Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

143
Видовые отличия связаны л о г и ч е с к и м с о ю з о м «и»,
значит, имеет место конъюнктивное определение.
Определение трапеции в учебнике [90] аналогичное, одна
ко, видовые отличия сформулированы несколько иначе —
«..., у которого только две противолежащие стороны параллельны ...».
С учащимися необходимо провести выяснение того, что это означает: две противолежащие стороны параллельны, а две дру
гие противолежащие стороны не параллельны. После этого очевидно логическое строение определения и его конъюнктив
ный характер.
На основе проведенного логикоматематического анализа оп
ределяют пути введения определения и составляют систему уп
ражнений для его усвоения.
Полезно составлять карту введения определения, указав в ней мотив темы, возможные варианты введения определения и их мотивацию, этапы реализации каждого варианта:
Трапеция
«Сегодня мы познакомимся с еще одним видом
четырехугольников»
Через расшифров
ку термина
Через практи
ческую работу
«Чтобы по
строить этот
четырехуголь
ник, выполним
практическую
работу»
Через классификацию четырехугольников
«Чтобы определить место
новому четырехугольнику
среди других, попробуем
разбить четырехугольники
на группы по числу парал
лельных сторон»
Дедуктивно
Выделение признаков в определении
Через реконст
рукцию паралле
лограмма
(Е.Г. Ананкина)
«Новый вид четы
рехугольников по
лучится, если мы
проведем “рекон
струкцию” парал
лелограмма» (ра
бота с моделью)
Выделе
ние призна
ков постро
енной фигуры
Выделение призна
ков через обсуждение последовательности разбиения на группы
Выделение признаков через сравне
ние фигур
Попытка сформулировать определение и сравнение с определением в учебнике
Переходим к элементам трапеции и обсуждаем этапы построения
Даем пояснение термину
Часть I. Методика формирования математических понятий

Приложения
144
II. Этапы формирования понятия.
Введение определения
Рассмотрим введение определения трапеции на основе по
строения четырехугольника с двумя видовыми отличиями.
Задание для учащихся:
1) с помощью линейки и угольника проведите две параллель
ные прямые т и п;
2) проведите две не параллельные прямые l
и p, которые пересека
ют прямые m и n,
A
B
C
D
m
n
p
l
3) обозначьте точки пересечения прямых т, п с прямыми l, р
и выделите получившийся четырехугольник АВСD;
4) укажите и запишите отношения сторон в четырехугольнике
АВСD – ВС | | АD, ВА | | СD.
Далее учитель сообщает, что построенный четырехугольник называется трапецией, акцентирует внимание на соотношениях сторон в четырехугольнике и предлагает учащимся дать опреде
ление трапеции, а затем сравнить полученную формулировку с формулировкой определения в учебнике. Учителю полезно сообщить учащимся, что «трапеция» – греческое слово, означав
шее в древности «столик». Погречески «трапезион» означает обеденный столик, отсюда произошли слова трапеза, трапезная.
Вернувшись к отношению между сторонами трапеции, можно ввести понятия «основания трапеции», «боковые стороны тра
пеции».
Усвоение определения
Усвоение определения можно осуществить с помощью табли
цы на основе выполнения следующего задания: установите, ка
кие из фигур, представленных в таблице, являются трапециями,
и обоснуйте свой ответ.

145
№
Пример
Четырех
угольник
(да «+»,
нет «–»)
Свойства объектов
Две сторо
ны парал
л е л ь н ы
(да «+»,
нет «–»)
Две другие с т о р о н ы не парал
лельны (да
«+», нет
«–»)
В ы в о д :
д а н н ы й объект есть трапеция
(да «+»,
нет «–»)
1
–
–
2
+
–
–
3
+
+
–
–
4
α
β
α + β = 180°
+
+
+
+
5
+
+
+
+
(прямо
уголь
ная)
6
+
+
–
–
7
α
β
α + β = 180°
+
+
+
+
(равно
бокая)
8
–
–
Часть I. Методика формирования математических понятий

