Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
174
делается краткая запись формулировки, т.е. выделяется, что дано и что требуется доказать:
Дано:
x
2
+ px + q = 0;
x
1
, x
2
— корни уравнения.
Доказать:
x
1
+ x
2
= –p,
x
1
·x
2
= q.
Поиск путей доказательства можно осуществить аналитически и синтетически. В первом случае выясняется, что для доказательства данных равенств надо вычислить корни х
1
и х
2
приведенного квадрат
ного уравнения, а затем найти их сумму и произведение. Во втором случае обращаются к условию и выясняют: «Что можно найти, имея квадратное уравнение? Помогут ли найденные корни уравнения для доказательства?». (Другое доказательство можно получить, оттолк
нувшись от условия, что х
1
и х
2
— корни уравнения.) Поиск доказа
тельства завершается следующим планом его осуществления:
1. Записать формулы для нахождения х
1
и х
2
.
2. Найти сумму корней х
1
+ х
2 3. Найти произведение корней х
1
· х
2
Оформление доказательства на доске и в тетрадях может иметь следующий вид:
1. Так как х
1
и х
2
— корни уравнения x
2
+ px + q = 0, то
1 2
p
D
x
− +
=
,
2 2
p
D
x
− −
=
, где D = p
2
– 4q
≥ 0.
2.
1 2
2 2
2
p
D
p
D
p
D
p
D
x
x
p
− +
− −
− +
− −
+ =
+
=
= −
3.
x x
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
p
q
q
q
1 2
2 2
2 2
2 4
4 4
4 4
4
⋅ = − +
⋅ − −
=
− +
(
)
⋅ −
(
)
=
=
− = − + = = .
Усвоение теоремы
Для усвоения формулировки теоремы учитель предлагает сле
дующие задания:
• определите, верно ли сформулирована теорема: сумма кор
ней квадратного уравнения равна второму коэффициенту,

175
взятому с противоположным знаком, а произведение кор
ней равно свободному члену;
• повторите формулировку теоремы;
• сформулируйте теорему со словами «Если ..., то ...».
Для усвоения этапов доказательства учитель просит учащихся повторить их, а также уточнить те математические факты, кото
рые используются в ходе доказательства.
Перед решением заданий на непосредственное применение доказан
ной теоремы уместно выяснить, какие задачи можно решать с помо
щью доказанной теоремы, для чего можно поставить такие вопросы:
• Что позволяет находить доказанная теорема? (Сумму и про
изведение корней квадратного уравнения.)
• Что в этом случае должно быть дано (известно)? (Квадрат
ное уравнение, которое является приведенным, имеющим корни.)
После этого предлагаются учащимся следующие задания.
Задание 1. Выберите, для каких квадратных уравнений можно применить доказанную теорему и обоснуйте свой выбор:
1) х
2
– 37х + 27 = 0;
2) 2х
2
– 9х – 10 = 0;
3) х
2
– 3х + 5 = 0.
(Только для уравнения 1), поскольку уравнение 2) не является приведенным, а уравнение 3) не имеет действительных корней.)
Задание 2.
Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения (устно):
1) х
2
– 37х + 27 = 0;
2) х
2
– 210х = 0;
3) х
2
– 19 = 0.
Задание 3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корней (устно):
1) х
2
– 3х + 3 = 0;
2) х
2
+ 6х – 8 = 0;
3) х
2
– 2х – 9 = 0.
(Следует обратить внимание на то, что первое уравнение вообще не имеет действительных корней. Задание фиксирует внимание учащихся на необходимость проверки условия существования корней приведенного квадратного уравнения. Поэтому после выполнения задания при подведении его итогов полезно спросить, что необхо
димо сначала проверить при обращении к результатам теоремы.)
Перед выполнением задания 4 полезно поставить вопрос,
можно ли выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения.
Часть III. Методика изучения теорем

