Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

125
(По выносному чертежу организуйте поиск нахождения СН:
а) через подобные треугольники, б) через свойство пропорцио
нальных отрезков в прямоугольном треугольнике, в) через ис
пользование площади. Оттолкнувшись от способа использова
ния площади треугольника для нахождения его высоты, предло
жите учащимся способ использования объема пирамиды, для которой СН является высотой, т. е. пирамиды SCEF.)
6. Осуществление решения по нахождению расстояния между
прямыми
SF и CD.
(Запишите вычисления по нахождению расстояния между скре
щивающимися прямыми разными способами, продумайте орга
низацию этой работы в классе по группам и подведение итогов.)
IV. Р е ш е н и е з а д а ч и п о н а х о ж д е н и ю у г л а м е ж
д у с к р е щ и в а ю щ и м и с я п р я м ы м и в е к т о р н ы м и к о
о р д и н а т н ы м м е т о д а м и.
1. Мотивация методов.
(Сделайте переход от геометрического метода решения задачи к векторному и координатному методам, отметив трудности,
с которыми пришлось столкнуться учащимся при решении за
дачи геометрическим методом.)
2. Актуализация знаний.
(Вспомните схему решения задач векторным (координатным)
методом и геометрическую (координатную) формулу нахожде
ния угла между векторами.)
3. Решение задачи по нахождению угла между скрещивающи
мися прямыми векторным и координатным методами.
Организуйте групповую работу учащихся по поиску ответов на следующие вопросы:
• Какие векторы выбрать за основные? (Как выбрать систему координат?)
• Какие векторы надо рассмотреть, чтобы найти угол между прямыми SE и CD и как их выразить через основные векто
ры? (Какие векторы надо рассмотреть, чтобы найти угол между прямыми SE и CD и как найти их координаты?)
• Как найти угол между выбранными векторами?
(Предложите вариант контроля деятельности групп: а) по по
иску решения и составлению плана решения задачи векторным или координатным методами, б) по оформлению решения.)
V. С о с т а в л е н и е п л а н а р е ш е н и я з а д а ч и п о н а
х о ж д е н и ю р а с с т о я н и я м е ж д у с к р е щ и в а ю щ и м и с я п р я м ы м и к о о р д и н а т н ы м м е т о д о м.
IV семестр

Программа обучения математике в старших классах
126 1. Поиск идей вычисления расстояния между скрещивающи
мися прямыми координатным методом.
(Вернитесь к способам нахождения расстояния между скре
щивающимися прямыми, обсудите возможность нахождения расстояния от точки С до плоскости SFE координатным методом,
сообщив учащимся соответствующую формулу, и идею нахожде
ния длины общего перпендикуляра, зная координаты соответст
вующего вектора.)
2. Составление плана решения задачи по формуле расстояния от точки до плоскости.
(Проанализируйте с учащимися формулу и выясните, что для ее использования необходимо знать уравнение плоскости SFE
и координаты точки С; используя аналогию с составлением урав
нения прямой по координатам двух ее точек, подведите учащихся к способу составления уравнения плоскости по координатам трех ее точек; запишите план решения задачи.)
3. Составление плана вычисления длины общего перпендику
ляра к прямым SE и CD.
(Начните с того, что для нахождения длины вектора нужны его координаты, в стереометрии вектор определяется тремя коор
динатами, значит, необходимо найти три условия, связанных с вектором общего перпендикуляра. Два условия получаются из определения общего перпендикуляра: вектор перпендикулярен каждой из заданных прямых, поэтому соответствующие скаляр
ные произведения равны нулю. Но не всякий вектор, перпенди
кулярный данным прямым, будет соответствовать общему пер
пендикуляру, поэтому получаем дополнительные условия: начало вектора лежит на одной из данных прямых, а его конец — на другой. Пусть Р — начало соответствующего вектора — лежит на прямой SE, тогда векторы SP и SE будут коллинеарны, а, значит,
их координаты будут пропорциональны, пусть коэффициент про
порциональности будет
β. Аналогично, вектор CQ коллинеарен вектору CD, где Q — конец вектора общего перпендикуляра,
лежащий на прямой CD, пусть коэффициент пропорционально
сти координат соответствующих векторов будет
β. Вектор PQ
можно выразить по правилу многоугольника через векторы PS,
SC, CQ, тогда координаты вектора PQ будут содержать только две неизвестных величины
α, β. Поэтому двух условий пер
пендикулярности вектора PQ заданным прямым будет доста
точно. Составьте графсхему проведенных рассуждений и план вычисления длины общего перпендикуляра координатным ме
тодом.)

