Файл: Математической физики.doc

, так как сила сопротивления пропорциональна скорости.

Начальные и граничные условия. ДУ с обыкновенными и, тем более, с частными производными имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений. При изучении ОДУ говорилось об общем решении такого уравнения, содержащем произвольные постоянные; при различных значениях этих постоянных возникают различные частные решения (возможно еще особое решение). Чтобы фиксировать конкретное решение ОДУ, надо задать дополнительные условия. Для ОДУ второго порядка это могут быть значения функции и ее первой производной в некоторой точке (задача Коши^) или значения функции в двух точках (краевая задача). Аналогично обстоит дело с ДУ в частных производных, но теперь общее решение содержит не произвольные постоянные, а произвольные функции. (Впрочем, задача построения общего решения часто и не ставится.)

Колебания ограниченной струны длины l, начавшиеся в момент времени t₀, описываются функцией u(x,t), где , . Концы струны могут быть закреплены в положениях равновесия (рис. 4, а), тогда на концах промежутка должны выполняться условия

; (5а)

если же концы струны движутся по определенным законам, условия примут вид

. (6а)
а ) б)

Рис.4

Свободными называют концы струны, прикрепленные к невесомым колечкам, которые без трения скользят по стержням, расположенным при x= 0 и x= l вдоль оси y(рис. 4, б). В этом случае

, (5б)

так как y-составляющие сил, действующих со стороны струны на колечки, должны быть равны нулю. Если к колечкам приложены внешние силы и

---

, (5б) заменится на

, (6б)

где , .

Возможен также случай упруго закрепленных концов (рис.4, в), когда к колечкам приложены упругие силы, стремящиеся вернуть концы в равновесные положения. Эти силы подчиняются закону Гука^: . Суммы упругой силы и y-составляющей силы натяжения струны на каждом конце должны обращаться в нуль, поэтому

. (5в)

Если точка упругого закрепления перемещается по определенному закону, (5в) переходит в

. (6в)

Определение. Условия на границе (5) или (6) называются граничными, краевыми или предельными; (5а) и (6а) – условия I рода, (5б) и (6б) – II рода, (5в) и (6в) − III рода. Условия (5) – однородные, (6) – неоднородные. Все перечисленные условия линейны.

Условия «б» и «в» для струны могут показаться искусственными. Но в других физических задачах, также сводящихся к уравнению струны, например при изучении продольных колебаний в стержне или распространении звука в газовой трубе, естественными оказываются как раз эти условия.

ГУ еще не задают процесс колебаний струны однозначно, нужно указать форму струны и распределение скоростей в некоторый момент времени t₀ (принимаемый за начальный):

(7)

– начальные условия или данные Коши.

Начальные и граничные условия вместе однозначно определяют решение уравнения струны.

Формулировка I начально-краевой задачи: найти функцию , , , удовлетворяющую:

(8)

Аналогично ставятся II и III НКЗ. Если граничные условия при

---

x=0 и x=l относятся к разным типам, такие задачи называются смешанными. В дальнейшем для простоты считаем, что начало отсчета времени совпадает с началом колебаний, т.е. .

Частные случаи.

1. Влияние ГУ в некоторой точке, достаточно удаленной от границ, скажется через большой промежуток времени (потом докажем это строго), следовательно, до некоторого момента времени влиянием границ можно пренебречь и рассматривать задачу для неограниченной области, так называемую задачу Коши:

(9)

2. Если точка находится вблизи одной границы, а влиянием другой можно пренебречь, приходим к задаче на полуоси:

(10)

3. Если начальный момент достаточно удален, его влияние в реальной системе ослабевает (благодаря трению); такая задача без начальных условий характерна при периодическом граничном режиме:

(11)

Редукция общей задачи. Благодаря линейности уравнения и всех начальных и граничных условий можно свести решение общей НКЗ к решению нескольких более простых задач. Рассмотрим редукцию на примере I НКЗ (8).

Пусть функции , , являются решениями (8) с неоднородностями и дополнительными условиями . Тогда имеет место суперпозиция решений, т.е. функция удовлетворяет задаче



Как следствие, решение общей НКЗ (8) может быть представлено в виде суммы

---

,

где – решения следующих частных НКЗ:

(12)

(13)

(14)

Упражнение 1. Пусть на струну действуют постоянные во времени внешние силы с линейной плотностью F(x). Ее положение равновесия определится уравнением (1), в котором :

.

Найти форму однородной струны в поле силы тяжести, , если ее концы подвешены на одной высоте.

Ответ: .

Упражнение 2. Показать, что энергия механических колебаний струны с закрепленными концами равна:

, (15)

в частности, для однородной струны

( )

Упражнение 3. Вывести уравнение продольных колебаний стержня или струны:

; (16)

здесь – объемная плотность и - модуль Юнга^* материала стержня. Для однородного стержня, , получаем уравнение струны с другой постоянной:

. ( )

§2. Задача Коши для свободных колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера^**

Построение общего решения. Функция u(x,t), описывающая свободные колебания бесконечной струны, должна удовлетворять уравнению (3) и НУ (7), заданным на всей вещественной оси:

---

(17)

Мы построим самое общее решение уравнения (3) в такой форме, что легко будет удовлетворить начальным условиям задачи (17).

Введем новые независимые переменные

или .

Используя правило дифференцирования сложных функций, получим

;

.

Уравнение (3) в новых переменных имеет вид

или .

Следовательно, не зависит от , т.е. является функцией только : . Интегрируя, получим



(постоянная при интегрировании по может зависеть от ). Первое слагаемое является произвольной функцией , второе – произвольной функцией : . В исходных обозначениях

, (18)

где и – произвольные функции своих аргументов. Решение (18) называется решением Даламбера, это самое общее решение уравнения (3), содержащее две произвольные функции.

Оба слагаемых в (18) допускают простую физическую интерпретацию. Пусть

---