Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 862
Скачиваний: 14
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
135
Вопросы к экзамену по методике обучения учащихся
в 10—11 классах
1. Развитие понятия функции в старших классах и методика изучения свойств функций в старших классах.
2. Методика изучения функции y = sinx.
3. Методика изучения функции y = cosx.
4. Методика изучения функции y = tgx.
5. Методика изучения функции y = ctgx.
6. Методика обучения решению тригонометрических уравне
ний вида sinx = a.
7. Методика обучения решению тригонометрических уравне
ний вида cosx = a.
8. Методика обучения решению тригонометрических уравне
ний вида tgx = a.
9. Виды тригонометрических уравнений и методика обучения их решению.
10. Методика обучения решению тригонометрических нера
венств.
11. Методика изучения показательной функции.
12. Методика обучения решению показательных уравнений и неравенств.
13. Методика изучения логарифмической функции.
14. Методика обучения решению логарифмических уравнений и неравенств.
15. Методика изучения логарифма и его свойств.
16. Методика введения понятия производной, таблицы произ
водных и правил дифференцирования.
17. Применение производной для составления уравнения ка
сательной, для приближенных вычислений.
18. Применение производной для исследования функции и решения задач на наименьшее и наибольшее значения.
19. Методика изучения первообразной.
20. Методика изучения интеграла.
21. Логическое строение школьного курса стереометрии и мето
дика изучения аксиом.
22. Методика изучения следствий из аксиом и решения задач первого параграфа курса стереометрии.
23. Параллельность в пространстве. Методика изучения па
раллельности прямых.
24. Параллельность в пространстве. Методика изучения па
раллельности прямой и плоскости.
IV семестр
Программа обучения математике в старших классах
136 25. Параллельность в пространстве. Методика изучения па
раллельности плоскостей.
26. Перпендикулярность в пространстве. Методика изучения перпендикулярности прямой и плоскости.
27. Перпендикулярность в пространстве. Методика изучения теоремы о трех перпендикулярах.
28. Перпендикулярность в пространстве. Методика изучения перпендикулярности плоскостей.
29. Методика изучения углов в пространстве.
30. Методика изучения расстояний в пространстве.
31. Методика изучения призмы.
32. Методика изучения пирамиды.
33. Методика изучения цилиндра.
34. Методика изучения конуса.
35. Методика изучения шара и сферы.
36. Методика изучения объемов многогранников.
37. Методика изучения площади поверхности тел вращения.
38. Методика изучения объемов тел вращения.
39. Методика изучения координат в пространстве.
40. Методика изучения векторов в пространстве.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 35
Часть I. Методика формирования
математических понятий
Методика формирования математических понятий включает следующие этапы:
1) введение определения;
2) усвоение определения;
3) закрепление понятия.
Введение определения может осуществляться двумя методами:
конкретно индуктивным (на основе рассмотрения конкретных примеров или задач приходят к новому понятию и его определе
нию) или абстрактно дедуктивным (определение понятия фор
мулируется сразу после объявления нового термина). Желатель
но мотивировать изучение понятия и пояснить происхождение термина. При конкретно индуктивном введении понятия следует
соблюдать два требования:
• пример, на основе которого вводится понятие, должен но
сить общий, а не частный характер;
• обсуждение основных признаков понятия на конкретном примере следует вести в той терминологии, которая исполь
зуется в определении.
На этапе усвоения определения преследуются две цели: запом
нить определение и научиться проверять, подходит объект под рассматриваемое понятие или нет. Этот этап осуществляется на специально составленных упражнениях — «да» и «нет», которые формулируются, начиная со слов «Является ли...». Аргументируя свой ответ, ученики осваивают признаки понятия и выучивают определение. При составлении примеров на «да», учитель варьи
рует несущественные признаки (включает частные случаи, изме
няет размеры, расположение фигур), при составлении примеров на «нет» отвергает один или несколько существенных признаков.
Этап усвоения требует подведения итогов, где повторяется опреде
ление понятия, его существенные признаки, а также некоторые несущественные признаки (расположение, размеры, частные случаи).