Приложения
176
Задание 4. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения:
1) 2х
2
– 9х – 10 = 0;
2) ах
2
+ bх + с = 0.
В случае затруднения предложить следующую подсказку:
1. Замените данное уравнение равносильным ему приведен
ным квадратным уравнением. (Возможен вопрос: «Что мешает применению доказанной теоремы?»)
2. Укажите наличие действительных корней квадратного урав
нения. (Возможен вопрос: «Итак, получили приведенное квад
ратное уравнение. Можно ли теперь находить сумму и произведе
ние его корней?»)
3. Запишите равенства, используя доказанную теорему, и сделай
те вывод о сумме и произведении корней квадратного уравнения.
В результате проделанной работы на доске и в тетради должны появиться следующие записи:
2x
2
– 9x – 10 = 0;
ax
2
+ bx + c = 0;
x
2
–
9 2
x – 5 = 0;
x
2
+
b
a
x +
c
a
= 0;
D =
81 4
+ 20 =
161 4
> 0;
D
≥0;
x
1
+ x
2
=
9 2
;
x
1
+ x
2
= –
b
a
;
x
1
· x
2
= –5.
x
1
· x
2
=
c
a
Подводя итог этапу усвоения, учитель выясняет, какие задачи можно решать с помощью рассмотренной теоремы, какова схема их решения.
Схема решения:
1) проверить, имеет ли квадратное уравнение действительные корни;
2) выяснить, является ли квадратное уравнение приведенным или нет;
3) если квадратное уравнение является приведенным, то вос
пользоваться формулами
x
1
+ x
2
= –p,
,
x
1
· x
2
= q

177
если квадратное уравнение является произвольным, то восполь
зоваться формулами
x
1
+ x
2
= –
b
a
;
x
1
· x
2
=
c
a
Полезно вернуться к началу урока и выделить все приемы рассуждений, которые использовались (иными словами, выде
лить гуманитарный потенциал темы). К таким приемам относят
ся: 1) индукция для открытия новых фактов; 2) анализ или синтез для поиска путей возможных доказательств; 3) прием сведения к известному при работе с квадратным уравнением, не являю
щимся приведенным; 4) аналогия при работе с конкретным урав
нением и уравнением общего вида. Возвращаясь к таблице, ис
пользовавшейся на первом этапе урока, можно закрывая те или иные записи, составить различные задачи с применением теоре
мы Виета, а также подойти к обратной теореме.
Завершая этап усвоения, учитель сообщает, что сегодня на уроке работали с теоремой, которая называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета
(1540—1603). Эта теорема отражает еще одну связь между корнями
и коэффициентами квадратного уравнения.
Для общего случая квадратного уравнения формулировку тео
ремы можно продекламировать в стихотворной форме:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни — и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна,
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а. ([48], 1992, № 2—3, С. 29.)
Закрепление теоремы
Закрепление теоремы Виета и ей обратной осуществляется при отработке навыков их применения при решении упражнений следующих видов:
• проверка правильности вычисления корней;
• подбор целых корней приведенного квадратного уравнения с целыми коэффициентами;
Часть III. Методика изучения теорем

