ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2023
Просмотров: 289
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
лишних связей. Действие отброшенных связей заменяется силами, называемыми лишними неизвестными. Таким образом в уравнения равновесия системы войдут эти дополнительные неизвестные усилия.
Для нахождения лишних неизвестных составляются уравнения совместности деформаций ( или просто уравнений деформаций), смысл которых заключается в том, перемещения в основной системе от действия нагрузки и лишних неизвестных усилий по направлению каждой из лишних неизвестных должны отсутствовать (обращаться в ноль):
где n – количество лишних неизвестных.
В уравнения совместности деформаций войдут перемещения от нагрузки и лишних неизвестных.
Перемещения от каждого силового фактора связаны с усилиями упругими соотношениями, например, формулами Мора. Таким образом, как и ранее, образуется полная система уравнений, отражающая три стороны описания статически неопределимой задачи (статика – уравнения равновесия, геометрия – уравнения деформаций, физика – соотношения упругости).
9
■ Система канонических уравнений метода сил – Уравнения деформаций могут быть записаны более подробно с выделением слагаемых от действия неизвестных сил и нагрузки:
Слагаемые от действия неизвестных удобно представить в виде произведения перемещения от единичного усилия на величину этого усилия:
Здесь бij – перемещение по направлению
i –ого неизвестного от действия единичной силы по направлению j – ого неизвестного:
Подставляя эти соотношения в уравнения деформаций получим
систему канонических уравнений
метода сил:
Перемещения бij и iq при изгибе определяются формулами Мора:
В случае учета деформаций сжатия-растяжения, например, при наличии в системе стержней, работающих только на сжатие-растяжение, формулы для перемещений содержат соответствующие дополнительные слагаемые:
Решением системы канонических уравнений находятся неизвестные X1,…Xn, после чего могут быть найдены внутренние усилия, также как это делается в статически определимых системах.
Поскольку эпюры внутренних усилий от единичных воздействий и нагрузки, построенные для определения перемещений, уже имеются, то расчетные эпюры могут быть построены непосредственно суммированием воздействий от найденных неизвестных усилий и нагрузки.
Например, для расчетной эпюры изгибающих моментов:
Пример 1.
z
l
a
A
B
D
F
Mq
Fa
1. Выбираем основную систему (отбрасываем среднюю опору и заменяем ее действие неизвестным усилием X1.
X1
2. Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки в основной системе:
3. Строим эпюру изгибающих моментов в основной системе от действия единичного усилия X1 = 1.
M1
4. Запишем каноническое уравнение метода сил и вычислим коэффициенты:
5. Вычислим величину X1 :
6. Построим эпюру M1X1 и сложим ее с эпюрой Mq:
M1X1
+
M
Fa
Проверим правильность расчета вычислением перемещения средней опоры (деформационная проверка):
10
■ Пример 2 – Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил в раме путепровода
(высота стойки равна половине пролета H = l/2):
l
l
q
EI
EI
2EI
H
1. Определяем степень статической неопределимости n = -W = -(3Д – С – 2Ш – 3Ж) = -(3∙1 - 2 - 2∙0 - 3∙1) = 2.
2. Выбираем основную систему (отбрасываем левую и правую опоры и заменяем их действие неизвестными усилиями X1 и X2:
X2
X1
3. Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки:
l
EI
2EI
H=l/2
Mq
4. Строим эпюры изгибающих моментов от действия: единичных усилий X1 = 1и X2 =1:
5. Запишем систему канонических уравнений метода сил и вычислим коэффициенты:
H=l/2
l
EI
2EI
M1
X1=1
l
2EI
M2
X1=1
6. После подстановки полученных выражений в систему канонических уравнений и ее решения находим:
Систему уравнений удобно решить в матричном виде, используя MathCAD:
7. Построим эпюры M1X1 и M2X2
и сложим их с эпюрой Mq:
M1X1
X1
X1
M2X2
EI
2EI
M
8. Выполним деформационную проверку:
Поскольку лишние неизвестные определены, можно построить эпюры поперечных и нормальных сил обычным образом (методом сечений):
Q
+
-
N
-
■ Сложное сопротивление – Рассмотренные ранее случаи сопротивления прямого стержня, когда в сечении возникает лишь один вид внутреннего усилия, относятся к простым деформациям стержня: осевое растяжение-сжатие, чистый сдвиг, чистый (плоский) изгиб, чистое кручение. В реальных конструкциях стержни могут подвергаться более сложным видам сопротивления, представляющих собой сочетание нескольких простых деформаций, происходящих одновременно. Таким образом, возможно появление в поперечном сечении различных комбинаций ненулевых компонент из шести внутренних усилий: N, Qx, Qy, Mx, My, Mz. Такие комбинации, например, возникают в поперечных сечениях пространственного ломаного стержня (рычаги сложной конфигурации, коленчатые валы и т.п.) даже при нагрузке
, лежащей в одной плоскости.
