Файл: Курс лекций по сопротивлению материалов Часть 1.ppt

Лекция 6 (продолжение – 6.2)

12


■ Построение эпюр внутренних сил – Выполняется методом сечений так же, как и ранее:
1. Отбрасываются связи, заменяется их действие реакциями:
Для статически определимого пространственного стержня число связей (и реакций) равно 6. В данном примере жесткая пространственная заделка должна быть заменена 3 реактивными силами RAx,RAy,RAz и 3 реактивными опорными моментами MAx, MAy, MAz :


F=qe


q


a =1


b = 1


e = 0.9


d = 0.8


y


x


z


RAx


RAy


RAz


MAz


MAy


MAx


2. Определяются реакции из 6 уравнений равновесия:
Замечание: В данном примере реакции можно не вычислять, поскольку далее при определении внутренних усилий можно рассматривать
силы, приложенные к правой отсеченной части.


3. Определяется число участков, на которых не изменяется нагружение и геометрия – 5 и назначается ориентация локальных систем координат на каждом из прямолинейных частях бруса - 4:


M=qa2


c = 1.8


I


II


III


IV


V


4. Проводим сечение I-I на расстоянии z1 от начала участка (0 < z1 < a), отбрасываем левую часть и заменяем ее действие внутренними усилиями (все усилия показываем положительными):


y


x


z


y


z


x


x


y


z


A


z1


N


Mx


Mz


My


x


y


z


Qy


Qx


5. Составляем уравнения равновесия для оставленной правой части бруса:


Из уравнения равновесия находим выражения для внутренних сил:


Легко можно убедиться, что внутренние усилия равны алгебраическим суммам
проекций на оси и моментам сил правой части, приложенных к поперечному

---

сечению левой части. Таким образом, при вычислении внутренних сил можно отбросить правую часть, оставить левую, а силы правой части перенести в поперечное сечение левой. Естественно, что при переносе силы параллельно самой себе возникает пара сил, момент которой равен моменту этой силы относительно новой оси (метод Пуансо):


F=qe


q


a


b


e


d


M


c


z1


N


Mx


Mz


My


x


y


z


Qy


Qx


6. Строим эпюры внутренних сил на рассматриваемом участке:
Qx = 0;


Qy = -qd = -0.8q ;


Qx


Qy


0.8q


0.8q


-


N


0.9q


0.9q


-


N = -F=-qe = -0.9q ;


Mx = -(qd)(c-d/2+(a-z1))-Fe = -q0.8(1.8 - 0.4+1-z1)- 0.9q∙0.9= -2.73q + 0.8qz1; z1=0, Mx= -2.73q; z1=1, Mx= -1.93q;


Mx


1.93q


2.73q


-


My = M-Fb = q∙12- 0.9q∙1= 0.1q;


My


0.1q


0.1q


+


Mz = -(qd)b = - q∙0.8∙1= -0.8q;


Mz


0.8q


0.8q


-


Далее строим эпюры внутренних сил на следующих участках, непосредственно используя соответствующую систему локальных координат и данное выше определение внутренних сил:

---

Лекция 6 (продолжение – 6.3)

Mx


1.93q


2.73q


-


13


F=qe


q


a =1


b = 1


e = 0.9


d = 0.8


M=qa2


c = 1.8


II


III


IV


V


7. Проводим сечение II-II на расстоянии z2 от начала участка (0 < z2 < b) :


y


z


x


x


y


z


A


z2


Qx = F = 0.9q ;


Qx


Qy


0.8q


0.8q


-


N


0.9q


0.9q


-


N = 0;


Mx = -(qd)(b-z2) = -0.8q∙1+0.8qz2; z2=0, Mx= -0.8q; z2=1, Mx= 0;


My = M-F(b-z2)= q∙12- 0.9q(1-z2); z2=0, My =0.1q; z2=1, My =q;


My


0.1q


0.1q


Mz = (qd)(c-d/2)+Fe = q∙0.8(1.8-0.4)+(0.9q)0.9= 1.93q;


Mz


0.8q


0.8q


-


Qy = -qd = -0.8q ;


x


y


z


y


x


z


-


0.9q


0.9q


-


0.8q


0.8q


-


0.


