Файл: Курс лекций по сопротивлению материалов Часть 1.ppt

Курс лекций по сопротивлению материалов

Часть 2.1


Бондаренко А.Н.


Москва - 2007


Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в ХабИИЖТе, СГУПСе (1965-2003 гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме двух семестров.
Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки.
Завершение – Esc.
Замечания и предложения можно послать по e-mail: bond@miit.ru .


Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)
Кафедра строительной механики
Научно-технический центр транспортных технологий


z


dz


z


φ


θ=φ


v=v(z)


dφ


x


y


y


Содержание


Лекция 1. Перемещения при изгибе. Основные допущения. Дифференциальные уравнения изогнутой оси балки и его интегрирование.
Лекция 2. Метод начальных параметров. Универсальные формулы для определения прогибов и углов поворота поперечных сечений.
Лекция 3. Принцип возможных перемещений и его использование при расчете деформируемых систем. Формула Максвелла-Мора.
Лекция 4. Способы вычисления интеграла Мора: непосредственное интегрирование, способ Верещагина, формулы трапеций и Симпсона.
Лекция 5. Основы расчета статически неопределимых балок по методу сил. Степень статической неопределимости, основная система, уравнения совместности деформаций.
Лекция 6. Сложное сопротивление. Построение эпюр внутренних усилий в пространственном ломанном стержне.
Лекция 7. Одновременное действие продольной силы и изгибающих моментов. Определение нормальных напряжений и положения нулевой линии. Косой изгиб.
Лекция 8. Внецентренное действие силы. Понятие о ядре сечения. Изгиб с кручением. Определение перемещений в пространственном стержне.
Лекция 9. Общие понятия о теориях прочности. Критерий разрушения путем отрыва (хрупкое разрушение). Краткие сведения от первой и второй теориях прочности. Теория прочности Мора.
Лекция 10. Критерий пластического состояния. Третья и четвертая теории прочности. Оценка прочности с применением теорий прочности. Понятия о новых теориях прочности и механики разрушения.

---

Рекомендуемая литература
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов для вузов. М.: Высшая школа. 1995, 2001 г. 560 с.
2. Сборник задач по сопротивлению материалов под ред. Александрова А.В., М.: Стройиздат. 1977г. 335 с.
3. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ. Изд. МИИТ.
4. Лабораторные работы по сопротивлению материалов (Методические указания под ред. Александрова А.В., часть 1, МИИТ, 1974 г.)
5. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. - 2 изд., перераб. и доп. – Киев: Наукова думка, 1988. 736 с.


Лекция 1


Перемещения при изгибе – При изгибе ось балки искривляется (прогибается) в результате деформаций каждого элемента балки длиной dz, при которых смежные сечения поворачиваются относительно друг друга на угол dφ. При поперечном изгибе элемент испытывает дополнительные сдвиговые деформации, также изменяющие положение центра тяжести сечения относительно исходной осевой линии. В общем случае ось балки искривляется по кривой с уравнением v = v(z). Эта кривая называется упругой линией или линией прогибов.
Основные допущения –
Прогибы малы.
Влияние деформаций сдвига на величину прогиба пренебрежимо мало.
При прогибе балки центр тяжести поперечного сечения перемещается перпендикулярно первоначальной оси балки в направлении главной оси сечения (y).
Поскольку влиянием деформаций сдвига пренебрегается, то каждое сечение согласно гипотезе плоских сечений при изгибе остается нормальным к оси изогнутого стержня (упругой линии). Отсюда угол наклона  сечения равен углу наклона θ касательной к упругой оси.


1


Тангенс угла наклона касательной, как известно, определяется как производная от уравнения кривой (см. геометрический смысл производной):


По малости прогибов и, следовательно, малости углов:


В итоге, угол поворота  поперечного сечения
определяется производной по координате z от функции прогибов :


Дифференциальное уравнение прогибов – При выводе формулы нормальных напряжений была получена формула для радиуса кривизны нейтрального слоя:


Радиус кривизны является обратной величиной кривизны кривой:


Кривизна плоской кривой из курса дифференциальной геометрии:


В силу малости прогибов и углов, а следовательно, малости первой производной ее квадратом по сравнению с единицей можно пренебречь:

---

Отсюда из формулы радиуса кривизны получаем:


z


dz


z


φ


θ=φ


v=v(z)


dφ


x


y


y


Выбираем знак плюс в соответствии с правилом знаков для изгибающих моментов
(Mx > 0, изгибает ось балки выпуклостью вниз)
и второй производной функции прогибов
( > 0, выпуклость кривой направлена вниз):


дифференциальное
уравнение прогибов


Используя другие, полученные ранее, дифференциальные зависимости можно получить:


Лекция 1 (продолжение – 1.2)


2


Интегрирование дифференциального уравнения прогибов – выполняется обычными приемами решения дифференциальных уравнений, рассматриваемых в курсе высшей математики: понижение степени производной, разделение переменной, интегрирование левой и правой частей, определения констант интегрирования или подстановка переменных пределов. Рассмотрим процедуру на примере двухопорной балки, нагруженной линейно изменяющейся распределенной нагрузкой.
Пример:


y


z


z


φ0


v=v(z)


q=q(z)=qBz/l


qB


A


B


l


1. Запишем дифференциальное уравнение прогибов:


2. Составим выражение для изгибающего момента в произвольном сечении на расстоянии z:
2.1. Отбросим опоры, заменим их реакциями и найдем величину реакций из уравнений равновесия:


RA


RB


2.2. Вычислим изгибающий момент через левые силы:


3. Подставим в дифференциальное уравнение и понизим порядок производной:


4. Разделим переменные и проинтегрируем:


Получили выражение для угла поворота сечения, в которое входит неизвестная величина C (константа интегрирования), равная углу поворота φ0 в начале координат (в точке A z=0).