Лекция 6
■ Сложное сопротивление – Рассмотренные ранее случаи сопротивления прямого стержня, когда в сечении возникает лишь один вид внутреннего усилия, относятся к простым деформациям стержня: осевое растяжение-сжатие, чистый сдвиг, чистый (плоский) изгиб, чистое кручение. В реальных конструкциях стержни могут подвергаться более сложным видам сопротивления, представляющих собой сочетание нескольких простых деформаций, происходящих одновременно. Таким образом, возможно появление в поперечном сечении различных комбинаций ненулевых компонент из шести внутренних усилий: N, Qx, Qy, Mx, My, Mz. Такие комбинации, например, возникают в поперечных сечениях пространственного ломаного стержня (рычаги сложной конфигурации, коленчатые валы и т.п.) даже при нагрузке, лежащей в одной плоскости.
11
■ Построение эпюр внутренних сил в пространственном ломаном стержне – Для определения опасных сечений в таком стержне необходимо построить эпюры компонент внутренних усилий: N, Qx, Qy,
Mx, My, Mz. При построении эпюр следует руководствоваться следующими правилами:
1. Как и ранее, стержень разбивается на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены сосредоточенные усилия (сила, момент-пара сил), начинается или заканчивается равномерно распределенная нагрузка (в том числе и распределенный крутящий момент). Границами участка являются также начало и конец ломаного стержня. Теперь дополнительно границей участка следует считать
перелом оси стержня.
2. Вместо глобальной системы координат, с учетом пространственного изменения положения оси стержня при переходе от участка к участку, удобно использовать локальные системы координат для каждого из прямолинейных участков с началом, совпадающим с центром тяжести рассматриваемого поперечного сечения. Ось z направляется по оси прямолинейного участка бруса, положительные направления осей
x и y, в общем могут выбираться произвольно, но рекомендуется для горизонтальных участков ось y
направлять вверх, ось x – вправо от оси y при взгляде навстречу оси z (правая система координат). Для других
(вертикальных, наклонных) участков положительное направление оси y можно выбирать произвольно, ось
x – по тому же правилу.
I
II
III
IV
V
z
x
y
y
x
z
y
z
x
x
y
z
F3
F1
F2
z
x
y
O
R
Rx
Ry
Rz
M0
Mz
Mx
My
N
Qy
Qx
3. Правило знаков для внутренних усилий. Напомним, что внутренние усилия определяются методом сечений, в результате которого в поперечном сечении появляются напряжения, заменяющие действие отброшенной части бруса, которые и приводятся в общем случае к шести компонентам внутренних усилий
N, Qx, Qy, Mx, My, Mz.
Поскольку внутренние усилия, приложенные к каждой из частей бруса (оставленной или отброшенной) имеют противоположные друг к другу направления (аксиома действия и противодействия), то при определении знака каждого из усилий используются не знаки проекций на оси, которые будут различны для каждой из частей, а характер деформаций, которые остаются одинаковыми для обоих частей. Поэтому принимается:
продольная сила N - положительна, если приложенная к сечению сила растягивает рассматриваемую часть;
изгибающие моменты Mx, My – положительные, если приложенные к сечению силы растягивают нижние волокна бруса;
крутящий момент Mz - положителен, если при взгляде навстречу внешней нормали к сечению поворачивает его по часовой стрелке;
поперечные силы Qx, Qy - положительны, если при взгляде навстречу к заданной другой (парной) координатной оси, перпендикулярной оси стержня, поворачивают сечение по часовой стрелке:
F4
Теперь на рисунке слева все внутренние усилия показаны положительными.