Приложения
146
Закрепление понятия
Закрепление понятия трапеции происходит как при изучении темы «Четырехугольники», так и темы «Площади фигур». Рас
смотрим закрепление в теме «Четырехугольники».
Первый этап закрепления понятия трапеции происходит в про
цессе получения и использования следствий из определения тра
пеции:
1) сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции,
равна 180°,
2) противолежащие углы не равны, но диагональ выделяет в них равные углы.
Закреплению способствует решение простейших задач по го
товым чертежам:
Второй этап закрепления осуществляется при доказательстве свойств углов и диагоналей равнобокой трапеции (прямое и обратное утверждения), решении задач, связанных с равнобо
кой трапецией, со средней линией трапеции, и решении задач на построение трапеции по ее элементам с помощью циркуля и линейки.
Методика формирования понятия средней линии трапеции
I. Проведем логико математический анализ определения:
«Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон» [90].
Выделим термин, род, видовые отличия и их логические связи:
термин — средняя линия трапеции,
род — отрезок,
видовые отличия — соединяет: 1) середину одной боковой стороны с 2) серединой другой боковой стороны.
ABCD —трапеция
A
B
C
D
?
60°
50°
20°
20°
A
B
C
D
?
A
B
C
D
?
A
B
C
D
?
?

147
Видовые отличия связаны л о г и ч е с к и м с о ю з о м «и», т. е.
определение — конъюнктивное.
II. Этапы формирования понятия.
Введение определения
Видовые отличия имеют конструктивный характер, поэтому определение средней линии трапеции желательно ввести на ос
нове задания на построение.
Задание для учащихся:
1) постройте трапецию;
2) с помощью масштабной линейки отметьте середину боко
вой стороны трапеции и обозначьте ее буквой М;
3) отметьте и обозначьте середину другой боковой стороны буквой N;
4) постройте отрезок МN, концами которого являются середи
ны боковых сторон трапеции.
На основе выполненного задания вводятся определение сред
ней линией трапеции, ее обозначение на чертежах и запись: МN —
средняя линия трапеции.
Другой путь – дедуктивное введение определения средней линии трапеции (формулировка определения дается сразу после мотива рассмотрения еще одного элемента трапеции, который называется
«средняя линия трапеции»). Проанализировав определение, т. е.
выделив в нем род и видовые отличия, учащиеся переходят от определения к построению средних линий для конкретных трапеций.
Усвоение определения
Так как определение конъюнктивное, то усвоение определе
ния можно провести с помощью таблицы, аналогичной рассмот
ренной для усвоения определения трапеции. Покажем несколько иной вариант.
Усвоение определения средней линии трапеции проведем по
следующим этапам:
1) построение средней линии для равнобокой и прямоуголь
ной трапеции,

Приложения
148
Будут ли отрезки MN, KN, KE, KP средними линиями трапе
ции? Почему?
3) решение задачи:
KP — средняя линия трапеции ABCD. Известно, что PD = 3 см,
BK = 4 см. Найдите боковые стороны трапеции. Является ли трапеция равнобокой? Какое условие задачи не насено на чертеж?
Закрепление понятия средней линии трапеции
Параллельно с процессом построения средней линии трапе
ции желательно подвести учащихся к «открытию» ее свойств,
доказательство которых будет соответствовать первому этапу за
крепления понятия.
Процесс обогащения понятия осуществляется при решении задач, связанных с применением этих свойств для вычисления как средней линии трапеции, так и ее оснований; при решении задач, когда предварительно необходимо доказать, что заданный четырехугольник является трапецией, а проведенный в нем отре
зок – ее средней линией (см., например, № 66, § 6 [90]).
При изучении темы «Площади фигур» учащиеся выведут фор
мулу вычисления площади трапеции с использованием длины ее средней линии и высоты.
A
K
B
C
D
P
4 3
A
B
C
D
N
M
P E
K
2) рассмотрение контрпримеров и примера на одном рисунке,
причем расположение трапеции изменено:

149 4) задания на распознавание объектов, при
надлежащих объему понятия (задания на «да»
и «нет»);
5) задания, в которых понятие представлено в различных формах (задания на формиро
вание способности к словеснообразному пе
реводу);
6) задания на выведение следствий из опреде
ления понятия;
1) основное задание (фокуспример), на осно
ве которого вводится определение;
2) задания на подключение образного, словес
ного и чувственного опыта учащихся (воз
можна интерпретация фокуспримера через образ, чувства, слово);
3) задания на подключение предметного или жизненного опыта учащихся;
На этапе введения определе
ния
На этапе усвоения опреде
ления
На этапе закреп
ления понятия
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Приложение 2
Система упражнений, связанная с формированием понятия
Система упражнений, связанная с формированием понятия,
должна включать в себя:
7) задания на включение исходного понятия в систему связей с другими понятиями (воз
можно составление родословной понятия);
8) задания на применение понятия в различных ситуациях;
9) задания на систематизацию понятий, воз
можно, через их классификацию;
10) задания на развитие мыслительных опера
ций, лежащих в основе образования поня
тий (анализ, синтез, обобщение, сравнение,
конкретизация, абстрагирование).
Часть I. Методика формирования математических понятий

Приложения
150
Комментарий
Чувственный опыт:
|КарабасБарабас| = добрый дядя;
|Мальвина| = Мальвина;
|пустой карман| = пустой карман
Пример.
Формирование понятия модуля числа в учебнике [27].
Математическая карта введения определения модуля
и комментарий к ней
Знакомство с модулем числа
НАЧИНАЮТ С ИССЛЕДОВАНИЯ
РАСПОЛОЖЕНИЯ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
ЧИСЕЛ НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ
что мотивирует необходимость введения еще
одной, кроме знака, характеристики числа
и приводит к
ОПРЕДЕЛЕНИЮ МОДУЛЯ ЧИСЛА ЧЕРЕЗ
РАССТОЯНИЕ (MODULUS — МЕРА)
Обращается внимание на
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ РАССТОЯНИЯ
В итоге
Приводится свойство модуля
a, если a — положительное
–a, если a — отрицательное
0, если a — нуль
|a| =
Д а е т с я о п р е д е
л е н и е противо
п о л о ж
ным чис
лам с ис
п о л ь з о
в а н и е м п о н я т и я
«модуль»
Комментарий
Фокуспример:
числа 3 и –3
Комментарий
Жизненный опыт: величина изменения уровня воды
Комментарий
Связь с другими понятиями
Комментарий
Образы:
числовая ось и «модулерубка»
⎧
⎨
⎩

151 2) Есть ли в какихнибудь строках лишние данные?
3) Есть ли строки, которые можно запол
нить неединственным способом?
4) Есть ли строки, которые вообще нельзя заполнить?
Задание 2.
1) Найдите координаты точек А, В, С, изо
браженных на числовой оси (дан рисунок),
и запишите расстояние от точек до начала отсчета, используя знак модуля.
2) Есть ли среди данных точек точки с про
тивоположными координатами? Если да, то сравните модули координат этих точек.
Задание 3.
Даны равенства:
а) |–2| = 2;
б) |3| = –3;
в) |–3| = –(–3);
г) –|3| = –3.
Усвоение определения
Задание 1.
1) Заполните таблицу:
Развитие мыслительных операций
Разные формы понятия и его связи с другими понятиями
Проверьте равенства. Если есть ошибка, то исправьте ее и про
читайте равенство, используя слова «модуль» и «расстояние».
Разные формы понятий
–2
слева
15
справа
100
–37 37 29
слева
52
–52
слева
а
слева
Чис
ло
Модуль числа
Расстояние от точки,
соответствующей числу,
до точки О
Положение точки относительно О
Часть I. Методика формирования математических понятий