127
VI. П о д в е д е н и е и т о г о в у р о к а и п о с т а н о в к а д о
м а ш н е г о з а д а н и я.
(Составьте вопросы по итогам урока. Решите задачу по нахож
дению расстояния между скрещивающимися прямыми коорди
натным методом двумя способами с тем, чтобы: а) можно было дать учащимся комментарий по этому решению, б) иметь воз
можность дать дифференцированное домашнее задание, в) учесть форму контроля за выполнением домашнего задания на следую
щем уроке.)
1. Сравните уроки «одной задачи» (разработанный по техноло
гической карте и изложенные в Приложении 48) и ответьте на вопросы:
• Одинаковые ли цели этих уроков?
• Какие еще возможны цели уроков «одной задачи»?
• В чем состоит технология разработки урока «одной задачи»?
Лабораторная работа № 6
Диагностика в обучении математике
Цели: Изучить понятие диагностического задания, познакомиться
с различными видами диагностических заданий, технологией их
составления и способами организации работы с ними, разработать
некоторые диагностические задания по теме «Квадратные уравне
ния (неравенства)».
План:
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
4 2
z
x
y
2
S
A
D
N
B
O
E
C
M
P
IV семестр

Программа обучения математике в старших классах
128
Задание 2. Знакомимся с теоретическими основами диагностики
на уроках математики
Используя Приложение 68, охарактеризуйте:
• понятие диагностического задания,
• виды диагностических заданий в зависимости от их на
значения (задания для входной, текущей и итоговой диаг
ностики) и технологию их составления,
• требования, предъявляемые к диагностическим заданиям.
Задание 3. Разрабатываем диагностические задания
1. Разработайте задание входной диагностики по теме «Квад
ратные уравнения» («Неравенства второй степени»). Для этого:
• проанализируйте взаимосвязь данной темы с ранее изучен
ным материалом по содержательной линии «Уравнения (не
равенства) и их системы» и выделите общие умения, связан
ные с решением уравнений (неравенств), которые должны входить в субъектный опыт ученика к началу изучения новой темы, чтобы обеспечить успешность ее изучения;
• проанализируйте тему «Квадратные уравнения» («Неравен
ства второй степени») и выделите специфические умения,
связанные с решением квадратных уравнений (неравенств второй степени);
• на основе выделенных умений составьте диагностическое задание, включив в него коррекционную часть.
2. Разработайте задание текущей диагностики по теме «Квад
ратные уравнения» («Неравенства второй степени»). Для этого:
• определите общие и специфические умения, которые должны быть сформированы в теме;
• разработайте задание текущей диагностики, предлагаемое после изучения алгоритма решения квадратного уравнения через дискриминант (неравенства второй степени графичес
ким методом), включите в него блок пошаговой диагности
ки и коррекционную часть.
3. Разработайте задание итоговой диагностики по теме «Квад
ратные уравнения» («Неравенства второй степени»). Для этого:
• выделите связи, относящиеся к теоретическим основам те
мы, для составления первого блока диагностического за
дания;
• выделите особенности темы по отношению к другим темам,
относящимся к содержательной линии уравнений (нера
венств), для разработки второго блока диагностического задания;

129
• проанализируйте задачный материал темы и определите варианты комплексного применения знаний по теме для составления третьего блока диагностического задания.
Задание 4. Разрабатываем способы организации диагностиче
ской работы на уроках математики
1. Разработайте организацию проведения входной диагности
ки по теме «Квадратные уравнения» или «Неравенства второй степени» (предложите несколько вариантов организации работы,
продумайте мотивацию проведения диагностической работы и видов предлагаемых заданий, продумайте способ ознакомле
ния учащихся с диагностическими заданиями (на карточках, на доске, на кодоскопе, компьютере и т. п.), способы обработки и анализа результатов диагностики).
2. Разработайте организацию работы с составленным задани
ем текущей диагностики по теме «Квадратные уравнения» или
«Неравенства второй степени» с учетом тех, кто быстро и ус
пешно справился с заданием, и тех, кто нуждается в помощи и коррекции.
3. Разработайте организацию проведения итоговой диагности
ки по теме «Квадратные уравнения» или «Неравенства второй степени».
Лабораторная работа № 7
Логикодидактический анализ темы
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Цели: Освоить технологию логико математического анализа темы.
План:
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем технологию логикоматематического ана
лиза темы
1. Ознакомьтесь с пятью составляющими логикодидактиче
ского анализа темы [62, С. 166—171].
2. Проведите логикодидактический анализ темы «Арифмети
ческая и геометрическая прогрессии» [3] по следующему плану:
1) По программе по математике выделите цели изучения темы и требования к математической подготовке учащихся по этой теме.
IV семестр

