Файл: Учебное пособие и сборник контрольных заданий для студентов инженерных направлений очной и очнозаочной форм обучения Красноярск, 2020.pdf

24
e
N
T
T
T
t
A
t
A
1
)
(
)
(
ln








,
(5.7)
Здесь N
е
– число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в
е раз.
6. Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина, пропорциональная отношению энергии колебаний системы в некоторый момент времени W(t) к убыли этой энергии за период затухающих колебаний:
)
(
)
(
)
(
2
T
t
W
t
W
t
W
Q




(5.8)
При малых значениях логарифмического декремента затухания, т.е. если
δ
2
<< w
0
2
, добротность равна:








2 0
0
w
T
Q
(5.9)
7. Для свободных затухающих колебаний пружинного маятника коэффициент затухания
δ = r/2m,
(5.10) где r – коэффициент сопротивления.
8. Колебания, возникающие под действием внешнего периодически изменяющегося воздействия, называются вынужденными.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
t
X
s
dt
ds
dt
s
d






cos
2 0
2 0
2 2
(5.11)
Здесь X
0
и ω – амплитуда и частота вынуждающего воздействия соответственно.
Для механических колебаний X
0
= F
0
/m, где F
0
– амплитуда вынуждающей силы, m – масса колеблющейся точки (тела).
В установившемся режиме амплитуда вынужденных колебаний определяется формулой

25 2
2 2
2 2
0 0
4
)
(







X
A
(5.12)
9. Резонансомназывается явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего воздействия к резонансной частоте.
Резонансная амплитуда
2 2
0 0
2




w
X
A
ðåç
(5.13)
Резонансная частота
2 2
0 2


w
w
ðåç
(5.14)
Здесь w
0
– циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, δ – коэффициент затухания.
Примеры решения задач
Задача 5.1
Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0,01. Определить время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз и число колебаний, за которое происходит подобное уменьшение амплитуды.
Решение
Амплитуда затухающих колебаний
t
e
A
A



0
(1)
Логарифмический декремент затухания ϴ = δТ , где

 /
1
T
 условный период затухающих колебаний. Тогда ϴ =δ/ν, а δ = ϴ ν. Выражение (1) можно записать в виде
=
!"
Откуда искомое время
)
/
ln(
1 0
A
A
t



(2)
Число искомых полных колебаний



t
T
t
N
/
(3)
Подставляя численные значения в (2) и (3), получим t = 6 с, N = 300.

26
Задачи
1. Период затухающих колебаний 4 с, логарифмический декремент затухания
1,6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки в момент времени t=T/4 равно 4,5 см. Записать уравнение этого колебательного движения.
2. Материальная точка совершает колебания по закону X=5e
-0,25t
sin0,5πt(м).
Найти скорость точки в моменты времени: 0, T. (1,96 м/с; 0,72 м/с)
3. Материальная точка совершает колебания по закону X=5e
-0,25t
sin0,5πt(м).
Найти скорость точки в моменты времени: T/2, 3T/2. (1,19 м/с; 0,44 м/с)
4. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 5 минут уменьшилась в 2 раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в
8 раз? (900 с)
5. За 8 минут амплитуда затухающих колебаний математического маятника длиной 39,2 см уменьшилась в 3 раза. Определить коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания колебаний. (0,0023 с
-1
; 0,0029)
6. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен 0,003.
Определить число полных колебаний, которые должен совершить маятник, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. (231)
7. Тело массой 500 г, подвешенное к пружине жесткостью 20 Н/м, совершает колебания с коэффициентом затухания 0,2 с
-1
. Определить число полных колебаний, которые должно совершить тело, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. (3)
8. Гиря массой 1 кг, подвешенная к пружине жесткостью 10 Н/м, совершает затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания равен 0,003.
Определить время, за которое амплитуда колебаний уменьшится вдвое.
(460 с)
9. За 100 с колебательная система успевает совершить 100 колебаний, при этом амплитуда колебаний уменьшается в 2,718 раз. Чему равны коэффициент и логарифмический декремент затухания? (0,01 с
-1
; 0,01)
10. Логарифмический декремент затухания математического маятника длиной 1 м равен 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание? (1,22)
11. Математический маятник длиной 39,2 см совершает затухающие колебания. Через какое время от начала колебаний полная энергия маятника уменьшится в 9 раз? Задачу решить для двух значений логарифмического декремента затухания: 1 и 0,01. (1,38 с; 138 с)
12. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда маятника за одно колебание? (в 1,22 раза)
13. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,1. Во сколько раз уменьшится амплитуда маятника за три полных колебания? (в 1,35 раза)

