Файл: Математической физики.doc

− уже построенное решение задачи (3), (25), (26), а удовлетворяет НКЗ с нулевыми данными Коши. Для ГУ I рода задача для имеет вид

(29)

Общее решение уравнения дается формулой Даламбера (18); ясно, что граничный режим может создать только прямую волну: . Функцию можно определить из ГУ: , следовательно, и, окончательно

.

Полученная формула определяет только при t> x/c, так как функция определена для . Продолжим на отрицательные аргументы нулем, тогда

, где .

Решение I НКЗ для свободных колебаний полубесконечной струны (3), (24_I), (25) имеет вид

(30)

Упражнение 7. Получить решение II НКЗ (3, 24_II, 25):

(31)

Вынужденные колебания полубесконечной струны описываются НКЗ (10):



Решение следует искать в виде суммы , где

---

− решение НКЗ для свободных колебаний (3, 24, 25), оно описывается (30) или (31), а − решение НКЗ для неоднородного уравнения с нулевыми НУ и ГУ:

(32)

При t< x/c влияние граничного режима в точке x не сказывается и решение задачи (32) совпадает с решением задачи (21) для бесконечной струны, т.е. определяется формулой (22).

Упражнение 8. Прямой подстановкой проверить, что решение I начально-краевой задачи (32) для значений t> x/c задается интегралом

;

выписать окончательное решение задачи (10_I).

---

§5. Свободные колебания ограниченной струны. Метод отражений (метод продолжений)

Задача о свободных колебаниях ограниченной струны возникает, если оба конца струны находятся достаточно близко от рассматриваемого участка и влияют на его движение. В этом случае колебания описываются функцией , у которой и . Уравнение свободных колебаний (3) должно быть теперь дополнено ГУ на обоих концах и НУ, заданными на . В результате возникает НКЗ

,

(33)

(или )

(34)

Возможен также смешанный случай, когда на одном конце выполняется ГУ I рода, а на другом – II. Краевые условия III рода мы не рассматриваем.

Ход наших рассуждений будет таким же, как в предыдущем параграфе. Рассмотрим сначала случай однородных ГУ, т.е. струну с закрепленными или свободными концами:

(35)

и решим задачу (3), (34), (35). Общее решение уравнения (3) описывается формулой Даламбера (18): , где

, .

Исходно функции g₁ и g₂ определены только при . Наша задача – продолжить g₁ и g₂ (или и

---

) с промежутка [0, l] на всю вещественную ось, т.е. определить такое начальное возмущение бесконечной струны, при котором ее кусок [0, l] будет колебаться так, как если бы его концы были закреплены (свободны), а остальная часть струны отброшена.

Подставим (18) в ГУ (35):

ГУ I рода: ;

ГУ II рода: ;



(постоянная интегрирования здесь опущена, так как потом при сложении она сокращается). Дальше рассматриваем ГУ I и II рода параллельно (верхний знак соответствует I роду, нижний – II). Обозначим ct= x, тогда

и .

Последние два равенства позволяют однозначно продолжить g₁ и g₂ с [0,l] на всю вещественную ось. При их правые части определены и, значит, определены g₁ при и g₂ при . Теперь правые части тех же равенств определены при , что задает g₁ при и g₂ при . Продолжая эту процедуру, определим g₁ при и g₂ при . Рассмотрим теперь те же равенства при ; их левые части определены и, следовательно, определены g₁ при и g₂ при

---

. Дальнейшее повторение этой процедуры однозначно задает g₁ при и g₂ при . Таким образом, функции g₁ и g₂ оказались определенными на всей вещественной оси, при этом

,

т.е. обе функции периодичны с периодом 2l.

Обратимся к начальным данным Коши и ; для них:

;



Кроме того, из периодичности g₁ и g₂ следует, что и также периодичны с периодом 2l. Таким образом, при однородных ГУ I рода (II рода) начальные данные Коши должны быть продолжены с на по закону нечетности (четности) и дальше с периодом 2l на всю вещественную ось.

Наши построения показывают, что однородная НКЗ для ограниченной струны (3), (34), (35) эквивалентна задаче Коши для бесконечной струны:



где

здесь k- целое число; аналогично определяется через . Решение исходной НКЗ совпадает с решением задачи Коши на промежутке :



Функция U(x,t) определяется формулой Даламбера:

---