q


0.1q


+


+


1.93q


8. Проводим сечение III-III на расстоянии z3 от начала участка (0 < z3 < (c-d)) :


z3


Qx = 0;


Qy = -qd = -0.8q ;


-


0.8q


N = -F=-qe=- 0.9q;


-


0.9q


0.9q


Mx = -(qd)(c-d/2-z3)-Fe = -0.8q∙(1.8-0.4)-0.9g0.9+0.8qz3; z3=0, Mx= -1.93q;
z3=1, Mx= -1.13q;


-


1.93q


1.13q


My =0;


Mz = 0;


z4


9. Проводим сечение IV-IV на расстоянии z4 от начала участка (0 < z4 < d) :


y


z


x


Qx = 0;


Qy =-q(d-z4) =-0.8q+qz4; z4=0, Qy=-0.8q; z4=0.8, Qy=0;


0


N = -F=-qe=- 0.9q;


0.9q


Mx = -q(d-z4)(d-(d-z4)/2)-Fe = -q∙(0.8-z4)(0.8-(0.8-z4)/2)-0.9g0.9; z3=0, Mx= -1.13q;
z3=0.4, Mx= -1.05q;
z3=0.8, Mx= -0.81q;


1.05q


0.81q


My =0;


Mz = 0;


10. Проводим сечение V-V
на расстоянии z5 от начала участка (0 < z5 < e) :


z5


Qx = -F=-qe=-0.9q;


0.9q


0.9q


-


Qy= 0;


N = 0;


Mx = 0;


My = -F(e-z5)=-qe(e-z5)=

---

-q0.9(0.9-z5);
z5=0; My = -0.81q;
z5=0.9; My = 0;


-


0.81q


1.93q


+


Mz = 0;


Правильность построения эпюр внутренних усилий можно проверить рассмотрением равновесия вырезанных узлов (мест сопряжений прямолинейных участков).


x


y


x0


y0


n


n


H


B


Лекция 7


■ Одновременное действие продольной силы и изгибающих моментов – Такая комбинация внутренних усилий характерна тем, что в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, которые могут вычисляться по отдельности и складываться в соответствии с принципом независимости действия сил:


11


Во многих учебниках, например [1], можно увидеть знаки + перед слагаемыми, которые записываются ценою изменения направления осей x, у на противоположные или изменения правил для знаков изгибающих моментов (моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение волокон, находящихся в первом квадранте, т.е. при x > 0 и y > 0).
Иногда формулу напряжений при совместном действии продольной силы и моментов записывают в виде:


x


y


Далее, сохраняя обычную ориентацию координатных осей, будем использовать новое правило для знаков изгибающих моментов (моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение волокон, находящихся в первом квадранте).
Тогда формула для напряжений принимает вид:


+


-


-


+


Выражение показывает, что напряжения в точке линейно зависят от координат x, y. Для определения максимальных напряжений, необходимо найти точку, максимально удаленную от нулевой
(нейтральной оси).


Здесь x, y – координаты точки, в которой отыскивается напряжение;
правила знаков изгибающих моментов соответствуют ранее принятым правилам для плоского изгиба.


+


+


Здесь x, y – расстояния точки от координатных осей, в которой отыскивается напряжение; изгибающие моменты берутся по модулю;

---

знаки слагаемых присваиваются по характеру деформаций
(растяжение или сжатие) от каждого из моментов.


y


x


z


N


My


Mx


+


+


Уравнение нулевой линии – Для получения уравнения нулевой линии достаточно приравнять напряжения нулю:
Нулевую линию можно построить с помощью отрезков, отсекаемых этой прямой на координатных осях, которые определяются поочередным заданием нулевых значений каждой из координат:


Таким образом, максимальное напряжение возникает в точке в правом верхнем углу рассматриваемого прямоугольного поперечного сечения, которая наиболее удалена от нулевой линии:


σmax


Этот же результат для данного простого сечения можно получить без нахождения положения нулевой линии, рассматривая знаки слагаемых напряжений в угловых точках :


+


+


-


-


+


-


14


+


+


+


+

---