ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2023
Просмотров: 294
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Таким образом расчет прочности в общем случае трехосного напряженного состояния сводится к расчету прочности при двухосном напряженном состоянии.
Это не означает, что в условии для II теории просто следует приравнять 2 нулю. Здесь расчетное напряжение определяется с учетом двух испытаний: на растяжение - р и на сжатие - с.
22
Суть теории Мора в следующем: Пусть известны данные об опасных состояниях материала при нескольких различных соотношениях между напряжениями 3 и 1. Изображая каждое из состояний кругами Мора получим некоторое семейство таких кругов:
для двухосного напряженного состояния – круги черного цвета;
для одноосных растяжения и сжатия – круги красного цвета;
для чистого сдвига – круг синего цвета.
+
+
-
-
Одноосное сжатие
Одноосное растяжение
Чистый сдвиг
Двухосное напряженное состояние
(сжатие)
Двухосное напряженное состояние
(растяжение)
Для материалов, сопротивление которых при сжатии больше, чем при растяжении, огибающая предельных напряжений (пунктирная кривая) приближается к положительной оси абсцисс и пересекает ее в точке A, соответствующей двухосевому равномерному растяжению.
Эксперименты показывают, что при всестороннем сжатии материал не разрушается при любых, сколь угодно больших напряжениях. Поэтому огибающая не пересекает ось абсцисс при сжимающих напряжениях.
A
Уменьшая круги предельных напряжений в n раз (n – коэффициент запаса) получим область, соответствующую допускаемым (безопасным) напряженным состояниям:
+
-
A
+
р
с
Поскольку получить достаточно большое количество опытных данных затруднительно, обычно ограничиваются лишь двумя испытаниями ( на растяжение и на сжатие) и огибающие кривые заменяют прямыми, касательными к кругам Мора, построенным по этим испытаниям:
Для такой упрощенной диаграммы предельных напряженных состояний возможно получить
аналитическое условие прочности из подобия прямоугольных треугольников:
1
3
0.5с
0.5р
0.5с
0.5р
0.5с-0.5р
0.5(3-1)
0.5(3+1)
Сократим на 0.5 и перемножим:
После сокращения, сложения и сокращения на 2 получим:
Отсюда соотношение, удовлетворяющее линии предельных циклов:
Следовательно, условие прочности имеет вид:
Теория Мора хорошо согласуется с экспериментальными данными при σ1> 0, σ3< 0.
Недостатком теории
Мора является неучет промежуточного главного напряжения σ2.
23
■ Критерий пластического состояния – При испытаниях материалов было обнаружено, что в пластическом состоянии максимальное касательное напряжение имеет одно и то же значение для данного материала. В результате в качестве следующей гипотезы перехода материала в предельное состояние можно выбрать достижение наибольших касательных напряжений предельного (опасного) значения (критерий пластичности). Эта гипотеза легла в основу III теории прочности.
С использованием этого критерия условие прочности имеет вид:
В случае плоского напряженного состояния:
При изгибе с кручением:
Экспериментальные данные показывают хорошее совпадение результатов для пластичных материалов. Недостатком III теории по-прежнему является неучет среднего главного напряжения 2 .
■ IV теория прочности (энергетическая) – Первоначальной попыткой связать все три главных напряжения было выдвижение гипотезы перехода в предельное состояние удельной потенциальной энергии деформации некоторого предельного значения. Эксперименты показали, что при всестороннем сжатии пластические деформации не возникают, хотя при этом накапливается большая удельная потенциальная энергия. В связи с этим была выдвинута гипотеза о том, что предельное состояние обуславливается достижением предельного значения лишь той части удельной потенциальной энергии деформации, которая связана с изменением формы:
где
- полная удельная потенциальная энергия.