Для нахождения лишних неизвестных составляются уравнения совместности деформаций ( или просто уравнений деформаций), смысл которых заключается в том, перемещения в основной системе от действия нагрузки и лишних неизвестных усилий по направлению каждой из лишних неизвестных должны отсутствовать (обращаться в ноль):
где n – количество лишних неизвестных.
В уравнения совместности деформаций войдут перемещения от нагрузки и лишних неизвестных.
Перемещения от каждого силового фактора связаны с усилиями упругими соотношениями, например, формулами Мора. Таким образом, как и ранее, образуется полная система уравнений, отражающая три стороны описания статически неопределимой задачи (статика – уравнения равновесия, геометрия – уравнения деформаций, физика – соотношения упругости).
Лекция 5 (продолжение – 5.2)
9
■ Система канонических уравнений метода сил – Уравнения деформаций могут быть записаны более подробно с выделением слагаемых от действия неизвестных сил и нагрузки:
Слагаемые от действия неизвестных удобно представить в виде произведения перемещения от единичного усилия на величину этого усилия:
Здесь бij – перемещение по направлению
i –ого неизвестного от действия единичной силы по направлению j – ого неизвестного:
Подставляя эти соотношения в уравнения деформаций получим
систему канонических уравнений
метода сил:
Перемещения бij и iq при изгибе определяются формулами Мора:
В случае учета деформаций сжатия-растяжения, например, при наличии в системе стержней, работающих только на сжатие-растяжение, формулы для перемещений содержат соответствующие дополнительные слагаемые:
Решением системы канонических уравнений находятся неизвестные X1,…Xn, после чего могут быть найдены внутренние усилия, также как это делается в статически определимых системах.
Поскольку эпюры внутренних усилий от единичных воздействий и нагрузки, построенные для определения перемещений, уже имеются, то расчетные эпюры могут быть построены непосредственно суммированием воздействий от найденных неизвестных усилий и нагрузки.
Например, для расчетной эпюры изгибающих моментов:
Пример 1.
z
l
a
A
B
D
F
Mq
Fa
1. Выбираем основную систему (отбрасываем среднюю опору и заменяем ее действие неизвестным усилием X1.
X1
2. Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки в основной системе:
3. Строим эпюру изгибающих моментов в основной системе от действия единичного усилия X1 = 1.
M1
4. Запишем каноническое уравнение метода сил и вычислим коэффициенты:
5. Вычислим величину X1 :
6. Построим эпюру M1X1 и сложим ее с эпюрой Mq:
M1X1
+
M
Fa
Проверим правильность расчета вычислением перемещения средней опоры (деформационная проверка):
Лекция 5 (продолжение – 5.3)
10
■ Пример 2 – Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил в раме путепровода
(высота стойки равна половине пролета H = l/2):
l
l
q
EI
EI
2EI
H
1. Определяем степень статической неопределимости n = -W = -(3Д – С – 2Ш – 3Ж) = -(3∙1 - 2 - 2∙0 - 3∙1) = 2.
2. Выбираем основную систему (отбрасываем левую и правую опоры и заменяем их действие неизвестными усилиями X1 и X2:
X2
X1
3. Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки:
l
EI
2EI
H=l/2
Mq
4. Строим эпюры изгибающих моментов от действия: единичных усилий X1 = 1и X2 =1:
5. Запишем систему канонических уравнений метода сил и вычислим коэффициенты:
H=l/2
l
EI
2EI
M1
X1=1
l
2EI
M2
X1=1
6. После подстановки полученных выражений в систему канонических уравнений и ее решения находим:
Систему уравнений удобно решить в матричном виде, используя MathCAD:
7. Построим эпюры M1X1 и M2X2
и сложим их с эпюрой Mq:
M1X1
X1
X1
M2X2
EI
2EI
M
8. Выполним деформационную проверку:
Поскольку лишние неизвестные определены, можно построить эпюры поперечных и нормальных сил обычным образом (методом сечений):
Q
+
-
N
-
■ Сложное сопротивление – Рассмотренные ранее случаи сопротивления прямого стержня, когда в сечении возникает лишь один вид внутреннего усилия, относятся к простым деформациям стержня: осевое растяжение-сжатие, чистый сдвиг, чистый (плоский) изгиб, чистое кручение. В реальных конструкциях стержни могут подвергаться более сложным видам сопротивления, представляющих собой сочетание нескольких простых деформаций, происходящих одновременно. Таким образом, возможно появление в поперечном сечении различных комбинаций ненулевых компонент из шести внутренних усилий: N, Qx, Qy, Mx, My, Mz. Такие комбинации, например, возникают в поперечных сечениях пространственного ломаного стержня (рычаги сложной конфигурации, коленчатые валы и т.п.) даже при нагрузке
, лежащей в одной плоскости.
