ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.12.2023
Просмотров: 375
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
2.1. Основные цели и задачи прикладного корреляционно-регрессионного анализа
2.2. Постановка задачи регрессии
2.4. Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, корреляционное отношение
3. Классическая линейная модель множественной регрессии
3.2. Оценивание коэффициентов КЛММР
X.
Рис. 4.1. Примеры гетероскедастичности
Гетероскедастичность дисперсии случайного члена означает, что
, (4.8)
т.е. нарушается предположение (3.3) в КЛММР, и мы должны рассматривать ОЛММР с нулевой ковариацией случайных ошибок (ср. (4.5) и (4.8)).
Основные последствия гетероскедастичности проявляются в получении неэффективных оценок МНК и занижении стандартных ошибок коэффициентов регрессии, что завышает t-статистику и дает неправильное представление о точности уравнения регрессии.
Поэтому для оценивания регрессии с гетероскедастичными случайными ошибками применяется ОМНК.
Предположим, что нам известны значения величин
i =1,…,n. Тогда уравнение (4.3) разделим на i:
,
и получим регрессию с постоянной (гомоскедастичной) дисперсией случайного члена, действительно
.
Для получения оценок неизвестных дисперсий i =1,…,nбудем предполагать, что они пропорциональны некоторым числам, т.е. 
, где 2 – некоторая константа.
Принимая различные гипотезы относительно характера гетероскедастичности, будем иметь соответствующие значения i.
Если дисперсия случайного члена пропорциональна квадрату регрессора X, так что
, то
, i =1,…,n.
Если дисперсия случайного члена пропорциональна X, так что
, то 
, i =1,…,n. Например, для случая одной объясняющей переменной имеем в этом случае систему уравнений ОМНК вида:
Поскольку значения i, i =1,…,n являются фактически весами, которые устраняют неоднородность дисперсии, то ОМНК для системы с гетероскедастичностью часто называют методом взвешенных наименьших квадратов.
Существуют также и другие методы коррекции модели на гетероскедастичность, в частности состоятельное оценивание стандартных ошибок. Известны способы коррекции стандартных ошибок Уайта и Невье-Веста [5, с. 144-146].
О проверке выборки на гомоскедастичность.
Рассмотрим вопрос тестирования выборки на наличие гомоскедастичности. Возможности такой проверки зависят от природы исходных данных.
Если имеется обширная выборка, то можно воспользоваться стандартным критерием однородности дисперсии Бартлетта.
Расчленяя выборку на m независимых групп (каждой из них соответствует единственное значение переменной X), вычислим величины:
,
причем ni=n, здесь ni - число наблюдений в i группе,
- дисперсия ошибки в i группе. Величина Q1/Q2 будет приближенно удовлетворять распределению 2 с (m-1) степенями свободы. Если вычисленное по выборке значение 2 меньше критического, то гипотеза об однородности выборочной дисперсии принимается, в противном случае отклоняется.
В случаях малого количества наблюдений в выборке, когда группировка данных невозможна, используется тест Голдфелда и Куандта. Он предусматривает осуществление следующих шагов:
1. Упорядочить наблюдения по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.
2. Опустить v наблюдений, оказавшихся в центре (v должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений n).
3. Оценить отдельно обыкновенным методом наименьших квадратов регрессии на первых (n-v)/2 наблюдениях и на последних (n-v)/2 наблюдениях при условии, что (n-v)/2 больше числа оцениваемых параметров k.
4. Пусть e1 и e2 - суммы квадратов остатков от первой и второй регрессий соответственно. Тогда статистика Q=e1/e2 будет удовлетворять F - распределению с ((n-v-2k)/2; (n-v-2k)/2) степенями свободы. При Q< F гипотеза об однородности выборочной дисперсии принимается, в противном случае (с ростом величины Q) отклоняется.
Очевидно, что решающим для этого теста является выбор величины v. Слишком большое значение v уменьшает надежность теста. Экспериментально авторами теста установлено, что для одной объясняющей переменной оптимальное v=8 при n=30 и v=16 при n=60.
Кроме перечисленных, могут использоваться тесты на гетероскедастичность Уайта, Бреуша-Пагана и др.
Пример. Проверим по критерию Бартлетта данные из примера 1 раздела 3. Будем иметь табл. 4.1. В табл. 4.1 учтено, что среднее значение ei равно 0, а значит,
. Примем m=2. Тогда:
Q1=20ln(10/20167,41 + 10/2059,69) (10ln(167,41)+10ln(59,69))=2,55; Q2=1+1/3(1/10+1/10-1/20)=1,05; Q1/Q2=2,43.
