Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

97
План:
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем методику изучения основных формул темы
1. Сравните порядок изучения темы «Координаты и векторы»
в учебниках [11], [12] и [90]. Выясните, как эта последователь
ность отражается на изучении действий над векторами в про
странстве.
2. Заполните таблицу векторных и координатных формул в пространстве:
Геометрический язык
Векторный язык
Координатный язык
Длина отрезка
Величина угла
а || b
a
⊥ b
Точки А, В и С принад
лежат прямой а
Точка С принадлежит отрезку АВ, где
АС : СВ = m : n (делит отрезок в данном от
ношении)
3. Оформите письменно доказательство каждой из формул.
4. Предложите способы организации работы по самостоятель
ному их изучению учащимися.
5. Разработайте содержание раздела «Проверка готовности»
к теме «Декартовы координаты и векторы в пространстве» в виде обучающих заданий по работе с учебником.
Задание 3. Осваиваем методику обучения решению основных
задач темы
1. Выделите основные виды задач по темам «Векторы и коор
динаты» на плоскости. Определите, добавляются ли новые виды задач при изучении этих тем в пространстве, каковы схемы решения основных задач темы.
III семестр

Программа обучения математике в старших классах
98 2. Покажите методику решения задачи координатным методом:
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для
каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше
расстояния от точки В (№ 981, [11]).
Рассмотрите два варианта работы: 1) с осуществлением поиска решения задачи, 2) с составлением плана решения задач рассматри
ваемого вида, опираясь на решение, представленное в учебнике.
Лабораторная работа № 6
Координатный и векторный методы доказательства теорем
и решения задач
Цели: Ознакомиться с основами решения геометрических задач
векторным и координатным методами; выделить умения, которы
ми должны овладеть учащиеся и разработать упражнения, способ
ствующие формированию этих умений; рассмотреть возможности
использования векторного и координатного методов при доказа
тельстве теорем; показать методику работы с задачей.
План:
Задание 1.
В соответствии с указанными целями сформулируйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем методику формирования умения решать
задачи координатным и векторным методами
1. Используя Приложение 54 и Приложение 55, выделите основные умения, которыми должны овладеть учащиеся, чтобы решать задачи:
а) координатным методом;
б) векторным методом.
2. Составьте упражнения, способствующие формированию пе
речисленных умений.
Задание 3. Применяем координатный и векторный методы при
доказательстве теорем и решении задач
1. Выделите теоремы школьного курса геометрии, которые доказываются или могли бы доказываться векторным или коор
динатным методом. Приведите примеры доказательств.
2. Решите задачу тремя методами (координатным, векторным,
геометрическим) и покажите методику работы с ней, используя каждый из методов:
Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из
которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани
куба, равен 90° (№ 471 [12]).

99 3. Изучите по журналу «Математика в школе» (1981, № 4,
С. 69) пять способов решения следующей задачи: Дан равнобед
ренный прямоугольный треугольник АВС (
∠С = 90°). Построен
отрезок СС
1
(С
1
∈АВ), перпендикулярный медиане АА
1
. Найдите со
отношение ВС
1
:С
1
А.
Решите задачу координатным методом.
Составьте план урока одной задачи с применением различных методов ее решения (Приложение 50).
Контрольное задание. Пройдите тест по методике обучения учащихся решению задач в курсе математики средней школы
(Приложение 56).
Вопросы к зачету по методике преподавания
алгебры и начала анализа
1. Развитие функциональной линии в старших классах.
2. Развитие линии тождественных преобразований в старших классах.
3. Развитие линии уравнений и неравенств в старших классах.
4. Алгоритмы решения показательных уравнений (неравенств).
5. Алгоритмы решения логарифмических уравнений (нера
венств).
6. Основные вопросы изучения производной в школьном кур
се математики.
7. Основные вопросы изучения интеграла в школьном курсе математики.
8. Методика работы со стереометрической задачей.
9. Опорные задачи по стереометрии и методика их использо
вания.
10. Виды и схемы решения задач на построение сечений много
гранников плоскостью. Методика ведения диалога с учащимися при построении сечений.
11. Схемы решения задач координатным и векторным методом.
Виды задач, решаемых этими методами.
12. Технология составления диагностического задания, связан
ного с некоторым математическим умением.
13. Технология составления комплекса стереометрических за
дач на основе геометрической конструкции, на основе опорной задачи.
14. Технология составления учебного модуля для учащихся.
III семестр