Удельную потенциальную энергию, затрачиваемую
на изменение объема, можно получить из этого выражения, полагая 1 =2 = 3= о:
Подстановка обобщенного закона Гука дает следующее выражение для полной удельной потенциальной энергии:
Удельная потенциальная энергия, затрачиваемая на изменение формы:
Примем:
24
Полученное выражение после приведения к общему знаменателю, раскрытия квадрата суммы, умножения и вычитания дает:
или
Для одноосного растяжения при наступлении текучести 1 = Т , 2 = 3 = 0 удельная потенциальная энергия составляет величину:
Замечание: Эти же соотношения можно получить непосредственно из выражения для полной удельной энергии деформации задавая по главным площадкам напряжения, равные разности действующих главных напряжений и среднего напряжения: 1’ = 1 - о, 2’ = 2 - о, 3’ = 3 - о:
и подставляя значение среднего напряжения:
Приравнивая выражения удельной потенциальной энергии изменения формы для трехосного напряженного состояния и для одноосного, получаем эквивалентное напряжение:
или
При изгибе с кручением:
Как и теория III, энергетическая теория показывает хорошее совпадение результатов с экспериментальными данными для пластичных материалов.
■ Понятия о новых теориях прочности и механики разрушения – Предельная поверхность, соответствующая условию появления массовых пластических деформаций по IV теории, определяется уравнением:
Уравнение соответствует поверхности кругового цилиндра радиуса , ось которого равно наклонена к координатным осям 1,2 и 3.
Критерий, использованный в III теории дает поверхность правильной шестигранной призмы, вписанной в цилиндр, т.е. предельная область почти совпадает с областью по IV теории. Критерий наибольших нормальных напряжений (I теория) дает куб с ребрами, равными о.
Новейшие теории прочности основываются на выборе различных вариантов предельной поверхности f(1,2, 3) = 0, при которой наиболее полно можно учесть особенности сопротивления данного класса материалов в условиях сложного напряженного состояния. Например, в композитных
(армированных) материалах разрушение может частично происходить за счет разрыва волокон, а частично за счет скалывания матрицы.
В случае ортотропных материалов, имеющих различные пределы прочности, или материалов имеющие различные пределы прочности при сжатии и растяжении условия прочности содержат константы, определяемые из соответствующих испытаний, т.е. используется не одно расчетное сопротивление, а два и больше.
■ Механика разрушения – относительно новое направление развитие теории прочности, в котором изучаются вопросы роста и устойчивости трещин в элементах конструкций в зависимости от уровня нагружения и других условий в процессе эксплуатации. Обследования эксплуатируемых металлических конструкций (мостов, газопроводов и резервуаров, корпусов кораблей и т.д.) показывают, что в их материале всегда присутствуют дефекты типа пустот и трещин. При этом их поведение (стабилизация, медленный или быстрый рост) может различаться в зависимости от их длины, формы, вида напряженного состояния и других факторов, например, толщины пластины, формы тела, граничных условий.
При исследовании напряженного состояния конструкции, имеющей трещины, наибольший интерес представляет окрестность вершины трещины, в которой возникают сверхвысокие напряжения. Методами теории упругости получено теоретическое распределение поля напряжений для некоторых частных случаев, например, при сквозной трещине типа I (отрыв) длиной 2l в бесконечной пластине единичной толщины под действием растягивающего напряжения σ. В элементе dxdy, расположенного на расстоянии r от вершины трещины и составляющий с плоскостью трещины угол θ, напряжения в окрестности вершины трещины определяются уравнениями:
В этих уравнениях присутствует сингулярный сомножитель, содержащий расстояние до вершины r, который обращает напряжения в бесконечность при устремлении этого расстояния к нулю.
Уравнения могут быть представлены в обобщенном виде как где
Коэффициент KI называется коэффициентом интенсивности напряжений (КИН). КИН полностью определяет поле напряжений при вершине трещины.
В частности для точек, лежащих на оси x (на продолжении трещины):
σ
x
2l
θ
y
r
σ
σ
σ
25
x
y
r
Наличие сингулярного множителя в полученном упругом решении показывает, что при любом значении растягивающего напряжения σ напряжения σy у вершины трещины (r = 0) могут быть сколь угодно большими и это уже должно означать опасное состояние трещины. Однако, благодаря пластическим свойствам материала, у острия трещины возникает зона пластических деформаций на участке 0 ≤
r ≤ rp, в которой напряжение не превышает предела текучести σТ .
