Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

155
Часть II. Методика формирования
математических умений
Методика формирования математических умений опирается на следующие психолого педагогические требования:
1) при формировании умения следует четко выделять этапы его выполнения (или его алгоритм);
2) выделенные этапы следует формулировать в общем виде,
что позволяет решать целый класс задач;
3) каждый этап должен быть отработан от
дельно от других с помощью специально подоб
ранных упражнений;
4) при первоначальной отработке умения каждый этап следует проговаривать вслух, поскольку многие ученики не могут про
пустить этап «внешней речи» при переходе от общего к частному;
5) желательно, чтобы учащиеся самостоятельно составляли алгоритм выполнения данного умения, хотя результаты выполне
ния умения в этом случае будут теми же, что и в случае, когда алгоритм будет дан в готовом виде. Участие учеников в создании алгоритма способствует их развитию.
Методика формирования умений включает следующие этапы:
• Введение алгоритма. Введение может осуществляться двумя методами: конкретно индуктивным, когда алгоритм состав
ляется на основе общего примера, и абстрактно дедуктив
ным, когда алгоритм дается в готовом виде или на основе теоретического положения (формулы, определения, теоре
мы). На этом этапе демонстрируется образец выполнения задания и обосновывается алгоритм решения. Если какой
то шаг алгоритма может быть выполнен неоднозначно, то необходимо рассмотреть на том же задании все возможные способы решения.
• Усвоение алгоритма. Усвоение преследует следующие цели:
усвоить признаки, по которым можно определить, что мож
но пользоваться изученным алгоритмом; усвоить отдельные
шаги алгоритма; запомнить алгоритм выполнения умения;
изучить частные случаи применения алгоритма.
• Закрепление умения. Этап закрепления включает различные случаи и ситуации применения алгоритма. В процессе за
крепления важно подводить итоги по обогащению знаний по формируемому умению.
Часть II. Методика формирования математических умений
Наиважнейшее требование!!!

Приложения
156
Приложение 4
Примеры конструирования методики формирования умений
Методика формирования умения определять, является ли
данное число членом данной арифметической прогрессии
I. Введение схемы решения
I. Решается задание: Содержит ли арифметическая прогрессия
2; 9;... число 156? (№ 359 (а)).
Сначала выясняется и д е я р е ш е н и я, которая позволяет составить план ответа на вопрос задачи.
— Как на языке последовательности сказать иначе, что после
довательность содержит (или не содержит) какоето число?
— Это значит, что число является (или не является) членом последовательности.
— Чем определяется место члена последовательности?
— Номером члена последовательности.
— Каким числом является номер?
— Натуральным.
— Итак, если нам удастся определить номер числа 156 в арифме
тической прогрессии, то как мы ответим на вопрос задачи?
— Прогрессия содержит число 156.
— Что известно об арифметической прогрессии и достаточно ли этих данных для ответа на этот вопрос?
— В прогрессии известны первый и второй члены, значит,
прогрессия задана полностью, поэтому, данных достаточно.
— Что позволит найти номер члена прогрессии?
— Формула пго члена (записывается на доске, и анализиру
ются известные величины). В ней известны пй член и первый,
разность прогрессии можем найти по условию задачи. Значит,
сможем найти число п.
Составляется п л а н р е ш е н и я и записывается решение.
1) Найдем для данной арифметической прогрессии разность d
по формуле x
2
– x
1
= d, т. е. d = 9 – 2 = 7.
2) Запишем формулу nго члена арифметической прогрессии:
x
n
= x
1
+ d (n – 1).
3) Подставим в эту формулу значения x
1
и d, а вместо x
n
данное число 156, получим уравнение: 156 = 2 + 7 (n – 1).
4) Решим полученное уравнение относительно неизвестного n.
156 = 2 + 7n – 7;