Программа обучения математике в старших классах
130 2) Выполните логикоматематический анализ теоретического материала темы. Для этого выясните:
а) какие понятия вводятся, даются ли им определения,
каковы связи между этими понятиями;
б) какие утверждения изучаются, доказываются ли они,
каковы связи между ними;
в) какие задачи приведены в теоретической части, какова цель их рассмотрения;
г) какой может быть математическая карта темы.
3) Выполните анализ задачного материала. Для этого выде
лите:
а) задачи, которые соответствуют обязательным результа
там обучения;
б) задачи, в которых формулируются важные теоретические утверждения (познавательные задачи);
в) группы взаимосвязанных задач:
• прямые и обратные задания для каждой из прогрессий;
• по единой основе решения (по определению, по фор
муле);
• по единому требованию с варьированием данных за
дачи (что должно быть известно, чтобы найти 1й член? nй член?).
4) Ознакомьтесь с рекомендуемыми контрольными работами
[48, 1996, № 5, С. 28] и примерными вариантами самостоя
тельных работ по этой теме. Выясните, соответствуют ли предложенные работы целям, сформулированным в про
грамме и обязательным результатам обучения.
5) Ознакомьтесь с тематическим планированием темы [48, 1996,
№ 5, С. 26] и разработайте планирование этой темы, запол
нив таблицу:
№
Тема урока
Распределение материала
Контроль (укажите виды, способы,
формы, средства)
в классе на дом
6) Составьте аннотированный список методической литерату
ры по теме.
3. Ответьте на вопрос: «Что общего в логикоматематическом анализе темы и пункта школьного учебника [63, С. 6—12] и чем они отличаются?»

131
Лабораторная работа № 8
Организация изучения темы методом крупных блоков
(на примере темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»)
Цели: Освоить технологию изучения темы методом крупных
блоков.
План:
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем технологию изучения темы методом круп
ных блоков
1. Рассмотрите различные формы работы учителей, используя литературу: [48]: 1987, № 3, С. 8—17; 1986, № 2, С. 18—23; 1987,
№ 4, С. 16; 1992, № 2—3, С. 20—24; 1988, № 4, С. 47—49
(индивидуальные задания).
2. Спланируйте изучение темы «Арифметическая и геомет
рическая прогрессии» крупными блоками и разработайте план
конспект учебных занятий следующих видов:
• урок лекция ([95, С. 107]; Приложение 64);
• урок решения ключевых задач [48, 1987, № 4, С. 17]; [52,
С. 44—62];
• урок практикум [48, 1990, № 6, С. 37—40; 1987, № 5, С. 25];
• урок коррекции и урок диагностики (Приложение 68);
• урок подготовки к контрольной работе (лабораторная рабо
та С. 36);
• урок анализа контрольной работы [48, 1988, № 3, С. 24;
1989, № 4, С. 65];
• урок семинар (видеофильм «Уроксеминар»; [48], 1987, № 2,
С. 9—11; 1989, № 3, С. 30—37; 1987, № 3, С. 9);
• урок обобщения и систематизации знаний ([95], С. 124,
[48], 1999, № 5, С. 9—11);
• урок зачет (видеофильм «Урокзачет по математике»; [48],
1987, №4, С. 19—20; 1987, № 3, С. 10—11; [52], С. 96—126).
Лабораторная работа № 9
Углубленное изучение математики
Цели: Познакомиться с организацией углубленного изучения ма
тематики.
IV семестр

Программа обучения математике в старших классах
132
План:
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем технологию изучения темы в углубленном
изучении математики
1. Выполните сравнительный анализ программ курса матема
тики в 9 классе при традиционном ее изучении и при углублен
ном изучении [48, 1997; № 3 и 5] с целью обоснования места и содержания темы «Числовые последовательности».
2. Составьте аннотации следующих книг и статей: [85]; [99];
[105] с целью их использования при разработке содержания темы
«Числовые последовательности».Продумайте формы представ
ления этих книг и статей (это может быть реклама, презентация,
рассказ и т. д.).
3. Составьте тематическое планирование изучения темы «Чис
ловые последовательности» при углубленном изучении [48, 1997,
№ 5, С. 12], продумав различные формы ее планирования.
4. Выполните контрольную работу № 9, вариант 1 [48, 1997,
№ 5, С. 16]. Определите, чем содержание представленной конт
рольной работы отличается от содержания контрольной работы в общеобразовательных классах по рассматриваемой теме. Про
думайте методику обучения учащихся предложенным в контроль
ной работе заданиям.
1. Первый член арифметической прогрессии равен 2 1
3
, а сумма
первых десяти членов равна 90 5
6
. Найдите десятый член и разность
прогрессии.
2. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, крат
ных 8.
3. В геометрической прогрессии отношение суммы третьего,
пятого и восьмого членов к сумме шестого, восьмого и одиннадцато
го равно 8. Найдите сумму первых п членов прогрессии, если сумма
квадратов второго и третьего ее членов равна 320.
4. Докажите равенство при п
∈ N:
а)
(
1)(4 5)
1 3 2 5 ...
(2 1)
6
n n
n
n
n
+
+
⋅ + ⋅ + + ⋅
+ =
;