Лекция 6
■ Сложное сопротивление – Рассмотренные ранее случаи сопротивления прямого стержня, когда в сечении возникает лишь один вид внутреннего усилия, относятся к простым деформациям стержня: осевое растяжение-сжатие, чистый сдвиг, чистый (плоский) изгиб, чистое кручение. В реальных конструкциях стержни могут подвергаться более сложным видам сопротивления, представляющих собой сочетание нескольких простых деформаций, происходящих одновременно. Таким образом, возможно появление в поперечном сечении различных комбинаций ненулевых компонент из шести внутренних усилий: N, Qx, Qy, Mx, My, Mz. Такие комбинации, например, возникают в поперечных сечениях пространственного ломаного стержня (рычаги сложной конфигурации, коленчатые валы и т.п.) даже при нагрузке, лежащей в одной плоскости.
11
■ Построение эпюр внутренних сил в пространственном ломаном стержне – Для определения опасных сечений в таком стержне необходимо построить эпюры компонент внутренних усилий: N, Qx, Qy,
Mx, My, Mz. При построении эпюр следует руководствоваться следующими правилами:
1. Как и ранее, стержень разбивается на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены сосредоточенные усилия (сила, момент-пара сил), начинается или заканчивается равномерно распределенная нагрузка (в том числе и распределенный крутящий момент). Границами участка являются также начало и конец ломаного стержня. Теперь дополнительно границей участка следует считать
перелом оси стержня.
2. Вместо глобальной системы координат, с учетом пространственного изменения положения оси стержня при переходе от участка к участку, удобно использовать локальные системы координат для каждого из прямолинейных участков с началом, совпадающим с центром тяжести рассматриваемого поперечного сечения. Ось z направляется по оси прямолинейного участка бруса, положительные направления осей
x и y, в общем могут выбираться произвольно, но рекомендуется для горизонтальных участков ось y
направлять вверх, ось x – вправо от оси y при взгляде навстречу оси z (правая система координат). Для других
(вертикальных, наклонных) участков положительное направление оси y можно выбирать произвольно, ось
x – по тому же правилу.
I
II
III
IV
V
z
x
y
y
x
z
y
z
x
x
y
z
F3
F1
F2
z
x
y
O
R
Rx
Ry
Rz
M0
Mz
Mx
My
N
Qy
Qx
3. Правило знаков для внутренних усилий. Напомним, что внутренние усилия определяются методом сечений, в результате которого в поперечном сечении появляются напряжения, заменяющие действие отброшенной части бруса, которые и приводятся в общем случае к шести компонентам внутренних усилий
N, Qx, Qy, Mx, My, Mz.
Поскольку внутренние усилия, приложенные к каждой из частей бруса (оставленной или отброшенной) имеют противоположные друг к другу направления (аксиома действия и противодействия), то при определении знака каждого из усилий используются не знаки проекций на оси, которые будут различны для каждой из частей, а характер деформаций, которые остаются одинаковыми для обоих частей. Поэтому принимается:
продольная сила N - положительна, если приложенная к сечению сила растягивает рассматриваемую часть;
изгибающие моменты Mx, My – положительные, если приложенные к сечению силы растягивают нижние волокна бруса;
крутящий момент Mz - положителен, если при взгляде навстречу внешней нормали к сечению поворачивает его по часовой стрелке;
поперечные силы Qx, Qy - положительны, если при взгляде навстречу к заданной другой (парной) координатной оси, перпендикулярной оси стержня, поворачивают сечение по часовой стрелке:
F4
Теперь на рисунке слева все внутренние усилия показаны положительными.