5. Представим угол поворота в виде производной от прогиба :


Константы интегрирования C и D находятся из граничных условий:
1) z = 0, y(0) = 0; D =y0= 0;
2) z = l, y(l) = 0;


Таким образом, уравнение прогибов имеет вид:


Или с использованием безразмерных координат:

---

В системе MathCAD легко вычислить производные от функции прогибов и получить последовательно используя дифференциальные зависимости функцию углов поворота, эпюры изгибающих моментов и поперечной силы, исходную распределенную нагрузку, а также положение максимальных значений прогиба (ξ =0,519) и изгибающего момента
(ξ =0,577):


Видно, что величина максимального прогиба от такой нагрузки практически совпадает с прогибом, вычисленным в середине пролета, для изгибающего момента разница чуть больше (2.57%).


Получили выражение для прогиба, в которое входит неизвестные величины C и D (константы интегрирования), где D равна прогибу y0 в начале координат (в точке A z=0).


6. Разделим переменные и проинтегрируем:


Лекция 1 (продолжение – 1.3)


3


Интегрирование дифференциального уравнения прогибов при наличии нескольких участков – Балка, разбивается на участки в случаях ступенчатого изменения сечения, присутствия сосредоточенных сил и/или моментов, а также в случае расположения начала и/или конца распределенной нагрузки в пролете. Все это приводит к тому, уравнения изгибающих моментов, составляемые на каждом из участков, справедливы только в пределах этих участков. На границах участков функции (эпюры) изгибающих моментов имеют резкие переломы или скачки. Такие функции называются кусочно-гладкими и все операции дифференцирования или интегрирования необходимо выполнять по каждому из участков по отдельности. После интегрирования на каждом из участков появляются по две константы, подлежащие определению. Они определяются как и раньше из граничных условий. Для сечений, являющихся границами смежных участков, такими условиями является равенства значений прогибов и углов поворота слева и справа от сечения (условия совместности деформаций). Во многих случаях удобно использовать локальные координаты на каждом из участков.
Пример:


y


z


z1


φ0


v=v(z)


A


B


l


RA


RB


F


a


b


1. Отбросим связи, заменим их действие реакциями RA, RB и вычислим их:


2. Составим на каждом из участков выражения для изгибающих моментов, подставим в выражения упругой линии и дважды проинтегрируем их:

---

z2


3. Для нахождения констант интегрирования имеем 4 граничных условия:
1). в сечении A: y1(0) =y10= 0; 2). в сечении B: y2(b) = 0;
3). на границе участков: y1(a) = y2(0);
4). φ1(a) =φ2(0).


Из условия 1 сразу нашлось D1= 0. Из условия 2:


Из условий 3 и 4
имеем:


Решить эту систему трех уравнений вручную не просто, но MathCAD легко справляется с этой проблемой:


В частном случае при
a = b = l/2 получаем:


Таким образом получили уравнения линии прогибов:


Лекция 2


Метод начальных параметров – Предыдущий пример показывает, что при двух участках приходится находить 4 константы интегрирования. Соответственно, при m участков число констант интегрирования равен 2m. С помощью специального выбора системы отсчета и использования некоторых приемов интегрирования можно добиться того, чтобы количество констант, подлежащих определению, оставалось равным двум при любом числе участков:
Рассмотрим два соседних участка i и i+1, на границе между которыми приложен некоторый сосредоточенный силовой фактор, например, сила F. Начало координат общее для всех участков и совпадает с левым концом балки.


4


z


F


i


i+1


a


zi+1


zi


Составим дифференциальные уравнения прогибов для этих двух участков (Mi, Mi+1 – изгибающие моменты на участках i и i+1):


После интегрирования получим:


На границе участков zi = zi+1 = a углы поворота и прогибы должны быть одинаковы: φi = φi+1 , yi = yi+1 .
Тогда из равенства правых частей следует, что константы интегрирования равны для рассматриваемых смежных участков (слагаемые, связанные с силой F, обращаются в ноль, а интегралы тождественно равны для каждого из участков):


Cоставляя подобные уравнения на каждой границе, получим, что на всех участках ( i =1,…,m) константы равны С1=...=Сi=…=Сm= EIxφ0, и D1=...=Di=…=Dm= EIxy0, где φ0, y0 - угол поворота и прогиб в начале координат. Таким образом, при использовании указанной системы отсчета при любом количестве участков получаем всего две константы, подлежащие определению

---