Файл: Курс лекций по сопротивлению материалов Часть 1.ppt

Лекция 7 (продолжение – 7.2)

15


■ Косой изгиб – В частном случае, при отсутствии продольной силы (N =0) и одновременном действии изгибающих моментов Mx и My сочетание двух прямых (плоских) изгибов вызывает косой изгиб.
Нормальные напряжения в произвольной точке сечения теперь определяется выражением:


Полный изгибающий момент есть векторная сумма этих векторов, модуль которого равен:


Изгибающие моменты и полный момент связаны известными соотношениями:


x


y


H


B


Плоскость действия полного момента M





Напряжения в произвольной точке сечения можно выразить через полный изгибающий момент:


Определим положение нейтральной линии, задавая напряжения равными нулю:


Плоскость действия момента Mx


Плоскость действия момента My


Уравнение нейтральной линии представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат.
Тангенс угла наклона (угловой коэффициент) равен:


Mx


Изобразим изгибающие моменты в виде векторов моментов пар сил, как это делалось в теоретической механике, совпадающими по направлению с положительными направлениями осей:


Mу


M


β


Здесь учтено, что напряжения в первой четверти (x > 0 и y > 0) от изгибающего момента My отрицательны, поскольку поворот плоскости поперечного сечения от этого момента происходит против часовой стрелки при взгляде навстречу вектору момента и вызывает сжатие волокон в этой четверти.





В случае Ix > Iy, что обычно и бывает при проектировании балки, несущей преимущественно вертикальную нагрузку, угол наклона нулевой линии  больше угла наклона полного изгибающего момента . Это означает, что полный прогиб не совпадает с плоскостью действия полного момента. Отсюда и происходит название косого изгиба.


β


n


n


Неприятность в том, что при малом отклонении, например, от вертикали расчетной нагрузки или отклонении от вертикали расчетного положения сечения, происходит значительное увеличение напряжений в поперечном сечении и деформаций (прогибов) такой балки.
Пусть такое отклонение от вертикали поперечного двутаврового сечения балки №20 с моментами сопротивления Wx = 184 см3,

---

Wy=23.1 см3, с моментами инерции Ix = 1840 см4, Iy=115 см4 составляет всего 2о.
Максимальное напряжение при отклонении оказывается выше на 27.7% от расчетного значения (без отклонения по вертикали), а максимальный прогиб – на 14.5%. Это можно посмотреть в документе MathCAD, в котором задаются единичные значения полного момента и коэффициента пропорциональности прогиба. Полный прогиб вычисляется как геометрическая сумма прогибов в каждой из плоскостей:

Лекция 8

16


■ Внецентренное растяжение-сжатие – Рассмотренная комбинация внутренних усилий может возникать при действии растягивающей или сжимающей силы F, не совпадающей с осью стержня и имеющей некоторые смещения относительно центральных осей (эксцентриситеты) xF и yF. При переносе силы параллельно самой себе в новый центр возникают моменты Mx и My присоединенных пар (метод Пуансо):


F


x


y


z


C


xF


yF


My


Mx


Таким образом, в произвольном сечении стержня имеем внутренние усилия: N = - F; Mx = - F∙yF; My = - F∙xF.
и уравнение нулевой линии принимает вид: или с использованием радиусов инерции сечения:


При проектировании массивных сжатых стоек из материалов, имеющих предел прочности на растяжение значительно меньше чем на сжатие (бетон, кирпичная или бутовая кладка, чугун)
необходимо обеспечить в поперечном сечении отсутствие растягивающих напряжений, т.е. нулевая линия не должна пересекать контур поперечного сечения. Таким образом, встает вопрос о допустимых смещениях сжимающей силы относительно центральных осей поперечного сечения. Область допустимых положений продольной силы,
при которых во всем сечении возникают напряжения одного знака, называется ядром сечения.


■ Построение ядра сечения – Рассмотрим для простоты прямоугольное сечение размером bxh:
Радиусы инерции сечения:


x


y


B


H


Зададим положение нулевой линии по верхнему краю сечения и определим координаты точки приложения продольной силы, соответствующие этой нулевой линии:
Уравнение нулевой линии:


n1


n1


Из уравнения нулевой линии можно определить координаты силы:

---

1


Зададим положение нулевой линии по правому краю сечения и определим координаты точки приложения продольной силы, соответствующие этой нулевой линии:
Уравнение нулевой линии:


n2


n2


2


Далее, повторяя это для двух остальных сторон сечения, получаем положения продольной силы. Полученные точки являются вершинами ядра сечения.


3


4


n3


n3


n4


n4


Можно доказать, что при изменении положения точки приложения продольной силы нулевой линии по прямой, соединяющей две вершины ядра сечения, нулевая линия, оставаясь касательной к контуру, лишь поворачивается, или наоборот, при повороте нулевой линии вокруг угла сечения (n1-n1 переходит в n2-n2 ) точка приложения продольной силы перемещается по прямой, соединяющей вершины 1 и 2:


Уравнение нулевой линии (1) показывает, координаты точки приложения силы и координаты точки, в которой напряжения обращаются в нуль, обладают “взаимностью”, выражающейся в том, что если силу поместить в любую точку найденной нулевой линии, то новая нулевая линия пройдет обязательно через точку, в которой была ранее сила.


