Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
164
со сторонами угла. (Позднее можно оговорить, что для нахожде
ния точек пересечения со сторонами угла не обязательно строить всю окружность, достаточно построить дугу произвольного ра
диуса с центром в вершине угла.)
б) Построим две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметим точку их пересечения.
в) Из вершины угла через полученную точку строим луч.
Построение.
1) окр. (A, R),
B = окр. (A, R)
∩ b,
C = окр. (A, R)
∩ c,
2) окр. (B, R), окр. (C, R),
D = окр. (B, R)
∩ окр. (C, R),
3) AD
Проверим с помощью транспортира, что построенный луч является биссектрисой угла.
Итак, мы нашли способ построения биссектрисы угла с помо
щью циркуля и линейки. Интересно, получится ли биссектриса угла, если изменим радиус первой окружности, а радиус двух других окружностей возьмем отличным от первого.
Задание 3. Постройте угол, равный 60°, и с помощью циркуля и линейки постройте биссектрису этого угла, изменив радиусы вспомогательных окружностей.
Построение.
1) окр. (A, R),
B = окр. (A, R)
∩ b,
C = окр. (A, R)
∩ c,
2) окр. (B, R
1
), окр. (C, R
1
),
D = окр. (B, R
1
)
∩ окр. (C, R
1
),
3) AD
A
B
C
D
b
c
A
B
C
D
b
c

165 4. Мотивация обоснования алгоритма и доказательство того,
что таким образом построенный луч является биссектрисой угла.
Случайно ли получилось, что АD является биссектрисой угла?
Попробуем провести д о к а з а т е л ь с т в о того, что работая по тому же алгоритму, всегда получится биссектриса угла.
— В каком случае луч является биссектрисой угла? (Когда он выходит из вершины угла и делит угол пополам.)
— Чтобы АD была биссектрисой, равенство каких углов необ
ходимо доказать? (Угла ВАD и угла DАС.)
— Как обычно доказывают равенство углов? (Из равенства треугольников.)
— Какие треугольники можно рассмотреть? (
ΔВАD и ΔDАС.)
— Вернемся к каждому шагу построения и посмотрим, какую информацию об этих треугольниках мы можем получить. Что мы делали на первом шаге и равенство каких элементов треуголь
ников можем отметить? (Мы строили окружность с центром в вершине угла и находили точки пересечения этой окружности со сторонами угла, значит, АВ = АС.)
— Что делали на втором шаге и равенство каких элементов треугольников можем отметить? (Мы строили окружности одно
го и того же радиуса с центрами в точках В и С и находили точку их пересечения – точку D, значит, ВD = DС.)
Проверим с помощью транспортира, правильно ли построена биссектриса.
Повторим этапы построения. (Учитель спрашивает, что дела
ли на первом, втором, третьем шаге, и отмечает номера шагов на рисунке.)
A
B
C
D
b
c
1 1
1 2
2 2
3
Часть II. Методика формирования математических умений

Приложения
166
— Итак, в нужных треугольниках мы нашли две пары равных элементов, а для равенства треугольников их нужно три. Посмот
рим на чертеж, какое условие о нужных нам треугольниках мо
жем выделить? (Сторона АD является общей.)
В ходе диалога учитель равенство названных отрезков от
мечает на чертеже, а потом оформляется доказательство.
⇒
⎧
⎨
⎩
Доказательство.
Рассмотрим
ΔBAD и ΔDAC. В них:
а) AB = AC (построение 1),
б) BD = DC (построение 2),
ΔBAD = ΔDAC
в) AD — общая
(по трем сторонам).
Значит,
∠BAD = ∠DAC (как соответствующие углы равных треугольников), следовательно, AD — биссектриса угла A.
5. Подведение итогов.
Итак, мы построили биссектрису угла с помощью циркуля и линейки и доказали правильность построений. Повторим алго
ритм построения биссектрисы угла.
(Ученик называет все шаги алгоритма, а другие, в случае необходимости поправляют его. Учитель помогает отвечающему демонстрацией того или иного шага на имеющемся рисунке (см.
выше).)
Алгоритм построения биссектрисы угла:
1) построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметить точки пересечения этой окружности со сторонами угла;
A
B
C
D
1 1
2 2
2 3
1

