Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

87
схемы на следующих задачах учебника [90]: § 18 № 38 (угол между прямой и плоскостью); § 18 № 45 (угол между плоскостями); § 20
№ 6 (угол между скрещивающимися прямыми); § 17 № 52 (расстоя
ние от точки до прямой); § 20 № 5 (расстояние между скрещиваю
щимися прямыми), § 19 № 19 (расстояние между скрещивающими
ся прямыми).
3. Решите задачу: Через вершину прямого угла С прямоугольного
треугольника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе,
на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плоскость
равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу (№ 27, § 17, [90]). Какие ошибки могут допустить ученики при построении чертежа? Какая наглядность может предотвратить эти ошибки?
Выберите, на ваш взгляд, наиболее удобный порядок выпол
нения чертежа:
а) Начать построение с плоскости — начать построение с треугольника.
б) Плоскость расположить горизонтально — плоскость распо
ложить не горизонтально.
в) Треугольник расположить под плоскостью — треугольник расположить над плоскостью.
Задание 4. Используя Приложение 48, познакомьтесь с опор
ными задачами стереометрии. Продумайте организацию работы на уроках стереометрии с использованием опорных задач (когда и как формулируется опорная задача, надо ли ее доказывать, как ее использовать при решении задач).
Контрольное задание. Разработайте методику работы со сле
дующей задачей:
Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из
боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены
к нему под углом
α. Как наклонены к плоскости основания боковые
ребра? (№ 43 § 19, [90]).
Сформулируйте опорные задачи, необходимые для ее решения.
Сравните свои формулировки опорных задач с Приложением 48.
Лабораторная работа № 2
Методика работы с задачным материалом темы
(на примере темы «Перпендикулярность в пространстве»)
Цели: Выяснить основные трудности, которые возникают
у учащихся при доказательстве перпендикулярности двух прямых;
повторить методику анализа задачного материала темы; познако
миться с технологией создания комплексов задач на основе единой
III семестр

Программа обучения математике в старших классах
88
конструкции; разработать вариант организации урока, на котором
используются укрупненные дидактические единицы (комплексы за
дач); рассмотреть связи задачного материала с предыдущими
и последующими темами стереометрии, связи планиметрических
и стереометрических задач.
План:
Задание 1.
В соответствии с указанными целями сформулируйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем способы доказательства перпендикуляр
ности прямых в пространстве
1. Охарактеризуйте суть следующих способов доказательства —
перпендикулярность прямых:
а) следует из определения перпендикулярности прямой и плос
кости,
б) и плоскости предварительно доказывается с использовани
ем соответствующего признака,
в) доказывается с использованием теоремы о трех перпенди
кулярах,
г) следует из перпендикулярности соответствующих плоско
стей.
2. Для доказательства перпендикулярности прямых и с использованием теоремы о трех перпендикулярах можно использовать следующий трафарет:
Рассмотрим плоскость
α — . . . . . . . . и прямую
,
лежащую в плоскости
α
(главный перпендикуляр) ...
⊥ α (по ..........)
наклонная проекция
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
⊥
(..........)
проекция наклонная
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
⊥
(по теореме о трех перпендикулярах)
⇒
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