Программа обучения математике в старших классах
100
IV семестр
Планы лекций
Методика изучения стереометрии

101
Тема 4. Методика изучения многогранников
План:
1. Основные вопросы изучения геометрических фигур (определе
ние, элементы, свойства, признаки, построение, виды, измерения).
2. Три представления о многогранниках (каркасное, поверх
ностное и как тело).
3. Методика введения понятия многогранника и его основных элементов.
4. Виды многогранников и методика изучения одного из них:
• введение определения и основных элементов на ниточной модели (по учебнику [90]),
• построение на проекционном чертеже, свойства основных элементов и их доказательство,
• вычисление площади поверхности.
Литература: [9]; [12]; [44]; [90].
Тема 5. Методика изучения тел вращения
План:
1. Виды тел вращения и методика изучения одного из них:
• введение определения и основных элементов на ниточной модели [90],
• построение на проекционном чертеже,
• свойства основных элементов и их доказательство,
• сечения тел вращения.
2. Использование аналогии с многогранниками для цилиндра и конуса, с кругом для шара.
3. Демонстрация возникновения тел вращения при вращении плоских фигур.
Литература: [9]; [12]; [44]; [90].
Тема 6. Геометрические величины в школьном курсе стереометрии
(площади поверхности и объемы)
План:
1. Изучение площади поверхности тел вращения через впи
санные и описанные многогранники.
2. Аксиоматическое изучение объемов тел, использование ана
логии с изучением площади.
3. Различные способы вывода формулы объема пирамиды.
Литература: [9]; [12]; [44]; [90].
IV семестр

Программа обучения математике в старших классах
102
Планы практических занятий
Методика изучения стереометрии
Цели:Освоить базовые методики изучения математики на сте
реометрическом материале. Раскрыть методику изучения основных
содержательных линий школьного курса стереометрии (геомет
рические фигуры и их свойства, параллельность и перпендикуляр
ность в пространстве, геометрические построения, измерения гео
метрических величин) и характер системы стереометрических задач
по этим содержательным линиям. Продолжить знакомство с осо
бенностями работы при изучении геометрии (дедуктивный харак
тер изложения, использование аксиоматического метода, метода
от противного, использование наглядности с целью развития про
странственных представлений и др.). Познакомиться со способами
мотивации при изучении стереометрии.
Тема 1. Логическое строение школьного курса стереометрии
План:
Задание 1. Знакомимся с аксиоматическим методом в стерео
метрии
1. Ответьте на вопросы:
• В чем сущность аксиоматического метода?
• В чем состоит отличие аксиоматики Л.С. Атанасяна от аксиоматики А.В. Погорелова (от аксиоматики А.Д. Алек
сандрова, от аксиоматики В.А. Гусева)?
2. Продемонстрируйте логическое строение школьного курса стереометрии:
• на понятии скрещивающихся прямых («Прямые, которые не
пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скре
щивающимися» [90, 239], «Две прямые называются скрещиваю
щимися, если они не лежат в одной плоскости» [12, 15]);
• на теореме о задании плоскости тремя точками, не лежащи
ми на одной прямой [90].
Задание 2. Осваиваем методику изучения понятия плоскости
и аксиом стереометрии
1. Раскройте методику введения неопределяемого понятия
«плоскость» по следующему плану:
• мотивация,
• наглядное представление плоскости с помощью моделей,

103
• способы изображения плоскости,
• обозначение плоскости с помощью букв греческого алфа
вита.
2. Ответьте на вопросы:
• О чем идет речь в каждой из аксиом стереометрии учебника
[90], и как каждая аксиома характеризует плоскость?
• Какие выводы можно сделать, если будет известно, что некоторая точка лежит в каждой из двух различных плоско
стей?
• Известно, что две плоскости пересекаются. Какая фигура является их пересечением? Сколько прямых пересечения могут иметь две различные плоскости?
• Известно, что точка А является общей для двух плоскостей.
На каких фигурах лежит эта точка?
• Какие фигуры надо задать, чтобы через них можно было провести плоскость?
3. Раскройте методику изучения аксиомы о плоскостях, имею
щих общую точку по следующему плану:
• мотивация (можно указать необходимость изучения взаим
ного расположения двух плоскостей),
• введение (наглядное представление аксиомы, формулиров
ка, построение чертежа), краткая запись:
α и β — различные, A∈α A∈β
1)
α∩β = a, 2) A∈a
• усвоение с помощью вопросов: «О каких фигурах идет речь?»,
«Что утверждается в аксиоме?»,
• подведение итогов (Приложение 45).
Задание 3. Осваиваем методику изучения первых теорем стерео
метрии
1. Изучите методику работы над теоремой о задании плоско
сти с помощью прямой и не принадлежащей ей точки (теорема
15.1, учебник [90]), используя Приложение 45.
Ответьте на вопросы:
• Как мотивируется теорема?
• Как поясняется формулировка теоремы и, в частности, сло
ва «можно провести»?
• Каким методом осуществляется поиск доказательства суще
ствования плоскости?
• Как мотивируется выбор точки на прямой и необходимость проведения прямой через выбранную точку?
IV семестр