При одной степени свободы критическое значение 2 при 5% уровне значимости равно 3,84, а следовательно, гипотеза об однородности выборочной дисперсии принимается.
Для тех же данных применим тест Гольдфельда и Куандта. В нашем случае число объясняющих переменных k=2, количество исходных данных в выборке n=20. Упорядочим наблюдения по убыванию независимой переменной X2 – расстояние перевозки, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность. Опустим 4 наблюдения, оказавшихся в центре, т.е. v=4. При значении v=4 получим суммы квадратов остатков от первой и второй регрессий соответственно e1=1167,38 и e2=31,49. Статистика Q=e1/e2=1167,38/31,49 = 37,07 удовлетворяет F-распределению с (6; 6) степенями свободы. F0,05(6, 6) = 4,28, Q > F и гипотеза об однородности выборочной дисперсии должна быть отвергнута.
Поскольку тесты дают противоположные результаты (что не редкость в эконометрике), то лучше согласиться с наихудшим вариантом, т.е. предположить наличие гетероскедастичности и предпринять соответствующие корректирующие меры. В частности, скорректировать стандартные ошибки по формуле Невье-Веста. В таблице 4.2 представлены результаты регрессии до корректировки и после корректировки на гетероскедастичность. Видно, что на величине коэффициентов регрессии
корректировка на гетероскедастичность не отражается, а стандартные ошибки и значения статистик были пересчитаны.
Таблица 4.1
Таблица 4.2
Y
Рис. 4.1. Примеры гетероскедастичности
Гетероскедастичность дисперсии случайного члена означает, что
, (4.8)т.е. нарушается предположение (3.3) в КЛММР, и мы должны рассматривать ОЛММР с нулевой ковариацией случайных ошибок (ср. (4.5) и (4.8)).
Основные последствия гетероскедастичности проявляются в получении неэффективных оценок МНК и занижении стандартных ошибок коэффициентов регрессии, что завышает t-статистику и дает неправильное представление о точности уравнения регрессии.
Поэтому для оценивания регрессии с гетероскедастичными случайными ошибками применяется ОМНК.
Предположим, что нам известны значения величин
i =1,…,n. Тогда уравнение (4.3) разделим на i: ,и получим регрессию с постоянной (гомоскедастичной) дисперсией случайного члена, действительно
. Для получения оценок неизвестных дисперсий
i =1,…,nбудем предполагать, что они пропорциональны некоторым числам, т.е. , где 2 – некоторая константа.Принимая различные гипотезы относительно характера гетероскедастичности, будем иметь соответствующие значения i.
Если дисперсия случайного члена пропорциональна квадрату регрессора X, так что
, то
, i =1,…,n. Если дисперсия случайного члена пропорциональна X, так что
, то , i =1,…,n. Например, для случая одной объясняющей переменной имеем в этом случае систему уравнений ОМНК вида: Поскольку значения i, i =1,…,n являются фактически весами, которые устраняют неоднородность дисперсии, то ОМНК для системы с гетероскедастичностью часто называют методом взвешенных наименьших квадратов.
Существуют также и другие методы коррекции модели на гетероскедастичность, в частности состоятельное оценивание стандартных ошибок. Известны способы коррекции стандартных ошибок Уайта и Невье-Веста [5, с. 144-146].
О проверке выборки на гомоскедастичность.
Рассмотрим вопрос тестирования выборки на наличие гомоскедастичности. Возможности такой проверки зависят от природы исходных данных.
Если имеется обширная выборка, то можно воспользоваться стандартным критерием однородности дисперсии Бартлетта.
Расчленяя выборку на m независимых групп (каждой из них соответствует единственное значение переменной X), вычислим величины:
, причем ni=n, здесь ni - число наблюдений в i группе,
- дисперсия ошибки в i группе. Величина Q1/Q2 будет приближенно удовлетворять распределению 2 с (m-1) степенями свободы. Если вычисленное по выборке значение 2 меньше критического, то гипотеза об однородности выборочной дисперсии принимается, в противном случае отклоняется. В случаях малого количества наблюдений в выборке, когда группировка данных невозможна, используется тест Голдфелда и Куандта. Он предусматривает осуществление следующих шагов:
1. Упорядочить наблюдения по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.
2. Опустить v наблюдений, оказавшихся в центре (v должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений n).