σТ
rp
Размер этой зоны зависит от вида напряженного состояния(плоская деформация – толстые пластины или
плоское напряженное – тонкие пластины). При плоской деформации этот размер значительно меньше, но он увеличивается до размера, соответствующему плоскому напряженному состоянию, при выходе трещины на поверхность, поскольку на ней всегда существует именно плоское напряженное состояние.
25
Таким образом, интенсивность поля напряжений в окрестности вершины контролируется единственным параметром K, являющимся функцией только характера внешнего нагружения, геометрии пластины и размеров трещины. Для трещин другого расположения или пластин ограниченной толщины КИНы записываются с некоторыми поправочными коэффициентами в виде:
Например, для односторонней трещины fI = 1,12.
В теории разрушения используется гипотеза, подобная гипотезам в теориях прочности: причиной роста трещины является достижение некоторой величины, в данном случае КИН, своего предельного (критического) значения. Критический КИН представляет собой силовой критерий разрушения. Его иногда называют вязкостью разрушения. Возможны и другие критерии разрушения, в которых используется непосредственно критическая длина трещины или критическое значение интенсивности освобождающейся упругой энергии деформации.
U
A
W
l
Поглощение
энергии
Высвобождение
энергии
В частности, Гриффитс рассмотрел изменение потенциальной энергии деформации U пластины в связи с продвижением трещины, при котором затрачивается работа A на образование новой свободной поверхности. В начальной стадии развития трещины энергия поглощается dA > dU, затем энергия высвобождается dA < dU. Энергетическое условие быстрого роста трещины по Гриффитсу: dA ≤ dU. Здесь:
где R – константа, называемая сопротивлением росту трещины, связанная с плотностью энергии
образования свободной поверхности g, характеризуемой работой на разрушение межатомных связей на единицу новой поверхности.
Это не означает, что в условии для II теории просто следует приравнять 2 нулю. Здесь расчетное напряжение определяется с учетом двух испытаний: на растяжение - р и на сжатие - с.
Лекция 9 (продолжение – 9.3)
22
Суть теории Мора в следующем: Пусть известны данные об опасных состояниях материала при нескольких различных соотношениях между напряжениями 3 и 1. Изображая каждое из состояний кругами Мора получим некоторое семейство таких кругов:
для двухосного напряженного состояния – круги черного цвета;
для одноосных растяжения и сжатия – круги красного цвета;
для чистого сдвига – круг синего цвета.
+
+
-
-
Одноосное сжатие
Одноосное растяжение
Чистый сдвиг
Двухосное напряженное состояние
(сжатие)
Двухосное напряженное состояние
(растяжение)
Для материалов, сопротивление которых при сжатии больше, чем при растяжении, огибающая предельных напряжений (пунктирная кривая) приближается к положительной оси абсцисс и пересекает ее в точке A, соответствующей двухосевому равномерному растяжению.
Эксперименты показывают, что при всестороннем сжатии материал не разрушается при любых, сколь угодно больших напряжениях. Поэтому огибающая не пересекает ось абсцисс при сжимающих напряжениях.
A
Уменьшая круги предельных напряжений в n раз (n – коэффициент запаса) получим область, соответствующую допускаемым (безопасным) напряженным состояниям:
+
-
A
+
р
с
Поскольку получить достаточно большое количество опытных данных затруднительно, обычно ограничиваются лишь двумя испытаниями ( на растяжение и на сжатие) и огибающие кривые заменяют прямыми, касательными к кругам Мора, построенным по этим испытаниям:
Для такой упрощенной диаграммы предельных напряженных состояний возможно получить
аналитическое условие прочности из подобия прямоугольных треугольников:
1
3
0.5с
0.5р
0.5с
0.5р
0.5с-0.5р
0.5(3-1)
0.5(3+1)
Сократим на 0.5 и перемножим:
После сокращения, сложения и сокращения на 2 получим:
Отсюда соотношение, удовлетворяющее линии предельных циклов:
Следовательно, условие прочности имеет вид:
Теория Мора хорошо согласуется с экспериментальными данными при σ1> 0, σ3< 0.
