ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2023
Просмотров: 296
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, угол поворота и прогиб в начале координат, называемые начальными параметрами.
■ Выражение изгибающего момента, участвующее в уравнениях, составим в общем виде для любого числа сосредоточенных моментов, сосредоточенных сил и равномерно распределенных нагрузок, расположенных по одну (левую) сторону от рассматриваемого сечения, согласно определения изгибающего момента, как сумму:
Таким образом, получили следующие уравнения для угла поворота и прогиба для любого из участков:
y0
z
φ0
ai
bj
ck
z
Fj
Mi
qk
5
Подстановка интеграла в выражение для угла поворота дает следующее уравнение углов поворота:
Вычислим второй интеграл подобным образом:
Проинтегрируем это выражение не раскрывая скобок и подставим пределы:
Первый интеграл представим как сумму интегралов:
(сомножитель (z – ai)0
добавили для “красоты”, нижние пределы задаются от координаты положения каждого силового фактора)
Итак, в полученных интегральных уравнениях для угла поворота и прогиба в произвольном сечении:
выражение для изгибающего момента имеет вид:
Подстановка интеграла в выражение для прогиба дает следующее уравнение прогибов:
Таким образом получено у н и в е р с а л ь н о е уравнение упругой линии (прогибов) балки, называемое также, как
уравнение метода начальных параметров:
(запись слагаемых в порядке увеличения степени координаты и использование факториалов придает особенную изысканность и красоту или, лучше сказать, простоту)
Уравнение для углов поворота может быть теперь получено дифференцированием уравнения метода начальных параметров:
Иногда в литературе [1] в число начальных параметров включается изгибающий момент M0, поперечная сила Q0 и даже q0 , как силовые факторы, имеющиеся (приложенные) в начале координат (в силу особенности вывода). Они вполне могут быть причислены к обычным силовым факторам, приложенным по длине балки, т.е. включены в соответствующие суммы, полагая a0 = 0, b0 = 0, с0 = 0.
z
l
y
a
A
B
D
q
6
Напомним правила, используемые при выводе (или составлении) уравнения начальных параметров:
1. Начало координат для всех участков общее и совпадает с началом балки.
2. В выражение изгибающих моментов (или в число слагаемых уравнения начальных параметров) включаются только те силовые факторы, что находятся левее рассматриваемого сечения.
3. Интегрирование производится не раскрывая скобок.
4. Равномерно распределенная нагрузка раз начавшись не должна заканчиваться. Если она закончилась левее сечения, то можно считать, что она продолжается, но необходимо добавить такую же нагрузку противоположного направления, начинающуюся там, где кончалась заданная нагрузка.
5. Правило знаков для слагаемых от любого фактора соответствует правилу знаков изгибающего момента для этого фактора.
Пример. Определить прогибы в середине пролета и на конце консоли двух опорной балки от приложенной равномерно распределенной нагрузки в пролете.
1. Отбросим опоры и заменим их действие реакциями:
RB
RA
2. Составим уравнения равновесия и определим реакции:
3. Составим уравнения начальных параметров на первом и втором участках (на втором участке продлим нагрузку q и добавим противоположную по направлению) :
C
z1
z2
3. Определим начальные параметры из граничных условий: yA =0, yB = 0. Из первого условия:
Из второго условия:
4. Определим прогиб в середине пролета:
Прогиб на конце консоли:
Этот же результат можно получить используя угол поворота на опоре B с учетом симметрии:
yC
yD
В системе MathCAD эта задача решается достаточно просто с использованием условных операторов if(…), обеспечивающих выполнение правила 2:
Лекция 3
Принцип возможных перемещений – Для равновесия механической системы, подчиненной голономным (интегрируемым), стационарным, идеальным и двухсторонним связям, необходимо и достаточно, чтобы
сумма элементарных работ всех приложенных активных сил на любом
возможном перемещении из предполагаемого положения равновесия равнялось нулю:
4
С использованием принципа возможных перемещений может быть получена формула для определения действительных перемещений по некоторому заданному направлению от приложенной к системе нагрузки. Такое направление можно задать с помощью приложения условного единичного силового фактора. Таким образом, можно рассматривать два состояния системы: “грузовое” (“q”) – от действия заданной нагрузки и “единичное” (“1”) – от действия единичного силового фактора, приложенного по направлению искомого перемещения:
y11
A
z
l
y
a
B
D
1
z
l
y
a
A
B
D
q
y1q
q
Рассмотрим состояние “1”: Под действием силы в каждом из поперечных сечений возникают внутренние упругие (реактивные) усилия – изгибающий момент и поперечная сила , сопротивляющиеся деформации балки и совершающие работу на любом возможном перемещении из положения равновесия, т.е. не являющиеся идеальными.