157 7n = 151;
n = 23.
5) Так как n, равное 23, является натуральным числом, то делаем вывод, что данная арифметическая прогрессия содержит число 156; оно будет 23 членом этой прогрессии.
Ответ: число 156 является членом данной арифметической прогрессии.
II. Составляется схема выполнения заданий рассмотренного вида.
1. Найти или указать первый член и разность арифметической
прогрессии (x
1
и d).
2. Записать формулу n го члена прогрессии x
n
= x
1
+ d (n – 1).
3. Подставить в эту формулу найденные значения х
1
и d,
а вместо х
n
– заданное число.
4. Решить полученное уравнение относительно n.
5. Сделать вывод: если n
∈N, то данное число является членом
прогрессии, если n
∉N, то данное число не является членом данной
арифметической прогрессии.
6. Записать ответ.
II. Выполнение упражнений на отработку шагов алгоритма
I. Упражнения на повторение умения находить первый член
и разность для арифметической прогрессии (1й шаг алгоритма).
1) Найдите разность арифметической прогрессии а) –
1 2
; 1;...
б) 4,5; –6;...
в) 3; 4 1
2
;...
г) у
1
= 8, у
2
= 24.
д) а
1
= 3 1
2
, а
7
= 9 1
2 2) Найдите первый член арифметической прогрессии, если:
а) а
5
= 162, d = 2;
б) a
8
= –27, d = –1,5.
3) Найдите первый член арифметической прогрессии, если известно:
а) с
5
= –2; с
8
= –9;
б) а
3
= 5,5; а
9
= 14,5.
Часть II. Методика формирования математических умений

Приложения
158
II. Упражнения на формирование умения составлять уравнения
и находить номер заданного члена последовательности (3—4й шаг алгоритма).
Найдите номер члена арифметической прогрессии:
а) равного –2,94, если а
1
= 1,26 и d = 0,3;
б) равного 50, если заданы два первых члена прогрессии
1 2
, 1,...
III. Упражнения на формирование умения делать вывод о принад
лежности заданного числа данной прогрессии (5й шаг алгоритма).
Может ли член арифметической прогрессии иметь номер,
равный:
а) –1 2
3
; б) 0; в) 24; г) 1,5; д) –
1 3
; е) –7?
III. Закрепление умения
Выполняются упражнения на закрепление умения опреде
лять, является ли данное число членом данной арифметической прогрессии или нет.
1. Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9;... число:
а) 269; б) 16,1; в) –7,3; г) 0?
2. Дана арифметическая прогрессия (а
n
), у которой а
1
= 23,
d = –1,5. Является ли членом этой прогрессии число:
а) 0; б) –28; в) 47?
3. Является ли членом арифметической прогрессии число 34, если:
а) у
1
= 10, у
2
= 22;
б) х
32
= 138, d = 4?
4. Является ли число 45 членом арифметической прогрессии
(а
n
), если а
4
= 25, а
7
= 40?
Замечание. В примерах на закрепление меняются способы задания арифметической прогрессии и ее виды.
Методика формирования умения раскладывать многочлен
на множители способом группировки
I. Актуализация знаний
Учащимся предлагается задание:
Разложите на множители (письменно):
а) 3x + 3y; б) 7а
3
+ 7b
3
; в) –3а
2
b – 6ab
2
; г) x(b + c) + 3(b + c);
д) y(a – c) – 5(c – a).

159
Выполняя последний пример, учащиеся проговаривают, что слагаемые имеют противоположные множители, значит, один из них надо заменить на противоположный, вынося (–1) за скобки,
или меняя знак слагаемого на противоположный, пользуясь ра
венством: (а – b) = – (b – а).
Подводя итог выполнения задания, учащиеся называют ме
тод, который они использовали для разложения на множители,
и формулируют правило вынесения общего множителя за скоб
ки, пользуясь схемой:
А + В = O·
Δ + O· = O·(Δ + ).
II. Введение схемы разложения многочлена
на множители методом группировки
I. Выполняется конкретное задание.
Рассматривая конкретный пример, учитель в процессе беседы с учащимися выделяет этапы его выполнения.
Задание: Разложить на множители многочлен
ах + 2а – 3х – 6.
— Можно ли данный многочлен разложить на множители методом вынесения за скобки общего множителя? (Нет, так как нельзя каждый член многочлена представить в виде произведе
ния двух множителей, один из которых будет один и тот же.)
— Следовательно, данный многочлен нельзя разложить на множители вынесением общего множителя за скобки. Будем искать другой метод. Выделим члены, к которым можно приме
нить способ разложения на множители путем вынесения общего множителя за скобки:
ax + 2a – 3x – 6 =
— Выделенные члены объединим в группы, т. е. заключим их в скобки:
= (ax + 2a) + (3x – 6) =
— Вынесем за скобки общий множитель в каждой группе:
= a (x + 2) – 3 (x + 2) = (каждое слагаемое имеет общий множитель, подчеркнем его: a (x + 2) – 3 (x + 2) )
— Вынесем за скобки общий многочлен полученного вы
ражения:
= (x + 2) · (a – 3).
Ответ: ах + 2а – 3х – 6 = (х + 2) (а – 3).