Недостатком теории
Мора является неучет промежуточного главного напряжения σ2.
Лекция 10
23
■ Критерий пластического состояния – При испытаниях материалов было обнаружено, что в пластическом состоянии максимальное касательное напряжение имеет одно и то же значение для данного материала. В результате в качестве следующей гипотезы перехода материала в предельное состояние можно выбрать достижение наибольших касательных напряжений предельного (опасного) значения (критерий пластичности). Эта гипотеза легла в основу III теории прочности.
С использованием этого критерия условие прочности имеет вид:
В случае плоского напряженного состояния:
При изгибе с кручением:
Экспериментальные данные показывают хорошее совпадение результатов для пластичных материалов. Недостатком III теории по-прежнему является неучет среднего главного напряжения 2 .
■ IV теория прочности (энергетическая) – Первоначальной попыткой связать все три главных напряжения было выдвижение гипотезы перехода в предельное состояние удельной потенциальной энергии деформации некоторого предельного значения. Эксперименты показали, что при всестороннем сжатии пластические деформации не возникают, хотя при этом накапливается большая удельная потенциальная энергия. В связи с этим была выдвинута гипотеза о том, что предельное состояние обуславливается достижением предельного значения лишь той части удельной потенциальной энергии деформации, которая связана с изменением формы:
где
- полная удельная потенциальная энергия.
Удельную потенциальную энергию, затрачиваемую
на изменение объема, можно получить из этого выражения, полагая 1 =2 = 3= о:
Подстановка обобщенного закона Гука дает следующее выражение для полной удельной потенциальной энергии:
Удельная потенциальная энергия, затрачиваемая на изменение формы:
Примем:
Лекция 10 (продолжение – 10.2)
24
Полученное выражение после приведения к общему знаменателю, раскрытия квадрата суммы, умножения и вычитания дает:
или
Для одноосного растяжения при наступлении текучести 1 = Т , 2 = 3 = 0 удельная потенциальная энергия составляет величину:
Замечание: Эти же соотношения можно получить непосредственно из выражения для полной удельной энергии деформации задавая по главным площадкам напряжения, равные разности действующих главных напряжений и среднего напряжения: 1’ = 1 - о, 2’ = 2 - о, 3’ = 3 - о:
и подставляя значение среднего напряжения:
Приравнивая выражения удельной потенциальной энергии изменения формы для трехосного напряженного состояния и для одноосного, получаем эквивалентное напряжение:
или
При изгибе с кручением:
Как и теория III, энергетическая теория показывает хорошее совпадение результатов с экспериментальными данными для пластичных материалов.
■ Понятия о новых теориях прочности и механики разрушения – Предельная поверхность, соответствующая условию появления массовых пластических деформаций по IV теории, определяется уравнением:
Уравнение соответствует поверхности кругового цилиндра радиуса , ось которого равно наклонена к координатным осям 1,2 и 3.
Критерий, использованный в III теории дает поверхность правильной шестигранной призмы, вписанной в цилиндр, т.е. предельная область почти совпадает с областью по IV теории. Критерий наибольших нормальных напряжений (I теория) дает куб с ребрами, равными о.
Новейшие теории прочности основываются на выборе различных вариантов предельной поверхности f(1,2, 3) = 0, при которой наиболее полно можно учесть особенности сопротивления данного класса материалов в условиях сложного напряженного состояния. Например, в композитных
(армированных) материалах разрушение может частично происходить за счет разрыва волокон, а частично за счет скалывания матрицы.
В случае ортотропных материалов, имеющих различные пределы прочности, или материалов имеющие различные пределы прочности при сжатии и растяжении условия прочности содержат константы, определяемые из соответствующих испытаний, т.е. используется не одно расчетное сопротивление, а два и больше.