Их можно причислить к активным (заданным) силам.
В качестве возможных перемещений можно взять действительные перемещения от нагрузки
(состояние “q”), т.к. они достаточно малы и подчиняются наложенным на систему идеальным связям
(перемещения опорных точек равны нулю). и составить сумму работ заданных сил на возможных перемещениях:
Возможная работа единичной силы равна , где y1q – искомое перемещение
(здесь и далее знак вариации перемещений опускается, поскольку возможные перемещения и действительные перемещения отождествляются).
Возможная работа внутренних сил, приложенных к системе от деформации каждого упругого элемента балки, равна произведению внутреннего усилия на соответствующее перемещение. Поскольку во многих случаях при изгибе влиянием поперечных сил на деформацию пренебрегается, то, ограничиваясь изгибающим моментом, возможная работа внутренних усилий, действующая на систему от каждого элемента
, где
dq
Для вычисления возможной работы внутренних при деформации всех элементов балки необходимо проинтегрировать по участкам, на которых эпюры изгибающие моменты не имеют переломов и скачков, и просуммировать по количеству участков:
Подставляя возможные работы от единичной силы и внутренних усилий в сумму работ (принцип
возможных перемещений), получаем:
- формула Максвелла-Мора
Напомним, что под возможными перемещениями понимаются любые бесконечно малые перемещения системы, допускаемые связями.
Таким образом, возможные перемещения твердого тела в теоретической механике
, а здесь, в механике деформируемого тела, перемещения, связанные, как правило, с деформациями, не зависят от величины и направления активных сил, например, нагрузки.
Работа внутренних (реактивных)
сил всегда противоположна по знаку работе внешних (активных) сил)
на любых возможных перемещениях.
■ Выражение изгибающего момента, участвующее в уравнениях, составим в общем виде для любого числа сосредоточенных моментов, сосредоточенных сил и равномерно распределенных нагрузок, расположенных по одну (левую) сторону от рассматриваемого сечения, согласно определения изгибающего момента, как сумму:
Таким образом, получили следующие уравнения для угла поворота и прогиба для любого из участков:
y0
z
φ0
ai
bj
ck
z
Fj
Mi
qk
Лекция 2 (продолжение – 2.2)
5
Подстановка интеграла в выражение для угла поворота дает следующее уравнение углов поворота:
Вычислим второй интеграл подобным образом:
Проинтегрируем это выражение не раскрывая скобок и подставим пределы:
Первый интеграл представим как сумму интегралов:
(сомножитель (z – ai)0
добавили для “красоты”, нижние пределы задаются от координаты положения каждого силового фактора)
Итак, в полученных интегральных уравнениях для угла поворота и прогиба в произвольном сечении:
выражение для изгибающего момента имеет вид:
Подстановка интеграла в выражение для прогиба дает следующее уравнение прогибов:
Таким образом получено у н и в е р с а л ь н о е уравнение упругой линии (прогибов) балки, называемое также, как
уравнение метода начальных параметров:
(запись слагаемых в порядке увеличения степени координаты и использование факториалов придает особенную изысканность и красоту или, лучше сказать, простоту)
Уравнение для углов поворота может быть теперь получено дифференцированием уравнения метода начальных параметров:
Иногда в литературе [1] в число начальных параметров включается изгибающий момент M0, поперечная сила Q0 и даже q0 , как силовые факторы, имеющиеся (приложенные) в начале координат (в силу особенности вывода). Они вполне могут быть причислены к обычным силовым факторам, приложенным по длине балки, т.е. включены в соответствующие суммы, полагая a0 = 0, b0 = 0, с0 = 0.
Лекция 2 (продолжение – 2.3)
z
l
y
a
A
B
D
q
6
Напомним правила, используемые при выводе (или составлении) уравнения начальных параметров:
1. Начало координат для всех участков общее и совпадает с началом балки.