Приложения
138
На этапе закрепления понятия решаются более сложные за
дачи, где используются как определение понятия, так и его свойства. В процессе закрепления регулярно подводятся итоги,
где обсуждается, что нового узнали о понятии, что научились делать в связи с рассматриваемым понятием, какие виды задач научились решать. Поэтому процесс закрепления понятия назы
вают обогащением.
Приложение 1
Примеры конструирования методики
формирования понятий
Методика формирования понятия арифметической прогрессии
Согласно методике формирования понятий, важной является работа с признаками понятия, зафиксированными в его опреде
лении. Выделению этих признаков способствует логикоматема
тический анализ определения. Выделенные признаки помогают составить упражнения на подведение под понятие (упражнения на «да» и «нет»). Для этого полезно составить таблицу учета (или опровержения) соответствующих признаков. К тому же таблица позволяет проанализировать составленные примеры по объему
(рассмотрены ли все частные случаи, учтены ли все существен
ные признаки и т. д.). Подобная подготовительная работа учителя
(проведение логикоматематического анализа и составление уп
ражнений на подведение под определение) показана в первой части рассмотренной ниже методики. Во второй части дан фраг
мент урока.
I. Логико математический анализ определения.
При подготовке к уроку учителю необходимо провести анализ логикоматематической структуры определения с целью выделе
ния существенных признаков понятия, положенных в основу определения, что позволит составить примеры на подведение объектов под определение.
Проведем анализ определения: арифметической прогрессией
называется последовательность, каждый член которой, начиная со
второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же
числом.
Термин – арифметическая прогрессия.
Род – последовательность.
139
Видовые отличия – каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом (или в таком виде: a
n+1
= a
n
+ d, где а
1
и d заданы, п –любое натуральное).
Это определение рекурсивное, так как в видовых отличиях указаны действия получения последующего члена, если известен предыдущий. Видовые отличия можно расписать подробнее: вто
рой член равен сумме первого с какимто числом, третий равен второму, сложенному с этим же числом, и т. д.
Выполним действия подведения объектов под определение,
результаты занесем в таблицу:
В таблице представлены все виды арифметической прогрес
сии: возрастающая, убывающая, постоянная; конечная, беско
нечная; разность может быть положительным, отрицательным числом и нулем; члены прогрессии могут быть натуральными,
целыми, дробными.
II. Опишем этапы формирования понятия арифметической про
грессии.
Введение определения
Приведем фрагмент урока по введению определения арифме
тической прогрессии.
Часть I. Методика формирования математических понятий
№
п/п
Примеры
Последова
тельность
(да — «+»,
нет — «–»)
Каждый член, на
чиная со второго,
равен предыду
щему, сложенно
му с одним и тем же числом (да —
«+», нет — «–»)
Вывод: дан
ный объект есть арифме
тическая про
грессия (да
«+», нет «–»)
1.
0; –5; –10;
–15; ...;
–5(n – 1), ...
+
+
+
2.
1; 3; 5; 10
+
–
–
3.
х + 7
–
–
4.
7; 7; 7; 7
+
+
+
5.
1 3
;
2 3
; 1; 1 1
3
+
+
+
Приложения
140
— Сегодня познакомимся с последовательностью, которую можно встретить в жизни. Рассмотрим, например, последова
тельность размеров одежды. Назовите первый, второй, третий и так далее члены заданной последовательности. (Ученики от
вечают по очереди. Учитель заполняет окошки схемы 1.)
— Какая закономерность прослеживается в записи членов этой последовательности? (Если возникает затруднение в ответе на этот вопрос, то предлагается дополнительное задание.)
— Сравним каждый последующий член последовательности с предыдущим, заполнив окошки схемы 2.
— Итак, каждый член последовательности, начиная со второ
го, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 2.
Такая последовательность является примером арифметической прогрессии.
Определение. Арифметической прогрессией называется по
следовательность, каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
— Это определение можно записать в виде формулы, которую получим, заполнив окошки схемы 3.
Пусть члены прогрессии записаны в виде: а
1
; а
2
; а
3
; ...; а
n
Число, которое прибавляется к каждому члену прогресии,
может быть не только 2, обозначим его буквой d (заполняются окошки схемы 3).