89
Составьте шаблоны, которые можно использовать для других способов доказательства перпендикулярности двух прямых в про
странстве.
3. Покажите применение составленных трафаретов при реше
нии задач со следующим условием: Из вершины прямоугольника
построен перпендикуляр к его плоскости.
Задание 3. Осваиваем технологию создания комплексов задач на
базе геометрической конструкции
1. Повторите схему анализа задачного материала темы (При
ложение 49) и проанализируйте задачный материал темы «Пер
пендикулярность в пространстве». Перечислите задачи, связан
ные с геометрической конструкцией: Из вершины прямоугольника
построен перпендикуляр к его плоскости.
2. На базе геометрической конструкции (из вершины прямо
угольника построен перпендикуляр к его плоскости) создайте ук
рупненную дидактическую единицу (комплекс задач), соблюдая следующие этапы:
I. Выделяется ключевая информация из данного условия —
информация, лежащая в основе решения всех задач с данной конструкцией.
Выделите ключевую информацию из данного условия (из вер
шины прямоугольника построен перпендикуляр к его плоскости)
и сравните свой ответ со следующим: «В данной конструкции все образовавшиеся треугольники являются прямоугольными».
Сформулируйте задание 1 для учащихся, связанное с этой информацией, и сравните свой ответ со следующим: «Из верши
ны А прямоугольника АВСD построен перпендикуляр АК к его плоскости. Назовите образовавшиеся прямоугольные треуголь
ники и обоснуйте свой выбор».
II. Создается серия вычислительных задач.
1) Задача преобразуется в вычислительную с открытым условием
или заключением.
Составьте задание 2, закончив предложение: «Что нужно знать,
чтобы найти…?», так, чтобы учащиеся смогли сформулировать условие, аналогичное задаче:
Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК,
перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других
вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК
(№ 7, § 17, [90]).
Продумайте возможные ответы учащихся на задание 2.
2) Изменяются числовые данные (возможно обобщение) и добав
ляются новые вопросы.
III семестр

Программа обучения математике в старших классах
90
Составьте задание 3, закончив предложение: «Изменится ли план решения задачи, если: а) ... (изменяются числовые данные),
б) ... (добавляется новый вопрос)?», так, чтобы помочь учащимся сформулировать задачу, аналогичную задаче:
Из вершины прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его
плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других
вершин прямоугольника равны а, b и с (а < с, b < с). Найдите длину
перпендикуляра и сторону квадрата. (№ 42, § 17, [90]).
3) Рассматривается частный случай фигуры.
Составьте задание 4, в котором учащиеся формулируют задачу,
аналогичную задаче:
Из вершины квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоско
сти. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин
квадрата равны а и b (а < b). Найдите длину перпендикуляра
и сторону квадрата (№ 41, § 17, [90]).
III. Преобразуется геометрическая конструкция.
Составьте задание 5, в котором преобразуется чертеж так,
чтобы выполнялось условие: из вершины острого угла прямоуголь
ного треугольника построен перпендикуляр к его плоскости. Вклю
чите в задание задачу с открытым заключением так, чтобы по
мочь учащимся сформулировать задачу, аналогичную задаче:
Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС
с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная плоско
сти треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин В
и С, если АС = а, ВС = b, АD = с. (№ 8, § 17, [90]).
3. Назовите темы курса планиметрии, которые используются при решении задач составленной укрупненной дидактической единицы (УДЕ).
4. Разработайте развернутый план урока, на котором исполь
зуется составленная УДЕ (комплекс).
Задание 4.
1. Проанализируйте задачи № 14, 15, 16, 33, 34, 35, 36, 37, 38,
39, 40, 56, 57 и покажите, что в каждой из них следует уметь выделять следующую геометрическую конструкцию: через кон
цы отрезка и одну из его точек проведены прямые, перпендику
лярные данной плоскости, причем:
а) отрезок может не пересекать плоскость,
б) отрезок может пересекать плоскость,
в) один конец отрезка может лежать в другой плоскости.
2. Сравните эту геометрическую конструкцию со следующей,
которая используется в теме «Параллельность в пространстве»:
«Через концы отрезка и одну из его точек проведены параллельные

