2)(075.8)

Р93


Р
Р93
ыбакина Е.А.

Начально краевые задачи математической физики: учебное пособие / Е.А.Рыбакина; Балт.гос.техн.ун-т. СПб., 2005. 49 с.


Пособие соответствует курсу «Методы математической физики», который читается для специальностей «Приборы и системы лучевой энергетики» и «Триботехника». В нем рассмотрены начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных, возникающие при изучении различных физических проблем. Излагаются основные методы решения таких задач, дается физическая интерпретация решений. Теоретические сведения сопровождаются упражнениями, в конце пособия приведены задачи для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов инженерно-физических специальностей технических вузов.
УДК(51:53+517.927.2)(075.8)

Рецензент: зав.каф. прикладной математики и информатики БГТУ д-р физ.-мат. наук, проф. С.Д.Шапорев
Утверждено

редакционно-издательским

советом университета

© Е.А.Рыбакина, 2005

© БГТУ, 2005

Введение

Современная математическая физика представляет собой довольно обширную научную область. Данный курс лекций в основном ограничивается той ее частью, которая связана с решением дифференциальных уравнений в частных производных, иначе их называют уравнениями математической физики. Различные области физики, описывающие совершенно несхожие по своей физической сущности явления, используют один и тот же математический аппарат – аппарат дифференциальных уравнений в частных производных. Математические вопросы оказываются почти одинаковыми, изучаем ли мы сигнал радара, распространение звуковой волны в жидкости или поле бесспиновых частиц. Таково удивительное свойство природы

---

, некое математическое единство различных ее проявлений.

Курс уравнений с частными производными существенно отличается от курса обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что в нем изучаются далеко не все уравнения, которые можно написать, используя значки и т.п. Общей теории дифференциальных уравнений в частных производных не существует. Мы ограничимся совсем немногочисленными конкретными примерами уравнений, но выбор этих примеров не случаен – это типичные представители задач, возникающих при изучении явлений природы. Нужно сразу запомнить, что уравнения, различающиеся, на первый взгляд, совсем несущественно, могут обладать очень разными свойствами и для них будут естественными разные задачи.

Таким образом, наша цель – рассмотреть основные физические ситуации, выяснить, к каким математическим задачам они приводят, решить эти задачи и исследовать физические следствия полученных решений. Наши рассуждения при этом не всегда будут строгими с точки зрения математика, мы будем оставаться на физическом уровне строгости и только постараемся отмечать пробелы в наших рассуждениях.

В настоящем пособии подробно рассматриваются постановка физических задач и различные методы их решения для случая одномерного пространства, когда независимыми переменными в уравнениях являются время t и одна пространственная переменная x. Волновое уравнение в этом случае переходит в уравнение струны. Такое упрощение значительно сокращает математические выкладки и позволяет сосредоточиться на смысловой стороне проблемы.

Для сокращения записи в дальнейшем используются следующие аббревиатуры: ДУ – дифференциальное уравнение, ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение, НКЗ – начально-краевая задача, КЗ – краевая задача, НУ – начальные условия, ГУ – граничные условия, с/ф – собственные функции, с/з – собственные значения. Частные производные, как правило, обозначаются нижними индексами, например:

---

, , .

В тексте пособия содержатся упражнения, выполнение которых обязательно для понимания темы. В заключительной части помещены задачи для практических занятий и самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов III курса, владеющих аппаратом дифференциального и интегрального исчисления, обыкновенными дифференциальными уравнениями, а также знакомых с курсом общей физики.

---

§1. Вывод уравнения колебаний струны, постановка задач

В
ывод уравнения. Струна – гибкая тонкая нить или проволока (струна фортепиано, скрипки, арфы). Будем считать, что она находится под действием сильного натяжения T₀ и в состоянии равновесия без внешнего воздействия вытянута вдоль оси x. Если вывести струну из положения равновесия или подвергнуть действию внешней силы, она начнет колебаться, произвольная точка A в момент t займет положение (рис. 1). Будем рассматривать только малые поперечные колебания струны и считать, что они происходят в одной плоскости, т.е. все точки струны движутся вдоль оси y. Описать движение струны − значит задать функцию .

Рис.1

Обозначим через линейную плотность внешней силы, − линейную плотность струны, , здесь dm – масса элемента dx. Выделим произвольный кусочек струны, который в равновесии располагался между точкой A с координатой x и точкой B с координатой x+dx (рис. 2), и выпишем для него второй закон Ньютона^. Проекция суммы сил на ось y равна: . Благодаря малости колебаний жесткостью струны можно пренебречь и считать натяжение T₀ постоянным, кроме того, , , в результате проекция суммарной силы равна:

.

Ускорение выделенного кусочка u_tt, его масса , следовательно,

---

. (1)

М

ы получили уравнение малых вынужденных поперечных колебаний струны в общем случае. Уравнение (1) – линейное неоднородное ДУ второго порядка с переменными коэффициентами.


Рис.2

Если струна однородна, , то, обозначив , , получим ДУ с постоянными коэффициентами

. (2)

Именно его обычно называют уравнением вынужденных колебаний струны. При отсутствии внешнего воздействия, f(x,t)=0, приходим к уравнению свободных колебаний струны (однородному ДУ):

. (3)

При выводе (2) мы предполагали, что внешняя сила распределена вдоль струны непрерывно; иногда приходится иметь дело с силой P(t), сосредоточенной в некоторой точке C (рис. 3). Второй закон Ньютона для элемента струны dx, содержащего точку C, имеет вид

,

причем левая часть равенства стремится к нулю при бесконечном уменьшении dx. Обозначив пределы при стремлении x к Cслева и справа, соответственно, через и , приходим к соотношению

. (4)
Р
ис.3
Видно, что непрерывная функция u(x,t) имеет в точке Cугловую точку, т.е. скачок производной.

Замечание. При выводе уравнений колебаний мы пренебрегали сопротивлением воздуха; если его учесть, в уравнениях появится слагаемое с первой производной

---