Приложения
152
Закрепление понятия
Различные ситуации:
Дан модуль, надо отметить точки на числовой оси
(пропедевтика уравнений с модулем)
Задание 4.
Отметьте на числовой оси точки с ко
ординатами, модуль которых равен чис
лам 4, 12, 0. Сколько точек вы отметили в каждом из случаев?
Задание 5.
Для каждого числа из строчки найди
те модуль этого числа в столбце. Прове
дите стрелку от числа к его модулю.
Образное представление свойства:
модуль — число
неотрицательное
5 4
3 2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
–5
Задание 6.
1. Правильно ли составлен алгоритм нахождения модуля числа?
Алгоритм нахождения модуля различных чисел начало да нет
а, а > 0
а = 0
модуль равен а
да нет модуль равен 0
модуль равен –а
конец

153 2. Покажите движение по блоксхеме при вычислении модуля числа а, если а = –307, 0, 13.
Задание 7.
1. Заполните таблицу:
1) зная модуль,
найти число
(и наоборот);
2) зная модуль противополож
ного числа,
найти число
(и наоборот)
х
|х|
–х
|–х|
–30 30 5
10 0
–28 4
Чис
ло
Модуль числа
Противопо
ложное число
Модуль противопо
ложного числа
2. Какие строки можно заполнить несколь
кими способами?
3. Сравните модули противоположных чисел. Дайте определение противоположных чисел, используя понятие «модуль».
Задание 8.
1. Даны числа –300, –10, –3, 0, 2, 3, 11, 274:
а) Какому из чисел соответствует на числовой оси точка, находящаяся на самом большом (са
мом маленьком) расстоянии от точки О?
б) Какое из чисел имеет наибольший (наи
меньший) модуль?
2. Расположите числа –31, –2, –3, –242,
240, 30, 0, –22 в порядке убывания их модулей.
Задание 9.
1. Заполните таблицу:
Развитие мыслительных операций и связи между понятиями
Пропедевтика сравнения,
сложения
Углубление
2. Какие значения (положительные, отрицательные или нуль)
может принимать х; у?
Далее следуют уравнения с модулем.
а
–а
Расстояние между
А(а) и О(0)
Расстояние между
А(а) и В(–а)
х
у
Часть I. Методика формирования математических понятий

Приложения
154
Приложение 3
Типичные методические ошибки при изучении понятий
Типичными методическими ошибками при изучении понятий являются ошибки следующих видов:
I. Ошибки в подборе содержания:
• для обсуждения на этапе введения определения выбран частный случай;
• на этапе усвоения представлен не полный набор упражне
ний на существенные и несущественные признаки понятия;
• при подборе заданий не учитываются связи между поня
тиями.
II. Ошибки в структуре изложения:
• пропущен этап мотивации;
• пропущен этап усвоения;
• пропущен этап подведения итогов перед переходом к этапу закрепления (в процессе закрепления; при обобщении зна
ний по рассматриваемому понятию).
III. Ошибки в ведении диалога:
• предложен монолог вместо диалога, что лишает учеников возможности участия в процессе формирования опреде
ления;
• признаки понятия на основном примере обсуждаются в терминологии, отличной от терминологии определения;
• исправление ошибок учащихся берет на себя учитель вместо того, чтобы:
— привести контрпример и предложить ученикам обсудить,
подходит он под определение или нет;
— привлечь учеников к обнаружению и исправлению ошибок.
IV. Ошибки в логике изложения:
• связи с прошлым материалом отсутствуют или являются для учащихся необоснованными; связь считается необоснован
ной, если учитель задает вопросы по прошлому материалу,
не связывая их с изучаемым понятием;
• нет логического перехода от примера к определению (на
пример, вместо: «Вот такие числа, которые..., называют
ся...» используется «Вот такие числа называются»);
• не намечены пути дальнейшей работы с изучаемым поня
тием.