91
прямые до пересечения с плоскостью», и предложите ее исполь
зование при демонстрации связей между темами «Параллель
ность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве».
Используя Приложение 48, укажите опорную задачу для решения задач с данной геометрической конструкцией.
Контрольное задание. Составьте укрупненную дидактическую еди
ницу, в которой использовалось бы как можно больше перечислен
ных выше задач темы «Перпендикулярность в пространстве».
Задание 5. Осваиваем технологию создания комплексов задач на
основе опорных задач
1. Сформулируйте опорные задачи (прямые и обратные) по каждому пункту схемы, а затем проверьте себя, используя Прило
жение 48:
Равные наклонные проведены из одной точки
(если ..., то ...)
что используется, когда
Точка равноудалена от вершин многоугольника
(если ..., то ...)
Точка равноудалена от сторон многоугольника
(если ..., то ...)
2. Укажите номера задач § 17 [90], в которых используются эти опорные задачи, и на их основе составьте комплекс с прямыми и обратными задачами. Какие темы из планиметрии требуются для его решения?
3. Подберите или составьте задачи, связанные с пирамидой,
в которых используются опорные задачи о проекции вершины пирамиды (Приложение 48, задачи 8 и 9).
Лабораторная работа № 3
Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
на построение сечений многогранников плоскостью
Цели:Ознакомиться с основами решения задач на построение
сечений многогранников плоскостью. Выделить виды задач на по
строение сечений и описать методику ведения диалога при построе
нии сечений.
III семестр

Программа обучения математике в старших классах
92
План:
Задание 1.
В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Обсуждаем основы решения задач на построение
сечений
Ответьте на вопросы.
1. Что называется сечением многогранника плоскостью?
2. Какие из перечисленных утверждений могут использовать
ся при построении сечений (верные утверждения подтвердите рисунками задач на построение):
а) если две плоскости имеют общую точку, то они пересекают
ся по прямой, проходящей через эту точку;
б) если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоско
стей, пересекает другую плоскость, то она пересекает линию пересечения плоскостей;
в) если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны;
г) секущая плоскость пересекает грань многогранника по ло
маной линии;
д) в сечении четырехугольной призмы плоскостью может по
лучиться:
• отрезок;
• треугольник;
• четырехугольник;
• пятиугольник;
• шестиугольник;
• семиугольник;
е) вершины сечения многогранника плоскостью могут лежать не на ребрах многогранника;
ж) если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости;
з) секущая плоскость однозначно может быть задана следую
щими данными:
• тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• прямой и не лежащей на ней точкой;
• прямой а и условием параллельности секущей плоскости заданной прямой b (рассмотреть различные случаи располо
жения прямых).
Проверьте себя, используя Приложение 51 и Приложение 52.

93
Задание 3. Осваиваем 1й вид задач на построение сечений
1. Используя рисунки, создайте серию кодопозитивов (компь
ютерных слайдов) для демонстрации процесса построения сечения призмы плоскостью, для случая, когда среди трех данных точек есть две, лежащие в одной грани.
1)
2)
3)
4)
5)
E
O
Y
X
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
M
P
K
E
O
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
M
P
K
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
M
P
K
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
M
P
K
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
M
P
K
Ответьте на вопросы:
• Почему сначала работали с точками М и Р?
• Зачем понадобилась точка Е?
• Почему для построения точки Е продолжали именно ребро АВ?
• Почему необходимо выделять точку О?
• Можно ли точку Y построить, используя прямую МО и точку К?
2. Разработайте упражнения, связанные с пирамидой, для формирования следующих умений:
• указывать грань, в которой лежит заданная точка,
• указывать точки, лежащие в одной грани,
• указывать линию пересечения граней,
• строить точку пересечения данной прямой с плоскостью заданной грани.
Продемонстрируйте составленные упражнения с помощью кодоскопа (компьютера).
III семестр
Е