133
б)
1 1
1 2 7 7 12
(5 3)(5 2)
2(5 2)
n
n
n
n
+
+ +
=
⋅
⋅
−
+
+
.
5. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют
геометрическую прогрессию, последние три составляют арифме
тическую прогрессию, причем сумма крайних чисел равна 29,
а сумма средних чисел равна 20.
6. Докажите, что
2 2
2 1
1 1
, .
2(5 2)
5 10
(5 )
n
n N
n
n
+
+ +
<
∈
+
5. Выделите общее и различное в методике изучения темы
«Числовые последовательности» в общеобразовательных классах и классах с углубленным изучением математики.
Литература: [48]; [85]; [99]; [105].
Лабораторная работа № 10
Анализ экзаменационной работы по алгебре и началам анализа
в классе с углубленным изучением математики
Цели: Познакомиться с итоговым контролем углубленного изу
чения математики.
План:
Задание 1. В соответствии с указанной целью сформулируйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Знакомимся с содержанием экзаменационной работы
в классе с углубленном изучении математики
1. Выполните один из вариантов экзаменационной работы за
1990/91 учебный год:
Задание № 1. Решить уравнение:
3 27 3 18 12 3 2 0 .
x
x
x
x
− ⋅
−
+ ⋅
= (I в.)
8 2 20 3 50 6 125 (II в.).
x
x
x
x
− ⋅
+ ⋅
= ⋅
Задание № 2. Решить уравнение:
cos sin ctg (I в.).
cos sin
x
x
x
x
x
+
=
−
cos sin ctg
(II в.).
cos sin
2
x
x
x
x
x
−
=
+
Задание № 3. Решить систему неравенств:
3 2
(2 1)(
3)
1,
log
28 2.
x
x
x
x
−
−
+ ≥ +
>
3 2
(2 1)(
3)
,
log
27 2.
x
x
x
x
−
−
+ ≥
>
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
IV семестр

Программа обучения математике в старших классах
134
Задание № 4. Пользуясь геометрической интерпретацией оп
ределенного интеграла, вычислить:
0 2
1 3 2
(I в.).
x
x dx
−
−
−
∫
1 2
2 6
5
(II в.).
x
x
dx
−
−
− −
−
∫
Задание № 5. Пусть М — множество точек z
1
комплексной плоскости таких, что
1 2
0,5
iz
+
=
; К — множество точек z
2
комп
лексной плоскости вида z
2
= iz
1
, где z
1
∈ М. Найдите расстояние между фигурами М и К. (I в.)
Пусть М — множество точек z
1
комплексной плоскости таких,
что
1 2 2 1
z i
i
− −
=
множество точек z
2
комплексной плоскости вида z
2
= –iz
1
, где z
1
∈ М. Найдите расстояние между фигурами М
и К. (II в.)
Задание № 6.
При каких значениях параметра а прямая
y
ax
=
касается графика функции y = lnx – ax
2
? (I в.)
При каких значениях параметра а прямая
1
y
ax
a
⎛
⎞
=
+ ⎜
⎟
⎝
⎠
каса
ется графика функции
y
x
=
? (II в.)
2. Продумайте представление одного из заданий рассмотрен
ной экзаменационной работы:
• возможные способы решения;
• трудности, с которыми могут встретиться учащиеся при выполнении задания;
• типичные ошибки.
Задание 3. Осваиваем методику подготовки к выполнению зада
ний итогового контроля при углубленном изучении математики
1. Составьте аналогичные задания и продумайте организацию диалога в классе по их выполнению на уроке:
• изучения нового материала,
• закрепления,
• подготовки к контрольной работе.
2. Сравните тексты экзаменационных работ в классах с углуб
ленным изучением математики за последние пять лет с рассмот
ренным. Сравните их с заданиями ЕГЭ. Выберите понравившие
ся вам задания и покажите методику работы с ними.