Приложения
160
Вид доски:
ax + 2a – 3x – 6 = (ax + 2a) + (–3x – 6) = a(x + 2) –3(x + 2) =
= (x + 2)(a – 3).
Ответ: ax + 2a – 3x –6 = (x + 2)(a – 3).
II. Составляется схема разложения на множители методом группировки.
Учитель сообщает, что данный метод разложения многочлена на множители получил название метода группировки, и, возвра
щаясь к решенному примеру, обсуждает с учащимися, каков был первый шаг, второй и т. д. В результате формулируется правило:
Для того, чтобы разложить многочлен на множители методом
группировки надо:
1. Выделить слагаемые для группировки.
2. Выделенные слагаемые заключить в скобки.
3. Вынести за скобки общие множители в каждой группе.
4. В полученном выражении вынести за скобки общий многочлен.
5. Записать ответ.
Данное правило можно записать, пользуясь следующей схемой:
A + B + C + D
III. Обсуждаются возможные способы разложения на множи
тели методом группировки одного и того же примера.
1) Вернемся к рассмотренному примеру и сгруппируем другие пары слагаемых. (В ходе выполнения задания учащиеся прогова
ривают каждый шаг его выполнения.)
— Выделяем слагаемые для группировки:
ах + 2а – 3х – 6 =
— Выделенные слагаемые заключаем в скобки:
= (ax – 3x) + (2a – 6) =
— Выносим за скобки общий множитель в каждой группе:
= х (а – 3) + 2(а – 3) =
— В полученном выражении выносим общий многочлен:
= (а – 3) (х + 2).
— Записываем ответ: ах + 2а – 3х – 6 = (а – 3) (х + 2).

161
Вид доски:
ax + 2a – 3x – 6 = (ax – 3x) + (–2a – 6) = x(a + 3) –2(a – 3) =
= (a – 3)(x + 2).
Ответ: ax + 2a – 3x –6 = (a – 3)(x + 2).
В итоге данный ответ сравнивается с ранее полученным,
и делается вывод, что ответы одинаковые по переместительному свойству умножения.
2) Вернемся к первоначальному примеру и посмотрим, можно ли было заключать слагаемые в скобки, перед которыми стоит знак «–».(В ходе выполнения задания учащиеся проговаривают каждый шаг его выполнения.)
— Выделяем слагаемые для группировки:
ах + 2а – 3х – 6 =
— Выделенные слагаемые заключаем в скобки (если перед скобками ставится знак «–», то заключаемые в скобки слагаемые записываем с противоположными знаками):
= (ax + 2a) – (3x + 6) =
— Выносим за скобки общий множитель в каждой группе:
= a (x + 2) – 3(x + 2) =
— В полученном выражении выносим общий многочлен:
= (x + 2) (a – 3).
— Записываем ответ: ах + 2а – 3х – 6 = (x + 2) (a – 3).
Вид доски:
ax + 2a – 3x – 6 = (ax – 2a) – (3x – 6) = a(x + 2) –3(x + 2) =
= (x + 2)(a – 3).
Ответ: ax + 2a – 3x –6 = (x + 2)(a – 3).
— Сравните данный ответ с ранее полученным. Какой вывод можно сделать?
IV. Выясняются способы контроля.
— Сравните три полученных решения и сформулируйте спо
собы контроля правильности выполненного вами решения. (Мож
но попробовать группировать слагаемые подругому, можно за
ключать слагаемые в скобки, перед которыми стоит знак плюс или минус, ответы должны получиться одинаковыми.)
— Можно ли сделать проверку, используя полученный резуль
тат разложения на множители? (Можно раскрыть скобки и по
лученный многочлен сравнить с исходным.)
Часть II. Методика формирования математических умений