167 2) построить две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных на сторонах угла точках и отметить точку их пере
сечения;
3) из вершины угла через полученную точку построить луч.
Этот луч и будет биссектрисой угла.
— Обязательно ли на втором шаге строить окружности тем же радиусом, что и первую? (Нет.)
— Обязательно ли на втором шаге строить окружности одним и тем же радиусом? (Да.)
— На чем основано доказательство того, что построение выпол
нено правильно? (На равенстве треугольников по трем сторонам.)
— Почему АВ = АС? (Мы строили окружность с центром в точке А, АВ и АС являются радиусами этой окружности,
а у окружности все радиусы равны.)
— Почему ВD = СD? (Мы строили окружности с центрами в точках В и С одним и тем же радиусом.)
— Какой третий элемент в треугольниках выделяли для равен
ства треугольников? (АD – общая.)
II. Усвоение алгоритма построения биссектрисы угла
На доске заранее приготовлены рисунки, которые по мере ответов учеников открываются. Ученики по этим рисункам опре
деляют, с чего начинается построение биссектрисы угла, затем проверяют правильность этого шага на соответствующем рисун
ке, по нему проговаривают, каким будет следующий шаг, свой ответ проверяют на следующем рисунке и т. д.
Задание 4. Ученику требовалось построить биссектрису угла
В.
Опишите последовательность его действий.
1)
2)
3)
4)
B
M
B
N
C
M
B
N
C
M
N
B
Часть II. Методика формирования математических умений

Приложения
168
III. Закрепление алгоритма построения биссектрисы угла
Задание 5. Постройте угол, равный 81°, и разделите его пополам.
Задание 6.
∠ВАС разделили на четыре равные части. По чертежу объясните процесс деления данного угла на четыре равные части.
Задание 7. Дан
ΔАВС. Постройте биссектрису угла В.
Задание 8. Дан четырехугольник
АВСD. Постройте биссектри
су угла D.
Приложение 5
Система упражнений, связанная
с формированием операции (умения)
Система упражнений, связанная с формированием операции
(умения) должна включать в себя:
На этапе введения алгоритма
На этапе усвоения алгоритма
1) задания на подключение образного, сло
весного и чувственного опыта учащихся;
2) задания на подключение предметного или жизненного опыта учащихся;
3) задания, связанные с обоснованием опе
рации (умения);
4) задания на пошаговую отработку;
5) обсуждение частных случаев, включая работу на классификацию;
A
B
C
D
K
F
N
E
M
L
P
S
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎨
⎩

169 6) тренаж разного уровня и формы предъяв
ления, включающий упражнения, снимающие наложение навыков;
7) обучение самоконтролю;
8) решение задач на рассматриваемую опе
рацию (на применение умения);
9) составление учащимися примеров, дидак
тических игр, задач.
Пример. Изучение тождеств сокращенного умножения в учеб
нике [32].
Рассмотрим изучение тождества (а + b)
2
= а
2
+ 2аb + b
2
Тождество содержит две формулы:
1) формулу квадрата суммы.
Схема формулы: (
Δ + )
2
=
Δ
2
+ 2
Δ +
2 2) формулу полного квадрата.
Схема формулы:
Δ
2
+ 2
Δ +
2
= (
Δ + )
2
На этапе закрепления умения
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
УПРОЩЕНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
АЛГОРИТМИЧЕСКИХ
УТВЕРЖДЕНИЙ
КАК ИЗУЧАЕТСЯ ФОРМУЛА?
(Математическая карта разработана А. Колягиным)
СХЕМА ИЗУЧЕНИЯ ФО
РМУ
ЛЫ
ЗАДАНИЯ 4—8
З
АДАНИЯ 1—3
ЗАДАНИЯ 9—10
ЗАДАНИЯ 11—16
ЗАДАНИЯ 17—22
ПРАКТИЧЕСКИЙ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
ВИД
ИМЯ
ПРОЧТЕНИЕ
СХЕМАТИЧНАЯ
ЗАПИСЬ
МОТИВ
введения тождества
ОБОСНОВАНИЕ
(ДОКАЗАТЕЛЬСТВО)
тождества
ВВЕДЕНИЕ формулы
РАСПОЗНАВАНИЕ
(ВЫДЕЛЕНИЕ
ПРИЗНАКОВ)
формулы
АЛГОРИТМ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
Применение
в стандартных
ситуациях
Применение
в иных
ситуациях
БЫСТРЫЙ
ПОДСЧЕТ
ЗНАЧЕНИЙ
ЧИСЛОВЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ
К ЛИНЕЙНЫМ

