ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2023
Просмотров: 309
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Лекция 3 (продолжение – 3.2)
5
Пример. Определить прогиб и угол поворота сечения на конце консоли двух опорной балки от приложенной равномерно распределенной нагрузки в пролете.
Итак, из принципа возможных перемещений получена формула Максвелла-Мора (или просто формула Мора), позволяющая определить действительные перемещения в любой точке упругой системы по любому направлению. Для этого необходимо:
1. Выбрать “единичное” нагружение, соответствующее искомому перемещению, а именно:
при вычислении линейного перемещения в какой-либо точке система нагружается единичной сосредоточенной силой
в этой же точке и по тому же направлению (с точностью наоборот), в котором ищется перемещение;
при вычислении углового перемещения (угла поворота) какого-либо сечения система нагружается единичным
сосредоточенным моментом (парой сил) в этом же сечении.
2. Построить эпюры внутренних сил от нагрузки (грузовое состояние) и от единичного силового воздействия. При плоском изгибе, как правило, ограничиваются построением эпюр изгибающих моментов. В некоторых случаях, например, в случаях сложного сопротивления, строятся дополнительно другие эпюры. Например, при сжатии с изгибом необходимо построение также эпюр продольной силы.
3. Применить формулу Мора. Если результат оказывается больше нуля, то это значит, что найденное перемещение совпадает с заданным направлением единичного силового воздействия. Если меньше нуля, то найденное перемещение противоположно направлению единичного воздействия.
В общем случае для вычисления перемещений по некоторому произвольному направлению
n с учетом деформаций сдвига и сжатия формула Максвелла-Мора принимает вид:
Здесь использованы соответствующие соотношения для вычисления возможной работы внутренних сил:
и деформаций:
, где k – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений при изгибе
z
l
y
a
A
B
D
q
yD
D
К грузовому состоянию добавляем два единичных состояния: “1” – от действия единичной силы, приложенной в точке D вертикально, например, вниз; “2” – от действия единичного момента, приложенного в этой же точке, например, против часовой стрелке:
q
z
l
a
A
B
D
F1=1
1
M2=1
z
l
a
A
B
D
2
2. Строим эпюры изгибающих моментов во всех трех состояниях:
Mq
Применить формулы Мора для прогиба и угла поворота:
M1
a
M2
1
1
Лекция 4
Способы вычисления интеграла Мора – Интеграл Мора, в котором подинтегральное выражение есть произведение двух функций, может быть вычислен различными методами в зависимости от вида этих функций. Заметим, одна из них, связанная с эпюрой внутренних усилий от единичного сосредоточенного воздействия, всегда линейная.
1. Непосредственное интегрирование – практически не имеет ограничений по использованию.
2. Способ Верещагина – удобен на тех участках, на которых легко можно определить центр тяжести одной из эпюр (обычно это относится к эпюре от грузового воздействия).
3. Формула Симпсона – применима в случае квадратичного закона изменения эпюры от грузового воздействия Формула трапеций – применяется в случае линейности обоих эпюр.
4. Формула трапеций – применяется в случае линейности обоих эпюр.
6
Первый способ не требует никаких особых пояснений. Рассмотрим его на примере (см. лекцию 3):
z
l
y
a
A
B
D
q
yD
D
q
Mq
z
l
a
A
B
D
F1=1
1
M1
a
M2=1
z
l
a
A
B
D
2
M2
1
1
Грузовая эпюра на втором участке тождественно равна нулю, так что достаточно знать законы изменения изгибающих моментов лишь на первом участке.
Здесь отрицательное значение прогиба означает, что действительное направление перемещения противоположно заданному направлению единичной силы.
Здесь положительное значение угла поворота означает, что действительное направление угла поворота совпадает с заданным направлением единичного момента.
Способ Верещагина:
Mq
M1
Вычисление интеграла вида может быть представлено как “перемножение” эпюр, если одна из эпюр линейная, что мы и имеем для эпюр изгибающих моментов от действия сосредоточенных усилий.
l
a
z
dz
статический момент площади эпюры Mq относительно оси y’
y’
zC
C
yC
yC
Таким образом, интеграл Мора может быть вычислен, как произведение
площади криволинейной эпюры на ординату линейной эпюры, взятой под центром тяжести криволинейной эпюры (способ Верещагина).
Лекция 4 (продолжение – 4.2)
7
l
Mq
M1
a
M2
1
1
Справочные данные о площадях и положениях центров тяжести характерных эпюр:
h
l
l
Следует иметь в виду, что приведенные формулы для площади и координаты центра тяжести не справедливы для
“не чистой” квадратной параболы, являющейся результатом сложения линейной эпюры (от действия сосредоточенных сил на границе участка) и параболической (от действия равномерно распределенной нагрузки на участке).
Если это так, то следует разбить эту эпюру на две или три более простых эпюры:
l
q
Пример. Вычислим прогиб и угол поворота сечения на конце консоли для предыдущего примера способом Верещагина:
Формула Симпсона: Можно доказать, что разбиением сложной параболической эпюры, как было показано выше, результат “перемножения” такой эпюры с линейной эпюрой выражается формулой:
l
a
b
c
d
e
f
Воспользуемся формулой Симпсона для предыдущего примера:
Формула трапеций: Формула Симпсона в частном случае при линейности обеих эпюр (перемножение трапеций)
выражается формулой:
l
a
b
c
d
Лекция 5
■ Основы расчета статически неопределимых систем методом сил – Напомним, что статически неопределимыми системами называются такие системы, в которых число неизвестных усилий (опорных реакций) превышает число независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы. Это означает, что статически неопределимая система имеет дополнительные связи, которые с точки зрения обеспечения неизменяемости системы, рассматриваемой как совокупность абсолютно твердых (недеформируемых) тел, являются лишними.
8
z
l
a
A
B
D
F
Статически неопределимая балка
(W = – 1, прогибы значительно меньше)
z
l
a
A
B
D
F
Статически определимая балка
(W = 3∙1 – 1 – 2∙1 = 0)
z
l
a
A
B
D
F
Геометрически изменяемая система
(W = 0, система не может воспринимать горизонтальную нагрузку)
z
A
l
a
B
D
F
Мгновенно изменяемая система
(не может воспринимать горизонтальную нагрузку при малых перемещениях)
■ Количество таких “лишних” связей (разность числа искомых неизвестных усилий и числа независимых уравнений равновесия) характеризует
степень статической неопределимости системы. Степень статической неопределимости плоской системы может быть установлена рассмотрением
степени кинематической подвижности: W = 3Д – С – 2Ш – 3Ж, где Д – число дисков (твердых дел), С – число стержней, Ш – число шарниров,
Ж – число жестких заделок. При W = 0 система статически определима, при W < 0 – статически неопределима, при W > 0 – геометрически изменяема.
■ Иногда при достаточном числе связей они стоят так, что они не могут препятствовать определенным перемещениям. Такие системы являются геометрически изменяемыми, как и системы с недостаточным числом связей. В некоторых случаях связи не включаются в работу при малых перемещениях (деформациях) системы. Такие системы являются мгновенно изменяемыми системами. Для них характерно возникновение значительных (близких к бесконечности) усилий в связях в положениях, в которых возможно равновесие.
Примеры:
Таким образом, последние две системы не могут нести нагрузку, методы выявления таких систем изучаются в курсе строительной механики. Статически неопределимые системы обладают повышенной жесткостью и несущей
способностью. Поэтому они широко используются в строительной практике.
■ Расчет статически неопределимых систем методом сил основывается на использовании основной статически определимой системы, образованной из исходной статически неопределимой системой отбрасыванием