Следовательно при движении точки приложения силы по прямой, совпадающей с первоначальной нулевой линией, например, по верхнему краю сечения, новая нулевая линия будет продолжать проходить через ту же точку, вращаясь вокруг нее, поскольку уравнение (1) остается в силе.


В системе MathCAD можно показать, что при повороте нулевой линии вокруг неподвижной точки, например, правого верхнего угла прямоугольного сечения, точка приложения силы перемещается по прямой из положения 1 в положение 2 ( - угол наклона нулевой линии, с – произвольный отрезок нулевой линии).








(1)


с


с


yF


xF

---

Лекция 8 (продолжение – 8.2)

17


■ Изгиб с кручением – При одновременном действии изгибающих моментов Mx и My и крутящего момента Mz в поперечном сечении возникают как нормальные напряжения (от изгиба), так и касательные напряжения ( от кручения). Такое совместное действие испытывают оси редукторов, валы двигателей, ведущие оси колесных пар локомотивов.
■ Для определения опасного сечения в таких элементах должны быть построены эпюры указанных внутренних усилий, включая в определенных случаях эпюры поперечных сил.
■ В случае равенства моментов инерции относительно главных осей, что и имеет место для валов круглого сечения, при действии изгибающих моментов в двух плоскостях косой изгиб не возникает. Изгибающие моменты Mx и My могут быть заменены одним (полным) изгибающим моментом Mи. Аналогично и поперечные силы Qy и Qx приводятся к равнодействующей силе Q. Таким образом, брус круглого сечения испытывает сочетание прямого (плоского) поперечного изгиба и кручения (при отсутствии продольной силы).


x


y


Эп.σи


Эп.кр


Эп.и


n


n


■ Нормальные напряжения определяются по формуле Касательные напряжения от кручения – по формуле:
Касательные напряжения от поперечной силы - Здесь принимаем, что ось x совпадает с положением нулевой линии n-n.
При расчете круглых валов опасные точки находятся на контуре поперечного сечения, максимально удаленных от осей x и z, в которых одновременно достигают максимума нормальные изгибные и касательные напряжения от кручения (касательные напряжения от поперечной силы максимальны на оси x и равны нулю при y = ymax):












z


При чистом кручении напряженным состоянием элементарного параллелепипеда является чистый сдвиг.


При наличии дополнительно изгиба напряженным состоянием элементарного параллелепипеда является уже частный случай плоского напряженного состояния (y = 0).


и


и


кр


Максимальные нормальные и касательные напряжения возникают в точках контура A и B.


A


B


Главные напряжения в этих точках определяются соотношениями:

---

При расчете на прочность необходимо воспользоваться одной из теорий прочности, рассматриваемых подробно в следующей лекции. Условие прочности по III теории прочности для рассматриваемого напряженного состояния принимает вид:


Условие прочности по IV теории прочности:


Используя выражения для максимальных нормальных и касательных напряжений и учитывая, что W =2Wx получаем: и


Тогда условие прочности по III и IV теориям прочности можно записать в виде одного выражения:
где - эквивалентные моменты по III и
IV теориям прочности

Лекция 8 (продолжение – 8.3)

18


■ Определение перемещений в пространственном стержне – В пространственном стержне в общем случае на каждом из участков могут возникать различные комбинации внутренних усилий. Техника построения эпюр для пространственных ломаных стержней рассматривалась в лекции 6.
Каждая точка оси бруса под действием приложенной нагрузки может иметь в общем случае три перемещения в пространстве (u, v и w). Кроме того, поперечное сечения бруса может иметь три угла поворота относительно центральных осей. Таким образом, необходим общий метод определения указанных перемещений. Таким методом является метод Максвелла-Мора, основанный на использовании вспомогательных состояний, в которых задается единичное усилие (сила или момент-пара сил) по направлению искомого перемещения.
В самой общей форме перемещения с использованием интегралов Мора имеет вид:


Здесь iq – любое перемещение (u,v, w, x, y, z),
- выражения для внутренних усилий от единичного усилия, соответствующего искомому перемещению по направлению и характеру (ед. сила или момент);
kx, ky – коэффициенты, зависящие от формы сечения:


Для прямоугольного сечения kx = ky = 1.2


Для круглого сечения kx = ky = 32/27 =1.185


В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах и арках влиянием продольных деформаций и сдвига пренебрегается и формула Мора принимает вид:


На лекции 6 были построены эпюры изгибающих и крутящего моментов от нагрузки для пространственного ломаного бруса.
Для определения, например, линейного перемещения центра поперечного сечения бруса

---