Приложения
170
Приложение 6
Типичные методические ошибки при формировании умений
Типичными методическими ошибками при формировании умений являются:
I. Ошибки в подборе содержания:
• для обсуждения на этапе введения выбран частный случай;
• на этапе усвоения отсутствуют упражнения на отработку новых шагов алгоритма, требующих специального тренажа;
• отсутствуют задания, связанные с распознаванием возмож
ности использования алгоритма;
• отсутствуют задания, связанные с усвоением последова
тельности выполнения алгоритма;
• не вынесены на обсуждение особенности частных случаев использования алгоритма;
• нет заданий на обучение контролю и поиск ошибок.
II. Ошибки в структуре изложения:
• пропущен этап мотивации;
• пропущен этап усвоения;
• пропущен этап подведения итогов перед переходом к этапу закрепления (в процессе закрепления, при обобщении зна
ний по формулируемому умению).
III. Ошибки в ведении диалога:
• предложен монолог вместо диалога;
• вопросы учителя не стимулируют учащихся на самостоя
тельное составление алгоритма;
• выделенные шаги формулируются в частном, а не в общем виде;
• на этапе закрепления учитель называет сам содержание шагов алгоритма (например, вместо: «Что нужно сделать сейчас?» учитель спрашивает: «Какую величину обозначим за х?», хотя этот вопрос должен следовать после того, как ученики сами назовут шаг алгоритма: «Нужно одну из ве
личин обозначить за х»).
IV. Ошибки в логике изложения:
• связи с прошлым материалом отсутствуют или являются необоснованными; связь считается необоснованной, если учитель задает вопросы по прошлому материалу, не связы
вая их с изучаемым умением;
• нет математического обоснования вводимого алгоритма или введение алгоритма не является достаточно убедительным

171
для учащихся (обоснование алгоритма не является доста
точно убедительным для учащихся, если им не ясна идея привлечения именно этого обоснования);
• не показан образец оформления задания;
• не намечены пути дальнейшей работы с алгоритмом.
V. Ошибки в организации работы с упражнениями:
• на первоначальном этапе применения алгоритма его этапы не проговариваются вслух;
• контроль выполнения заданий берет на себя учитель, вме
сто подключения взаимоконтроля и самоконтроля;
• не продумано оказание помощи ученикам, испытывающим затруднения (образцы решения, задания с пропусками, схе
мы выполнения заданий и т. п.).
Часть III. Методика изучения теорем
Методика изучения теорем включает следующие этапы:
• подготовительный этап;
• введение теоремы;
• усвоение теоремы;
• закрепление теоремы.
На первом, подготовительном,этапе осуществляется актуали
зация знаний, необходимых для доказательства теоремы, причем желательно использовать задачи, для решения которых применя
ется нужный теоретический материал, а не использовать фрон
тальный опрос теории. На этом этапе, по возможности, прово
дится мотивация изучения теоремы.
Введение формулировки теоремы может осуществляться двумя методами: конкретно индуктивным и абстрактно дедуктивным.
В первом случае используют практическую работу или задачу. Во втором случае формулируют теорему сразу. На этапе введения дела
ют чертеж, разбивают формулировку на условие и заключение и делают краткую запись формулировки теоремы (Дано:..., Дока
зать:...), осуществляют доказательство теоремы. Обязательным тре
бованием к доказательству теоремы является четкое выделение этапов доказательства. Однако не следует выделять много мелких этапов, поскольку в этом случае затруднено их запоминание. Если теорема сложная, то учитель сообщает ученикам идею доказательст
ва, если теорема доказывается методом, известным учащимся, то ученики привлекаются к выделению этапов доказательства, если теорема «прозрачная», то ученики либо сами открывают доказательство
Часть III. Методика изучения теорем