2. В выражение изгибающих моментов (или в число слагаемых уравнения начальных параметров) включаются только те силовые факторы, что находятся левее рассматриваемого сечения.
3. Интегрирование производится не раскрывая скобок.
4. Равномерно распределенная нагрузка раз начавшись не должна заканчиваться. Если она закончилась левее сечения, то можно считать, что она продолжается, но необходимо добавить такую же нагрузку противоположного направления, начинающуюся там, где кончалась заданная нагрузка.
5. Правило знаков для слагаемых от любого фактора соответствует правилу знаков изгибающего момента для этого фактора.
Пример. Определить прогибы в середине пролета и на конце консоли двух опорной балки от приложенной равномерно распределенной нагрузки в пролете.
1. Отбросим опоры и заменим их действие реакциями:
RB
RA
2. Составим уравнения равновесия и определим реакции:
3. Составим уравнения начальных параметров на первом и втором участках (на втором участке продлим нагрузку q и добавим противоположную по направлению) :
C
z1
z2
3. Определим начальные параметры из граничных условий: yA =0, yB = 0. Из первого условия:
Из второго условия:
4. Определим прогиб в середине пролета:
Прогиб на конце консоли:
Этот же результат можно получить используя угол поворота на опоре B с учетом симметрии:
yC
yD
В системе MathCAD эта задача решается достаточно просто с использованием условных операторов if(…), обеспечивающих выполнение правила 2:
Лекция 3
Принцип возможных перемещений – Для равновесия механической системы, подчиненной голономным (интегрируемым), стационарным, идеальным и двухсторонним связям, необходимо и достаточно, чтобы
сумма элементарных работ всех приложенных активных сил на любом
возможном перемещении из предполагаемого положения равновесия равнялось нулю:
4
С использованием принципа возможных перемещений может быть получена формула для определения действительных перемещений по некоторому заданному направлению от приложенной к системе нагрузки. Такое направление можно задать с помощью приложения условного единичного силового фактора. Таким образом, можно рассматривать два состояния системы: “грузовое” (“q”) – от действия заданной нагрузки и “единичное” (“1”) – от действия единичного силового фактора, приложенного по направлению искомого перемещения:
y11
A
z
l
y
a
B
D
1
z
l
y
a
A
B
D
q
y1q
q
Рассмотрим состояние “1”: Под действием силы в каждом из поперечных сечений возникают внутренние упругие (реактивные) усилия – изгибающий момент и поперечная сила , сопротивляющиеся деформации балки и совершающие работу на любом возможном перемещении из положения равновесия, т.е. не являющиеся идеальными.
Их можно причислить к активным (заданным) силам.
В качестве возможных перемещений можно взять действительные перемещения от нагрузки
(состояние “q”), т.к. они достаточно малы и подчиняются наложенным на систему идеальным связям
(перемещения опорных точек равны нулю). и составить сумму работ заданных сил на возможных перемещениях:
Возможная работа единичной силы равна , где y1q – искомое перемещение
(здесь и далее знак вариации перемещений опускается, поскольку возможные перемещения и действительные перемещения отождествляются).
Возможная работа внутренних сил, приложенных к системе от деформации каждого упругого элемента балки, равна произведению внутреннего усилия на соответствующее перемещение. Поскольку во многих случаях при изгибе влиянием поперечных сил на деформацию пренебрегается, то, ограничиваясь изгибающим моментом, возможная работа внутренних усилий, действующая на систему от каждого элемента
, где
dq
Для вычисления возможной работы внутренних при деформации всех элементов балки необходимо проинтегрировать по участкам, на которых эпюры изгибающие моменты не имеют переломов и скачков, и просуммировать по количеству участков:
Подставляя возможные работы от единичной силы и внутренних усилий в сумму работ (принцип
возможных перемещений), получаем:
- формула Максвелла-Мора
Напомним, что под возможными перемещениями понимаются любые бесконечно малые перемещения системы, допускаемые связями.
Таким образом, возможные перемещения твердого тела в теоретической механике
, а здесь, в механике деформируемого тела, перемещения, связанные, как правило, с деформациями, не зависят от величины и направления активных сил, например, нагрузки.
Работа внутренних (реактивных)
сил всегда противоположна по знаку работе внешних (активных) сил)
на любых возможных перемещениях.