3. Оценить отдельно обыкновенным методом наименьших квадратов регрессии на первых (n-v)/2 наблюдениях и на последних (n-v)/2 наблюдениях при условии, что (n-v)/2 больше числа оцениваемых параметров k.
4. Пусть e1 и e2 - суммы квадратов остатков от первой и второй регрессий соответственно. Тогда статистика Q=e1/e2 будет удовлетворять F - распределению с ((n-v-2k)/2; (n-v-2k)/2) степенями свободы. При Q< F гипотеза об однородности выборочной дисперсии принимается, в противном случае (с ростом величины Q) отклоняется.
Очевидно, что решающим для этого теста является выбор величины v. Слишком большое значение v уменьшает надежность теста. Экспериментально авторами теста установлено, что для одной объясняющей переменной оптимальное v=8 при n=30 и v=16 при n=60.
Кроме перечисленных, могут использоваться тесты на гетероскедастичность Уайта, Бреуша-Пагана и др.
Пример. Проверим по критерию Бартлетта данные из примера 1 раздела 3. Будем иметь табл. 4.1. В табл. 4.1 учтено, что среднее значение ei равно 0, а значит,
. Примем m=2. Тогда:Q1=20ln(10/20167,41 + 10/2059,69) (10ln(167,41)+10ln(59,69))=2,55; Q2=1+1/3(1/10+1/10-1/20)=1,05; Q1/Q2=2,43.
При одной степени свободы критическое значение 2 при 5% уровне значимости равно 3,84, а следовательно, гипотеза об однородности выборочной дисперсии принимается.
Для тех же данных применим тест Гольдфельда и Куандта. В нашем случае число объясняющих переменных k=2, количество исходных данных в выборке n=20. Упорядочим наблюдения по убыванию независимой переменной X2 – расстояние перевозки, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность. Опустим 4 наблюдения, оказавшихся в центре, т.е. v=4. При значении v=4 получим суммы квадратов остатков от первой и второй регрессий соответственно e1=1167,38 и e2=31,49. Статистика Q=e1/e2=1167,38/31,49 = 37,07 удовлетворяет F-распределению с (6; 6) степенями свободы. F0,05(6, 6) = 4,28, Q > F и гипотеза об однородности выборочной дисперсии должна быть отвергнута.
Поскольку тесты дают противоположные результаты (что не редкость в эконометрике), то лучше согласиться с наихудшим вариантом, т.е. предположить наличие гетероскедастичности и предпринять соответствующие корректирующие меры. В частности, скорректировать стандартные ошибки по формуле Невье-Веста. В таблице 4.2 представлены результаты регрессии до корректировки и после корректировки на гетероскедастичность. Видно, что на величине коэффициентов регрессии
корректировка на гетероскедастичность не отражается, а стандартные ошибки и значения статистик были пересчитаны.
Таблица 4.1
Проверка гомоскедастичности дисперсии по критерию Бартлетта
| Y | Ошибка ei | ei2 | Y | Ошибка ei | ei2 |
| 51 | -2,49 | 6,20 | 26 | -0,68 | 0,46 |
| 16 | -1,86 | 3,46 | 6 | 5,27 | 27,72 |
| 74 | 31,93 | 1019,21 | 5,8 | -5,29 | 27,93 |
| 7,5 | -3,18 | 10,11 | 13,8 | -16,74 | 280,23 |
| 33 | -2,17 | 4,71 | 6,2 | 8,94 | 79,87 |
| 26 | -18,38 | 337,64 | 7,9 | -3,57 | 12,74 |
| 11,5 | -3,45 | 11,90 | 5,4 | 5,18 | 26,79 |
| 52 | 5,58 | 31,14 | 56 | 7,72 | 59,60 |
| 15,8 | -3,11 | 9,67 | 25,5 | -0,85 | 0,72 |
| 8 | -8,72 | 76,04 | 7,1 | 4,85 | 23,47 |
| | |  =167,41 | | |  =59,69 |
Таблица 4.2
| Переменные | Коэффициент | Стандартная ошибка | Значение t-статистики | Значение критерия Фишера F(2,17) | R2 | |||||
| до | после | до | после | до | после | до | после | до | после | |
| X1 | 1,156 | 1,156 | 0,246 | 0,251 | 4,694 | 4,588 | 24,17 | 20,87 | 0,73 | 0,73 |
| X2 | 15,104 | 15,104 | 3,352 | 4,112 | 4,505 | 3,673 | ||||
| Константа | -17,313 | -17,313 | 6,447 | 5,297 | -2,685 | -3,268 | ||||