27 14. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за одну минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз за 3 минуты уменьшится его полная энергия? (в 64 раза)
15. Амплитуда колебаний математического маятника, совершившего 100 колебаний, уменьшилась в 2 раза. Коэффициент затухания равен 0,01 с
-1
Определить длину маятника. (0,12 м)
16. Математический маятник длиной 9,8 м совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания 0,05 с
-1
. Сколько колебаний совершит маятник за время, в течение которого его амплитуда уменьшится в e раз? (3,18)
17. Вертикальная пружина под действие силы 1 Н растягивается на 10 см.
Гиря массой 100 г, подвешенная к этой пружине, совершает колебания, причем за 100с амплитуда колебаний уменьшилась в 3 раза. Определить коэффициент и логарифмический декремент затухания. (0,011 с
-1
; 0,0069)
18. Математический маятник совершил 100 полных колебаний, при этом амплитуда колебаний уменьшилась в 3 раза. Коэффициент затухания равен
0,01 с
-1
. Определить длину маятника. (0,3 м)
19. Логарифмический декремент затухания точки, колеблющейся с частотой
50 Гц, равен 0,01. Определить время, за которое амплитуда колебаний точки уменьшится в 20 раз. (6 с)
20. Точка совершает затухающие колебания с некоторой частотой.
Логарифмический декремент затухания равен 0,02. Определить число полных колебаний точки, совершенных за время уменьшения амплитуды колебаний в 20 раз. (150)
21. Груз массой 50 г, подвешенный на нити длиной 20 см, совершает колебания в жидкости. Коэффициент сопротивления 0,02 кг/с. Определить резонансную частоту, т.е. частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна. (7 рад/с)
22. В жидкости с коэффициентом сопротивления 0,02 кг/с на нити длиной 20 см подвешен груз массой 50 г. На груз действует вынуждающая сила
F = 0,1 cos wt (Н). Определить резонансную амплитуду. (0,714 м)
23. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 мин уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания. (5,78×10
-3
с
-1
)
24. Логарифмический декремент колебаний маятника равен 0,01. определить число полных колебаний маятника до уменьшения его амплитуды в 3 раза.
(110)
25. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определить, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.
(В 81 раз)
26. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника 3 см. Через 10 с амплитуда стала равна 1 см. Определить, через какое время амплитуда колебаний станет равной 0,3 см. (21 с)
27. Тело массой 100 г, совершая затухающие колебания, за 1 мин потеряло
40% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления. (8,5×10
-4
кг/с)

28 28. За время, в течение которого система совершает 50 полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определить добротность системы. (227)
29. Частота свободных затухающих колебаний системы 65 рад/с, а ее добротность равна 2. Определить собственную частоту колебаний этой системы. (67 рад/с)
30. Собственная частота колебаний системы составляет 500 Гц. Определить частоту затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота равна 499 Гц. (499,5 Гц)
ТЕМА 6 ВОЛНЫ. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
Краткие теоретические сведения
1. Волной называется процесс распространения колебаний.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением:
2 2
2 1
t
v 





(6.1)
Здесь Δ – оператор Лапласа, v – фазовая скорость волны.
2. Волновое уравнение для плоской волн, распространяющейся вдоль направления оси OX, имеет вид
2 2
2 2
2 1
t
v
x







(6.2)
Решением уравнения (6.2) является уравнение плоской волны, вид которого зависит от уравнения колебания источника. В случае, когда уравнение колебаний источника задается формулой (1.1.1), уравнение волны имеет вид
ζ(х,t)=A
cos (ωt–kx+φ
0
),
(6.2.1)
Если уравнение колебаний источника задается формулой (1.1.2), то уравнение волны
ζ(х,t)=A
sin(ωt–kx+φ
0
). (6.2.2)
Здесь ζ(х,t) – значение колеблющейся величины в точке с координатой x в момент времени t, A – амплитуда волны, ω – круговая (циклическая) частота;
φ
0
– начальная фаза колебаний, k=2π/λ = ω/v – волновое число.