Итак, для любого натурального n выполняется условие a
n+1
=
= a
n
+ d, где d — некоторое число.
d — называют разностью арифметической прогрессии, так как
d = a
n+1
– a
n
Запись на доске. 42, 44, 46... – размеры одежды.
Схема 1
Схема 2
Схема 3 1 — 42 2 — 44 3 — 46 4 — 48
n — a
n
1 — 42 2 — 42 + 2 3 — 44 + 2 4 — 46 + 2
n — a
n–1
+ 2 1 — а
1 2 — а
2
+ d
3 — а
3
+ d
4 — а
4
+ d
...
...
n — a
n–1
+ d
n +1 — а
n
+ d
141
Усвоение определения
На этапе усвоения определения арифметической прогрессии ставятся две задачи: выучить определение и научиться проверять,
является ли последовательность арифметической прогрессией или нет. Эти две задачи решаются одновременно, если ученики дают пояснения, почему предлагаемая последовательность явля
ется или не является арифметической прогрессией.
На скрытой доске заранее записаны примеры.
Задание 1. Выберите арифметические прогрессии среди при
меров, записанных на доске. Объясните свой ответ.
1) 0; –5; –10; –15; ...; –5·(n + 1); ...
2) 1; 3; 5; 10; ...
3) x + 7 4) 7; 7; 7; 7; ...
5)
1 3
;
2 3
; 1; 1 1
3
; ...
6) 0; 0; 0; 0; 0.
7) –1; –1 ; –1; –1.
8) –1; 0; –1; 0; –1 9)
1 2
;
3 2
;
5 2
; ...
10) 5; 3; 1; –1; –3; –5.
В выбранных примерах назовите разность арифметической прогрессии и ее первый член.
Задание 2.
а) Приведите свой пример арифметической прогрессии.
б) Мы рассматривали размеры одежды и пришли к определе
нию арифметической прогрессии. Где еще в практической жизни можно встретиться с арифметической прогрессией? (Номера до
мов четной стороны улицы, размеры обуви.)
в) На размеры одежды можно посмотреть как на последова
тельность чисел, делящихся на 2. Будет ли последовательность чисел, которые при делении на число 2 дают остаток 1, являться арифметической прогрессией? Приведите свой пример.
— Итак, мы рассмотрели примеры арифметических прогрес
сий, заданных перечислением своих членов. Рассмотрим иное зада
ние арифметической прогрессии.
Часть I. Методика формирования математических понятий
Приложения
142
Задание 3. Запишите несколько первых членов арифметиче
ской прогрессии, заданных первым членом и разностью:
а) а
1
= 3, d = 2;
б) а
1
= 0, d = –2;
в) а
1
= –3, d = 0;
г) а
1
= –
1 5
, d = –3;
д) а
1
=
1 2
, d =
1 2
— Итак, каким способом может быть задана арифметическая прогрессия? Предложите свои примеры арифметических про
грессий, заданных этим способом.
— Итак, что в связи с понятием арифметической прогрессии мы узнали? (Определение, виды, два способа задания.)
Замечание. Возможен другой вариант введения определения арифметической прогрессии, когда арифметическая и геомет
рическая прогрессии изучаются совместно.
Закрепление понятия арифметической прогрессии
Закрепление понятия арифметической прогрессии осуществ
ляется при выводе и использовании формулы пго члена для решения как прямых, так и обратных задач, причем арифме
тическая прогрессия может быть задана разными способами (пе
речислением своих членов, первым членом и разностью, любыми двумя членами); при выводе и использовании формулы суммы
п первых членов; при решении задач, где предварительно требу
ется доказать, что заданная последовательность чисел является арифметической прогрессией, а затем уже найти недостающие члены прогрессии или сумму заданных чисел и т. д.
Методика формирования понятия трапеции
I. Проведем логико математический анализ следующего опре
деления: «Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны» [11].
Выделим термин, род, видовые отличия и их логические связи:
термин — трапеция,
род — четырехугольник,
видовые отличия — 1) две стороны параллельны,
2) две другие стороны не параллельны.