Файл: Курс лекций по дисциплине Эконометрика.doc

Для выявления тенденции временного ряда рассчитаем цепные абсолютные приросты (первые разности уровней ряда) , абсолютные ускорения уровней ряда (вторые разности ряда) и цепные коэффициенты роста .
Таблица 5.3

Месяц	t
Январь	1	82,9	-	-	-
Февраль	2	87,3	4,4	-	1,053
Март	3	99,4	12,1	7,7	1,139
Апрель	4	104,8	5,4	-6,7	1,054
Май	5	107,2	2,4	-3,0	1,023
Июнь	6	121,6	14,4	12,0	1,134
Июль	7	118,6	-3,0	-17,4	0,975
Август	8	114,1	-4,5	-1,5	0,962
Сентябрь	9	123,0	8,9	13,4	1,078
Октябрь	10	127,3	3,7	-5,2	1,035

Наибольшей стабильностью отличаются цепные коэффициенты роста. Для описания тенденции временного ряда используем степенной или экспоненциальный тренд. Для того чтобы убедиться в этом, рассчитаем уравнение тренда и коэффициенты детерминации уравнения для наиболее часто применяемых функций, применяя МНК. Получим табл. 5.4. Коэффициенты детерминации рассчитаны по линеаризованным уравнениям регрессии.

---

Как мы и предполагали, степенной тренд лучше всего описывает тенденцию анализируемого временного ряда, что подтверждается высоким значением коэффициента детерминации. 

Таблица 5.4

Уравнения трендов

Тип тренда	Уравнение
Линейный		0,873
Парабола второго порядка		0,920
Степенной		0,931
Экспоненциальный		0,856
Гиперболический		0,728

Интерпретация параметров тренда существенно зависит от его типа.

Если тренд имеет линейную форму, то a- начальный уровень временного ряда в период времени t=0 и b- средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Если же ряд имеет, например, экспоненциальный тренд, то a - начальный уровень временного ряда в период времени t=0 и - средний за единицу времени коэффициент роста уровней ряда.

Трактовка параметров степенного тренда аналогична трактовке параметров экспоненциального тренда.

Пример (продолжение примера 1). Согласно уравнению линейного тренда темпы роста заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от начального уровня 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом в 4,72 процентных пункта.

Мы можем заменить фактические уровни временного ряда на теоретические , подставляя значения

---

tв уравнение тренда:



Уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид:



Таким образом, начальный уровень ряда в начальный период времени равен 83,96, а средний цепной коэффициент роста - 1,045. Следовательно, темпы роста заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от начального уровня 83,96% со средним за месяц цепным коэффициентом роста в 104,5%. Теоретические значения временного ряда рассчитываются как:



Уравнение тренда параболы второго порядка имеет вид:

.

Следовательно, темпы роста заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от начального уровня 72,9% со среднемесячным абсолютным приростом, описываемым зависимостью вида . Теоретические значения уровней ряда могут быть рассчитаны как:



---

5.4. Метод последовательных разностей
Часто при аналитическом выравнивании ряда используется модель тренда в виде полинома.

Для определения порядка аппроксимирующего полинома в этом случае выделения тренда широко используется метод последовательных разностей членов анализируемого временного ряда.

Метод основан на следующем математическом факте: если временной ряд y₁, y₂, ..., y_t, ..., y_n содержит в качестве своей неслучайной составляющей алгебраический полином f(t)=a₀+a₁t+...+a_pt^p порядка р, то переход к последовательным разностям y(1), y(2), …, y(n), повторенный р+1 раз (то есть переход к последовательным разностям порядка р+1), исключает неслучайную составляющую (включая константу a₀), оставляя элементы, выражающиеся только через остаточную случайную компоненту u(t).

Алгоритм метода. Последовательно для k=1,2,… вычисляем разности ^ky(t) (t=1,2,…, n-k). Анализируем поведение разностей в зависимости от их порядка k. Начиная с некоторого kразности стабилизируются, оставаясь приблизительно на одном уровне при дальнейшем росте k. Это значение k ибудет давать порядок сглаживающего полинома, то есть p.

При применении метода следует иметь в виду, что стабилизация разностей не доказывает, что ряд первоначально состоял из полинома плюс случайный остаток, а только то, что он может быть приближенно представлен таким образом.

Пример. Имеются данные о базисных темпах роста среднедушевого дохода населения области за 10 месяцев (в % к январю). Расчет первых и вторых разностей показывает, что для ряда y_t тренд может быть адекватно описан полиномом второй степени. 

Таблица 5.5

Расчет последовательных разностей

Месяц	Темпы роста среднедушевого дохода (%), yt	yt=yt - yt-1	2yt=yt - yt-1
Февраль	102	-	-
Март	103	1	-
Апрель	107	4	3
Май	114	7	3
Июнь	125	11	4
Июль	139	14	3
Август	157	18	4
Сентябрь	178	21	3
Октябрь	201	23	2
Ноябрь	227	26	3

---

5.5. Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

Простейшим подходом к моделированию временных рядов, содержащих сезонные колебания, является построение аддитивной или мультипликативной моделей временного ряда.

Выбор одной из этих моделей основывается на анализе структуры временного ряда.

Если амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна, то строят аддитивную модель. Если же амплитуда колебаний непостоянна, то есть возрастает или уменьшается, то строят мультипликативную модель.

Процесс построения модели ряда в этом случае включает следующие этапы:

1. 
   Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Расчет значений сезонной компоненты S.
   
2. 
   Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+U) в аддитивной или (ТU) в мультипликативной модели.
   
3. 
   Аналитическое выравнивание уровней (Т+U) или (ТU) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
   
4. 
   Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (ТS)
   
5. 
   Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
   

Рассмотрим процесс построения аддитивной модели на примере.

Пример. Имеются данные о количестве продукции (тыс.шт.), проданной фирмой «Вега» в течение последних 20 кварталов.

Квартал	Объем продаж	Квартал	Объем продаж	Квартал	Объем продаж	Квартал	Объем продаж
1	8,4	6	9,1	11	10,1	16	12,2
2	8,6	7	9,2	12	10,8	17	11,9
3	8,8	8	9,9	13	10,5	18	12,3
4	9,5	9	9,7	14	10,7	19	12,5
5	8,5	10	9,9	15	11	20	13,2

---