Приложения
172
(для чего используются методы анализа или синтеза), либо само
стоятельно изучают доказательство по учебнику.
На этапе усвоения теоремы повторяется формулировка (Что было дано? Что требовалось доказать? Какова полная формули
ровка?), основные этапы доказательства (С чего начинали? Что делали дальше? Зачем? Какие теоремы использовались при дока
зательстве? Какова цель их использования?) и решаются задачи на непосредственное применение теоремы (задачи в один шаг)
устного характера на готовых чертежах.
На этапе закрепления осуществляется проверка формулировки и доказательства теоремы, и решаются более сложные задачи с применением изученной теоремы. Желательно выделять с уча
щимися ситуации, в которых применяется теорема. При подведе
нии итогов обсуждается: с каким новым математическим фактом познакомились, какие математические понятия он характеризу
ет, при решении задач каких видов используется этот факт.
Приложение 7
Примеры конструирования методики изучения теорем
Методика изучения теоремы Виета
Согласно методике изучения теорем, весьма важной является работа с условием и заключением теоремы, зафиксированными в ее формулировке. Многие теоремы имеют сложное условие,
состоящее из нескольких утверждений, и сложное заключение.
Их выделению способствует логикоматематический анализ фор
мулировки теоремы. Выделенные условия помогают составить упражнения на проверку применимости теоремы, а заключения –
на выведение следствий из этих условий.
I. Выполним логико математический анализ формулировки тео
ремы Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения
равна второму коэффициенту, взятому с противоположным зна
ком, а произведение корней равно свободному члену.
Теорема сформулирована в категоричной форме.
Разъяснительная часть: теорема рассматривается на множестве квадратных уравнений.
Условие: 1) уравнение приведенное;
2) уравнение имеет действительные корни.
Заключение:
1) сумма корней равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком;

173 2) произведение корней равно свободному члену.
Теорема сложная, так как в ней два условия и два заключения.
II. Рассмотрим этапы изучения теоремы.
Подготовительный этап
С целью «открытия» формулировки теоремы, повторения фор
мул решения квадратных уравнений и условия их существования целесообразно включить в домашнюю работу учащихся задание по заполнению следующей таблицы.
Часть III. Методика изучения теорем
х
2
– 2х – 4 = 0
х
2
+ 12х + 30 = 0
х
2
– 1,25х + 0,375 = 0
х
2
–
1 3
х –
2 3
= 0
х
2
+ х – 30 = 0
х
2
+ х + 30 = 0
3х
2
– х – 2 = 0
Уравнения
Корни
х
1
+ х
2
х
1
· х
2
х
1
: х
2
х
1
х
2
Введение теоремы
Обобщая результаты наблюдений в заполненной таблице,
школьники самостоятельно смогут «открыть» формулировку тео
ремы: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену. В таблице рассмат
ривались три известные учащимся операции с числами (корнями уравнения). Такое «экспериментирование» с числами позволяет не только прийти к «открытию» теоремы Виета, но и показать учащимся пути новых открытий: можно составлять различные выражения с корнями уравнения и обнаруживать (или отвергать)
закономерную связь их значений с коэффициентами уравнения.
Работа над структурой формулировки теоремы приводит к выделению ее условия и заключения. На доске и в тетрадях