Файл: Математической физики.doc

этого ряда, можно было сразу искать в виде произведения: .

Пример 3. Решить вторую НКЗ для однородного уравнения струны:



Решение задачи будем искать в виде суммы (50): , при этом попытаемся подобрать функцию , одновременно удовлетворяющую уравнению и ГУ; обычно это удается, если в задаче фигурируют const, exp, sin, cos. Функцию будем искать в виде , где , . Подстановка в уравнение дает , для получаем уравнение .Его общее решение имеет вид , из начальных условий следует, что . В результате получаем

и .

Подставим сумму в исходную задачу:



Для функции возникла задача из однородного волнового
уравнения с однородными НУ и ГУ, которая имеет только тривиальное решение: . Ответ исходной задачи:

---

.

Отметим, что в общем случае при таком методе решения для функции возникает задача из однородного уравнения с однородными граничными и неоднородными начальными условиями. Для граничных условий II рода ее решение следует искать в виде ряда:

.

20. Однородная струна со свободным концом и закрепленным концом имеет в начальный момент форму квадратичной параболы: . Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

21. Однородная струна, закрепленная на конце и свободная на конце , находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени она получает в точке x₀ удар от молоточка, который сообщает этой точке скоростьv_0. Описать свободные колебания струны. Молоточек считать плоским, шириной :



22. Однородная струна, свободная на конце и закрепленная на конце , находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени она получает в точке x₀ удар от молоточка, который сообщает этой точке скоростьv_0. Описать свободные колебания струны. Молоточек считать выпуклым, шириной :



23. Описать продольные колебания цилиндрического стержня,

---

один конец которого свободен, а к другому с момента приложена сила , направление которой совпадает с осью стержня. (Считать, что не совпадает с собственными частотами стержня.)

24. На струну длиной l действует внешняя возмущающая сила, плотность которой равна ( не совпадает с собственными частотами струны). Найти закон колебаний струны, если начальные отклонения и скорости равны нулю, левый конец струны закреплен, а правый свободен.

В задачах 25 – 28 функция определена при , .

25. , , , , .

26. , , , , .

27. , , ,

---

.

28. , , , .

В задачах 29–32 функция определена при , .

29. , , .

30. , , .

31. ,

, , , .

32. ,

, , , .

В задачах 33–35 функция определена при , .

33.

---

,

, , , .

34. ,

, , , .

35. ,

, , .

Для домашних заданий удобно использовать богатый набор однотипных нетрудных задач из сборника [5], глава XI. Задачи для уравнения свободных колебаний струны с однородными ГУ полезно решать двумя способами: методом отражений и методом Фурье и сравнивать результаты.

Библиографический список

1. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. 2-е изд. М., 1985.

2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 3-е изд. М., 1980.

3. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., 2003.

4. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 13-е изд. СПб., М., 2003.

5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М., 1994.

6. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. 2-е изд. М., 1973.

7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. 21-е изд. М., 1974.

8. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. 6-е изд. М., 1975.

9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 5-е изд. М., 1977.

---