Программа обучения математике в старших классах
104
• Как подводятся итоги доказательства существования плос
кости?
• Как поясняется необходимость доказательства единствен
ности построения плоскости, хотя о единственности идет речь в аксиоме С
3
?
• Как мотивируется метод доказательства единственности?
• Как мотивируется обращение к аксиоме С
2
при доказатель
стве единственности?
• Как оформлено доказательство теоремы?
• Как осуществлено обобщение теорем о существовании и единственности?
• Как осуществлено усвоение теоремы?
2. Раскройте доказательство теоремы 15.2 [90, С. 234], выделив два этапа:
1) построение дополнительной плоскости;
2) определение взаимного расположения этой плоскости с дру
гими данными фигурами.
Приведите примеры задач и теорем, где можно выделить эти же этапы.
3. Составьте вопросы, связанные с методикой изучения теоре
мы о принадлежности прямой плоскости в учебнике [90], пред
ложите свои варианты ответов.
Задание 4. Осваиваем методику обучения решению задач на
основе аксиоматического метода
1. Выделите в § 15 учебника [90] следующие группы задач:
• Задачи, в условии которых ключевыми являются слова «мож
но ли…». Какими методами они решаются?
• Задачи, в условии которых ключевыми являются слова «все…
лежат в одной плоскости». Какова схема решения таких задач, как она может быть составлена учащимися?
• Задачи, в которых идет речь о четырех точках, не лежащих в одной плоскости. Составьте на их основе комплекс задач и покажите методику работы с ним.
2. Переформулируйте задачу № 5 так, чтобы в ней не участво
вали обозначения прямых, раскройте роль этой задачи при изучении параллельности в пространстве и при решении задач на построение сечений.
3. Какие вопросы из задания 2 могут помочь при работе с задачей № 3 § 15 учебника [90]? (Точки А, В, С лежат в каждой из
двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на
одной прямой.)
Литература: [12]; [90]; [50].

105
Тема 2. Методика изучения темы
«Параллельность в пространстве»
План:
Задание 1. Устанавливаем связи между изучением параллельно
сти в планиметрии и стереометрии
1. Разработайте раздел «Проверки готовности» к изучению темы «Параллельность в пространстве» в одном из вариантов:
1) В виде беседы с одновременным созданием математической карты по теоретическому материалу темы «Параллельность в планиметрии».
2) В виде тестзаданий по теме «Параллельность в планиметрии».
3) В виде комплексного задания, использующего как можно больше различных теоретических фактов по теме «Парал
лельность в планиметрии».
2. Продумайте возможности использования аналогии при изу
чении темы «Параллельность в пространстве». Для этого:
• подберите примеры аналогичных определений, формулиро
вок теорем, задач в планиметрии и стереометрии,
• найдите в стереометрии задачу, аналогичную следующей:
Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух
параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Разработайте методику работы с найденной задачей, исполь
зуя аналогию при формулировании задачи и при ее решении.
3. Охарактеризуйте основные разделы тем «Параллельность на плоскости» и «Параллельность в пространстве» и основные во
просы каждого раздела (определение, возможность построения,
признаки, свойства).
Задание 2. Осваиваем методику изучения взаимного расположе
ния фигур в пространстве
1. Сравните два определения параллельных прямых:
• Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Какое из этих определений не исключает случая совпадения параллельных прямых?
2. Сравните два определения скрещивающихся прямых:
• Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися [90, С. 239].
• Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости [12, С. 15].
IV семестр