Приложения
162
III. Выполнение упражнений на отработку шагов алгоритма
I. Умение группировать члены, имеющие одинаковые множители.
Задание 1. Сгруппируйте члены, имеющие одинаковые мно
жители, разными способами.
a) mx + my + 6x + 6y;
б) 9x + ay + 9y + ax;
в) 7a – 7b + an – bn;
г) ab – 8a – bx + 8x.
Задание 2. Проверьте, правильно ли сгруппированы члены:
а) x
2
y
2
+ xy – y
3
– x
3
= (x
2
y
2
– y
3
) + (xy – x
3
);
б) x
2
y
2
+ xy – y
3
– x
3
= (x
2
y
2
+ xy) – (y
3
– x
3
);
в) 8ab – 2b
2
+ 12a
2
– 3ab = (8ab – 3ab) + (12a
2
– 2b
2
).
II. Умение выносить общий многочлен за скобки.
Задание 1. Заполните пропуски:
а) т(х + у) – х – у = т(х + у) – (... + ...) = (х + у) (... – 1);
б) ab – a – b + 1 = (ab – a) – (b – 1) = a(... – ...) – (b – 1) = ...
Задание 2. Вынесите общий многочлен за скобки:
a) 9р (a
2
+ 6a + 1) – 3(a
2
+ 6a + 1);
б) 3p
2
(a – b) – 9(a – b);
в) p(c – d ) – (c – d);
г) a (p – q) + q – p.
IV. Закрепление умения
I. Применение алгоритма в стандартной ситуации.
Учащиеся у доски выполняют упражнение на использование всего правила с четким проговариванием шагов, например:
Задание 1. Разложите на множители многочлен:
a) ab – 8a – bx + 8x;
б) ax – 2bx + ay – 2by.
Задание 2. Представьте в виде произведения:
a) ac
2
– ad + c
3
– cd – bc
2
+ bd;
б) ax
2
+ ay
2
– bx
2
– by
2
+ b – a;
в) an
2
+ cn
2
– ap + ap
2
– cp + cp
2
;
г) xy
2
– by
2
– ax + ab + y
2
– a.
II. Применение алгоритма в иных ситуациях.
Задание 1. Найдите значение выражения:
p
2
q
2
+ pq – q
3
– p
3
при p = 0,5, q = –0,5.
Задание 2. Вычислите наиболее простым способом:
19,9 · 18 – 19,9 · 16 +30,1 · 18 – 30,1 · 16.

163
Задание 3. Разложите на множители трехчлен:
a) x
2
+ 6x + 5;
б) x
2
– x – 6;
в) x
2
– 10x + 24.
Задание 4. Докажите тождество:
a) (x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab;
б) (x — a)(x — b) = x
2
– (a + b)x + ab.
Задание 5. Решите уравнения:
а) x
2
+ 8х – 4х – 32 = 0;
б) x
2
+ 6x + 5 = 0.
Замечание. При подведении итогов полезно попросить учащих
ся перечислить ситуации использования разложения на множи
тели методом группировки.
Методика работы по формированию умения строить
биссектрису угла с помощью циркуля и линейки
I. Введение алгоритма построения биссектрисы угла
1. Мотивация. В геометрии важную роль играет треугольник и его элементы. Мы уже умеем строить отрезок, равный данному; угол,
равный данному, значит, сможем построить отрезки и углы, равные сторонам и углам данного треугольника. Изучив построение бис
сектрисы угла, сможем построить биссектрису треугольника.
2. Актуализация знаний (позволит вспомнить понятие биссек
трисы угла и измерение углов с помощью транспортира, кроме того, использование транспортира может служить способом про
верки построения угла с помощью циркуля и линейки).
Задание 1. Постройте угол, равный 60°, и с помощью транс
портира постройте его биссектрису. Сформулируйте определение биссектрисы угла.
3. Выполнение задания на построение биссектрисы угла с помо
щью циркуля и линейки (позволит познакомиться со способом построения биссектрисы данного угла).
Задание 2. Постройте угол, равный 60°. Необходимо построить с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.
Учитель на доске, а ученики в тетрадях выполняют построения и записывают последовательность каждого шага. При этом учитель четко проговаривает каждый шаг построения:
а) Построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметим точки пересечения этой окружности
Часть II. Методика формирования математических умений