Файл: Математической физики.doc

и жестко закреплены, струна находится в положении равновесия. В начальный момент времени малой окрестности точки сообщается скорость .

Решить эту задачу для случаев, когда оба конца струны свободны и когда один конец закреплен, а другой свободен.

Решение начально-краевых задач методом Фурье

В задачах 20 – 35 решение следует представить в виде ряда Фурье, как это показано в примере 1. В некоторых частных случаях ряд может содержать конечное число слагаемых.

Пример 1. Решить I НКЗ для однородного уравнения струны:

, , ,

, , , .

Решение следует искать в виде суммы (50): , где - произвольная функция, удовлетворяющая ГУ. Выберем ее линейной по x: ; подстановка в ГУ дает

; ; ;

окончательно .

Подставляя сумму (50) в исходную задачу, получаем НКЗ для функции :

---

, , ,

, .

Видно, что удовлетворяет неоднородному уравнению с нулевыми ГУ и неоднородными НУ. Решение такой задачи построено в § 7, его следует искать в виде суммы , где удовлетворяет однородному уравнению с ненулевыми НУ, - неоднородному уравнению с нулевыми НУ:

, , , ;

, , .

Обе функции и определяются в виде рядов Фурье по (в нашей задаче ). Выпишем разложения в ряды Фурье по синусам на промежутке для входящих в задачу функций:

; .

Ряд Фурье для функции имеет вид (42) (в задаче

---

):

;

подстановка его в начальные условия дает

; ,

следовательно, , , .

Функция задается рядом (45): , подставляя его в уравнение и НУ, получаем

,

следовательно,

; , .

Общее решение этого уравнения

;

из начальных условий следует: ;

и окончательно .

Таким образом, получены разложения в ряды для решений и ; суммируя их и , приходим к окончательному ответу:



Прямой выкладкой нетрудно проверить, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям поставленной задачи.

Пример 2. Решить смешанную НКЗ для неоднородного уравнения:

---

Решение будем искать в виде суммы (50): , где функция удовлетворяет ГУ задачи. Ее можно выбрать линейной: ; подстановка в граничные условия дает равенства , , следовательно, , и окончательно получаем .

Для функции возникает следующая НКЗ с нулевыми ГУ:



Решение смешанной НКЗ в виде ряда Фурье предлагалось построить в упражнении 12. Повторяя рассуждения § 6, разделим переменные, т.е. будем искать решение соответствующего однородного уравнения в виде произведения функций (40): . Подстановка произведения в однородное уравнение приводит к равенству , из которого, с учетом ГУ задачи, выводится следующая КЗ для X(x): .

Нетрудно получить набор собственных функций и собственных значений этой задачи:

, , .

Решение как однородного, так и неоднородного уравнений следует искать в виде рядов Фурье по

---

:

.

Подстановка ряда в уравнение и НУ дает равенства

; .

является первым членом ряда Фурье по при , поэтому, приравнивая коэффициенты Фурье, мы получаем различные задачи для и :

;

Вторая задача имеет только тривиальное решение: , следовательно, ряд для функции состоит из одного первого слагаемого. Общее решение уравнения для : , с учетом НУ получаем

.

Для функции имеем ;

ответ исходной задачи:

.

Решение этой задачи можно было несколько сократить. Установив, что функция представима рядом Фурье по , и заметив, что все входящие в задачу функции содержат только один член

---