Программа обучения математике в старших классах
94
Замечание. Упражнения, связанные с призмой смотри в посо
бии [74].
Контрольное задание. Используя Приложение 51, на своем примере раскройте этапы работы с задачей на построение сечений многогранников плоскостью, проходящей через три заданные точки, среди которых есть две, лежащие в одной грани.
Задание 4. Осваиваем 2й вид задач на построение сечений
1. Ознакомьтесь со схемой решения задач на построение сечений многогранников плоскостью, проходящей через три за
данные точки, среди которых нет двух, лежащих в одной грани
(Приложение 51).
2. Разработайте методику решения следующей задачи с ис
пользованием дополнительной плоскости:
Дана призма АВСDА
1
В
1
С
1
D
1
. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки М, Р и К такие, что М
∈ВВ
1
С
1
С, Р
∈АА
1
В
1
В,
К
∈СС
1
D
1
D.
3. Решите эту же задачу с использованием двух дополнитель
ных плоскостей (одна проходит через точки Р и К, другая через М
и D
1
) и объясните, почему в этом случае говорят о методе внут
реннего проектирования.
4. Решите задачу:
Дана призма АВСDА
1
В
1
С
1
D
1
. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки М, Р и К такие, что М
∈АА
1
D
1
D, Р
∈А
1
D
1
,
К
∈ВВ
1
С
1
С.
Какие трудности могут испытывать учащиеся при решении этой задачи? Каковы возможные пути преодоления этих трудно
стей? Можно ли использовать дополнительную плоскость в этой задаче? Можно ли использовать метод внутреннего проектирова
ния в этой задаче?
Задание 5. Осваиваем 3й вид задач на построение сечений
1. Выберите из школьных учебников по геометрии задачи на построение сечений многогранников плоскостью, если секущая плоскость проходит:
а) параллельно заданной прямой;
б) параллельно заданной плоскости.
2. Разработайте методику обучения учащихся решению сле
дующей задачи: DАВС — тетраэдр, Р
∈АВ; DЕ — медиана грани
СDВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точки С и Р параллельно DЕ.
В случае затруднений, воспользуйтесь Приложением 52.

95
Лабораторная работа № 4
Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
на комбинацию тел
Цели: Познакомиться с анализом системы стереометрических
задач на комбинацию тел; выделить всевозможные комбинации тел,
изучающиеся в школьном курсе геометрии; сформировать комплексы
задач по различным комбинациям; раскрыть организацию и методи
ку обучения решению одного из комплексов таких задач, используя
наглядность.
План:
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем построение чертежа
1. Укажите ошибки построения на следующих рисунках:
1) конус, вписанный в шар
2) шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду
3) конус, вписанный в прямой параллелепипед, в основании которого ромб
4) конус, вписанный в цилиндр
III семестр

Программа обучения математике в старших классах
96
Рассмотрите всевозможные комбинации тел, изучаемых в школьном курсе геометрии (призма, пирамида, конус, цилиндр,
сфера), сделайте чертежи и укажите номера соответствующих задач школьных учебников.
Задание 3. Создаем комплекс задач, связанный с комбинацией тел
1. Составьте альбом серии задач, связанной со сферой и впи
санной в нее правильной треугольной пирамидой, если известны сторона основания пирамиды и радиус описанной сферы.
Для этого составьте:
а) задание с открытым заключением;
б) обратные задачи;
в) новые задачи, изменив данные по пирамиде.
2. Сформулируйте опорные задачи, необходимые для решения составленных Вами задач. Сравните свои формулировки опор
ных задач с Приложением 53.
3. Предложить организацию и методику работы с составлен
ным альбомом.
4. Составьте альбомы серий задач, связанных со сферой и вписанной в нее правильной четырехугольной (шестиуголь
ной) пирамидой.
Задание 4. Формируем представление о теле, полученном при
вращении плоской геометрической фигуры вокруг заданной оси
1. Опишите тело, образованное вращением:
• прямоугольного треугольника около внешней оси, парал
лельной катету;
• трапеции около оси, проходящей через вершину большего основания перпендикулярно к нему.
Подберите или изготовьте наглядные пособия к этим телам.
2. Составьте свои задания на описание тел вращения.
Лабораторная работа № 5
Координаты и векторы в пространстве
Цели: Ознакомиться с последовательностью изучения темы «Векто
ры и координаты» на плоскости и в пространстве; соотнести изучен
ные ранее на геометрическом языке понятия с их интерпретацией на
векторном и координатном языках и познакомиться с доказательст
вом каждой из формул; проанализировать различные варианты органи
зации самостоятельной работы учащихся по изучению этих доказа
тельств; выделить виды задач по теме и описать методику работы
с задачей, связанной с уравнением геометрического места точек.