Приложения
178
• определение знаков корней уравнения (если они существу
ют), не решая его;
• доказательство того, что уравнение не может иметь корни одинаковых (разных) знаков.
На последующих уроках полезно предлагать упражнения более высокого уровня сложности. Приведем пример такого задания.
Задание. Пусть
х
1
и х
2
–корни уравнения х
2
+ 7х – 11 = 0. Не решая уравнения, найдите значения следующих выражений:
а)
1 2
1 1
x
x
+
; б)
2 2
1 2
x
x
+
; в) (x
1
– x
2
)
2
; г)
1 2
2 1
x
x
x
x
+
; д)
3 3
1 2
x
x
+
Методика доказательства теоремы
о средней линии трапеции
Прежде всего, отметим, что согласно учебникам [11] и [90] трапе
ция изучается в теме «Четырехугольники». В учебнике [90] средняя линия трапеции и ее свойства рассматриваются в этой же теме и доказываются, опираясь на теорему о средней линии треугольника.
В учебнике [11] средняя линия и ее свойства рассматриваются в теме «Векторы». Доказательство свойств опирается на действия над векторами, признак и свойства коллинеарных векторов.
Остановимся на варианте из учебника [90]. Выполним логико
математический анализ теоремы «Средняя линия трапеции парал
лельна основаниям и равна их полусумме».
Теорема сформулирована в категорической форме. Сформули
руем ее в импликативной форме, выделив явно разъяснительную часть: в любой трапеции, если отрезок есть ее средняя линия, то он
параллелен основаниям и равен их полусумме.
В такой формулировке явно видна структура теоремы:
Разъяснительная часть: в любой трапеции.
Условие: отрезок есть средняя линия трапеции.
Заключение:
1) отрезок параллелен основаниями;
2) отрезок равен полусумме оснований.
Теорема содержит два заключения, значит, она сложная по струк
туре (но не обязательно сложным является ее доказательство).
Подготовительный этап
Проанализировав доказательство теоремы, следует выделить опорные знания (задачи) и повторить (решить) их на этапе актуали
зации. В данном случае следует повторить свойство параллельных

179
прямых и признак равенства треугольников через решение сле
дующей задачи:
Дано: AB || CD; BO = CO.
Доказать:
ΔABO = ΔDCO.
Введение теоремы
Возможно дедуктивное введение теоремы и синтетический способ ее доказательства.
Свойства средней линии можно «открыть» параллельно с про
цессом построения средней линии в произвольной, равнобокой и прямоугольной трапециях. Учащимся предлагается:
1. Сравнить визуально взаимное расположение средней линии и оснований трапеции.
2. Построить отрезок, длина которого равна сумме длин оснований трапеции. Сколько раз средняя линия укладывается на этом отрезке?
Можно использовать аналогию со средней линией треуголь
ника для «открытия» теоремы. Возможны вопросы: «Для какой фигуры, кроме трапеции, определено понятие средней линии,
какими свойствами обладает средняя линия этой фигуры?».
В случае затруднений с длиной средней линии, можно предложить учащимися «поэкспериментировать» с отрезками (основаниями трапеции и средней линией). Возможно и использование приема реконструкции фигуры для обнаружения закономерных связей.
Так, уменьшение длины одного из оснований трапеции до нуля,
превращает трапецию в треугольник, причем средняя линия тра
пеции превращается в среднюю линию треугольника. Увеличение основания трапеции на 1 единицу длины увеличивает среднюю линию на
1 2
единицы.
На основе выполнения задания выдвигается гипотеза. Далее формулируется теорема, делается чертеж, записывается, что дано и что требуется доказать.
Дано:
ABCD — трапеция,
AD и BC — основания,
QP — средняя линия.
Доказать: 1) QP || AD, QP || BC;
2) QP =
1 2
(AD + BC).
A
B
C
D
O
A
B
C
D
Q
P

Приложения
180
Поиск идеи доказательства (анализ) желательно осуществить совместно с учащимися. Выясняем, что для доказательства па
раллельности средней линии основаниям трапеции, достаточно доказать параллельность одному из оснований.
Использование аналогии в свойствах средней линии трапеции и треугольника позволяет сделать вывод о том, что для доказа
тельства свойств средней линии трапеции желательно построить треугольник, средняя линия которого совпадает со средней ли
нией трапеции.
A
B
C
D
E
P
Q
ΔBCP и ΔEDP
(по второму признаку)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⇒
Намечают с учащимися основные пункты доказательства: ес
ли доказать, что QP — средняя линия в построенном треугольни
ке, а AE равно сумме оснований, то теорема будет доказана.
Вопрос: «Что для этого необходимо доказать и как?» позволяет составить план доказательства.
Доказательство:
1. Дополнительное построение: ВР
∩ АD = Е.
2. Рассмотрим
ΔВСР и ΔЕDР. В них:
а) СР = DР (Р — середина СD),
б)
∠ВРС = ∠ЕРD (как вертикальные),
в)
∠ВСР = ∠ЕDР (как накрест лежащие углы при параллельных ВС и АD и секущей СD).
Значит, ВС = DЕ; ВР = РЕ.
3. Рассмотрим
ΔАВЕ.
Q — середина АВ (по условию), Р — середина ВЕ (по доказан
ному), значит, QР — средняя линия
ΔАВЕ (по определению).
QР
|| AE; QР =
1 2
АЕ =
1 2
(АD + DЕ) =
1 2
(АD + ВС).
4. АD
|| ВС (по определению трапеции), QР || АD (по доказан
ному), значит, QР
|| ВС (по признаку параллельности прямых).
Рационально также применить и другой порядок работы над доказательством:
1) наметить план доказательства;
2) провести доказательство устно;
3) провести повторное доказательство с краткой записью.