Лекция 10 (продолжение – 10.3)
■ Механика разрушения – относительно новое направление развитие теории прочности, в котором изучаются вопросы роста и устойчивости трещин в элементах конструкций в зависимости от уровня нагружения и других условий в процессе эксплуатации. Обследования эксплуатируемых металлических конструкций (мостов, газопроводов и резервуаров, корпусов кораблей и т.д.) показывают, что в их материале всегда присутствуют дефекты типа пустот и трещин. При этом их поведение (стабилизация, медленный или быстрый рост) может различаться в зависимости от их длины, формы, вида напряженного состояния и других факторов, например, толщины пластины, формы тела, граничных условий.
При исследовании напряженного состояния конструкции, имеющей трещины, наибольший интерес представляет окрестность вершины трещины, в которой возникают сверхвысокие напряжения. Методами теории упругости получено теоретическое распределение поля напряжений для некоторых частных случаев, например, при сквозной трещине типа I (отрыв) длиной 2l в бесконечной пластине единичной толщины под действием растягивающего напряжения σ. В элементе dxdy, расположенного на расстоянии r от вершины трещины и составляющий с плоскостью трещины угол θ, напряжения в окрестности вершины трещины определяются уравнениями:
В этих уравнениях присутствует сингулярный сомножитель, содержащий расстояние до вершины r, который обращает напряжения в бесконечность при устремлении этого расстояния к нулю.
Уравнения могут быть представлены в обобщенном виде как где
Коэффициент KI называется коэффициентом интенсивности напряжений (КИН). КИН полностью определяет поле напряжений при вершине трещины.
В частности для точек, лежащих на оси x (на продолжении трещины):
σ
x
2l
θ
y
r
σ
σ
σ
25
x
y
r
Наличие сингулярного множителя в полученном упругом решении показывает, что при любом значении растягивающего напряжения σ напряжения σy у вершины трещины (r = 0) могут быть сколь угодно большими и это уже должно означать опасное состояние трещины. Однако, благодаря пластическим свойствам материала, у острия трещины возникает зона пластических деформаций на участке 0 ≤
r ≤ rp, в которой напряжение не превышает предела текучести σТ .
σТ
rp
Размер этой зоны зависит от вида напряженного состояния(плоская деформация – толстые пластины или
плоское напряженное – тонкие пластины). При плоской деформации этот размер значительно меньше, но он увеличивается до размера, соответствующему плоскому напряженному состоянию, при выходе трещины на поверхность, поскольку на ней всегда существует именно плоское напряженное состояние.
Лекция 10 (продолжение – 10.4)
25
Таким образом, интенсивность поля напряжений в окрестности вершины контролируется единственным параметром K, являющимся функцией только характера внешнего нагружения, геометрии пластины и размеров трещины. Для трещин другого расположения или пластин ограниченной толщины КИНы записываются с некоторыми поправочными коэффициентами в виде:
Например, для односторонней трещины fI = 1,12.
В теории разрушения используется гипотеза, подобная гипотезам в теориях прочности: причиной роста трещины является достижение некоторой величины, в данном случае КИН, своего предельного (критического) значения. Критический КИН представляет собой силовой критерий разрушения. Его иногда называют вязкостью разрушения. Возможны и другие критерии разрушения, в которых используется непосредственно критическая длина трещины или критическое значение интенсивности освобождающейся упругой энергии деформации.
U
A
W
l
Поглощение
энергии
Высвобождение
энергии
В частности, Гриффитс рассмотрел изменение потенциальной энергии деформации U пластины в связи с продвижением трещины, при котором затрачивается работа A на образование новой свободной поверхности. В начальной стадии развития трещины энергия поглощается dA > dU, затем энергия высвобождается dA < dU. Энергетическое условие быстрого роста трещины по Гриффитсу: dA ≤ dU. Здесь:
где R – константа, называемая сопротивлением росту трещины, связанная с плотностью энергии
образования свободной поверхности g, характеризуемой работой на разрушение межатомных связей на единицу новой поверхности.