29 3. Уравнение сферической волны
ζ(r,t)=(A/r)
cos (ωt–kr+φ
0
).
(6.3)
Здесь ζ(r,t) – значение колеблющейся величины в точке, находящейся в момент времени t на расстоянии r от источника колебаний.
4. Длиной волны λ называется кратчайшее расстояние между двумя точками, колебания в которых в данный момент времени происходят в одной фазе.
Длина волны равна расстоянию, на которое волна распространяется за время, равное периоду колебаний Т.
vT


(6.4)
5. Скорость перемещения фазы волны v называется фазовой скоростью.
Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. Скорость распространения волнового пакета называется групповой скоростью u.
Групповая (u) и фазовая (v) скорости волны связаны соотношением




d
dv
v
u
,
(6.5) где λ – длина волны.
6. Явление наложения двух когерентных волн, в результате которого наблюдается перераспределение энергии волн в пространстве, называется
интерференцией.
При интерференции двух бегущих волн одинаковой амплитуды A, распространяющихся навстречу друг другу, образуется стоячая волна.
Уравнение стоячей волны
ζ(х,t)=2A
cos kx cos ωt.
(6.6)
Стоячая волна характеризуется наличием узлов и пучностей.
Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна, называются
пучностями.
Координаты пучностей
2


 m
x
ï
,
(m=0, 1, 2, …).
(6.6.1)
Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами.

30
Координаты узлов
2
)
2 1
(




m
x
ó
, (m=0, 1, 2, …).
(6.6.2)
7.Звуковыми волнами называются распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16-20 000 Гц.
Скорость распространения звуковых волн в газах
M
RT
v


,
(6.7) где γ – коэффициент Пуассона, R – газовая постоянная, Т – термодинамическая температура, М – молярная масса газа.
Фазовая скорость продольных волн в тонком стержне

E
v 
,
(6.8)
Фазовая скорость поперечных волн в тонком стержне


G
v
(6.9)
Здесь Е – модуль Юнга, G – модуль сдвига для материала стержня,
ρ – плотность стержня.
Примеры решения задач
Задача 6.1
Найти разность фаз колебаний двух точек плоской волны, отстоящих на расстоянии Δx = 2 м друг от друга. Длина волны равна 1 м.
Решение
Уравнение волны ζ(х,t)=A
cos (ωt–kx+φ
0
). Выражение, стоящее под знаком косинуса это и есть фаза колебаний волны Разность фаз колебаний двух точек волны Δφ = (ωt–kx
1
+φ
0
) – (ωt–kx
2
+φ
0
). Раскрыв скобки, получим
Δφ = kx
2
– kx
1
= k Δx.
(1)
Волновое число k=2π/λ. Подставив это выражение в формулу (1), получим
Δφ = k Δx = 2π Δx /λ. Подставим числовые значения Δφ = 2π×2/1 = 4π.
То есть точки колеблются в одинаковых фазах.

31
Задача 6.2
Определить длину волны колебаний, если расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны равно Δx
п
= 0,15 м.
Решение
Координаты пучностей
2


 m
x
ï
, где m - номер пучности (m=0, 1, 2, …).
Тогда расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны равно Δx
п
= 4λ/2 – λ/2 = 3λ/2.
Выразим из этой формулы длину волны колебаний λ = 2Δx
п
/3.
Подставив данные задачи, получим λ = 2×0,15/3 = 0,1 м.
Задача 6.3
Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси
x
в среде, не поглощающей энергию, со скоростью с
/
м
15

V
. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях м
5 1

x
, м
5
,
5 2

x
от источника колебаний, колеблются с разностью фаз
5
/




Амплитуда волны см.
4

A
Определить: 1) длину волны; 2) уравнение волны; 3) смещение
1

первой точки в момент времени с
3

t
Решение:
Разность фаз колебаний двух точек волны
,
2
x






(1) где
1 2
x
x
x



есть расстояние между этими точками.
Из (1) выразим длину волны

:
)
(
2 1
2






x
x
(2)
Циклическая частота
T
/
2


, где
/V
T


Следовательно,
/
2




V
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, имеет вид:
).
(
2
cos
)
/
(
cos
)
;
(
x
Vt
A
V
x
t
A
t
x








(3)
Чтобы найти смещение
1

, подставим в уравнение (3) числовые значения
t
и
1
x
. Произведя вычисления, получим:
1) м
5


; 2)
)
5 2
6
cos(
04
,
0
)
;
(
x
t
t
x






м;
3) м
04
,
0 1