181
Усвоение теоремы
Для усвоения содержания теоремы и ее доказательства можно повторить формулировку теоремы и основные этапы ее доказа
тельства или предложить прочитать соответствующий материал в учебнике.
В качестве заданий на непосредственное применение свойств средней линии трапеции можно использовать устные задачи по готовым чертежам:
Имеет ли задача решение?
Доказать, что ВН —
высота трапеции.
A
B
C
D
P
Q
?
4 6
?; на 2 > BC
H
60°
100°
A
B
C
D
P
Q
3 2
?
A
B
C
D
P
Q
3
?
A
B
C
D
P
Q
3
?
8
A
B
C
D
P
Q ?
?
6
A
B
C
D
P
Q
1) задания, при выполнении которых осу
ществляется актуализация необходимого тео
ретического материала;
2) задания по готовым чертежам на непо
средственное применение теоремы;
3) задания на выведение следствий из усло
вия теоремы;
4) задания — образцы, связанные с приме
нением теоремы;
5) задания — комплексы;
6) задания разного уровня сложности;
7) открытые задания.
Приложение 8
Система упражнений, связанная с изучением теоремы
Система упражнений, связанная с изучением теоремы должна включать:
На подготови
тельном этапе
На этапе усвоения
На этапе закрепления
⎧
⎨
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Часть III. Методика изучения теорем

Приложения
182
Математическая карта изучения теоремы Виета по учебнику [35]
Исследуется связь меж
ду коэффициентами и корнями приведен
ного квадратного урав
нения доказывается доказывается
Объединяются
Теорема 1:
x
1
,
x
2
— корни
уравнения
x
2
+
px + q = 0
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
x
1
+
x
2
= –
p, x
1
·
x
2
=
q
Теорема 2:
x
1
+
x
2
= –
p, x
1
·
x
2
=
q
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
x
1
,
x
2
— корни
уравнения
x
2
+
px + q = 0
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
Теорема Виета:
x
1
,
x
2
—
корни уравнения
x
2
+
px + q = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
x
1
+
x
2
= –
p, x
1
·
x
2
=
q
Запись любого приведенного квадратного уравне
ния, имеющего два корня, в виде
x
2
– (x
1
+ x
2
)x +
+ x
1
·x
2
= 0
Разложение квадрат
ного трехчлена на множители:
x
2
+ px + q =
= (x – x
1
)(x – x
2
)
обобщается
Теорема 3:
x
1
,
x
2
— корни
уравнения
ax
2
+
bx +c = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
x
1
+
x
2
= –
b
a
,
x
1
·
x
2
=
c
a
предлагается доказать
ax
2
+
bx + c =
= a(x – x
1
)(
x – x
2
),
где
x
1
,
x
2
— корни
уравнения
ax
2
+
bx + c = 0
Применяется в ситуациях
Проверяем,
правильно ли найдены корни
Разлагаем квадратный трехчлен на множители
Устно находим целые корни приведенного квадратного уравнения с целыми коэффициентами
Составляем квадратное уравнение с заданными корнями
Определяем знаки корней квадратного уравнения, не решая его

183
Приложение 9
Типичные методические ошибки при изучении теорем
Типичными методическими ошибками при изучении теорем являются:
I. Ошибки в подборе содержания:
• для этапа усвоения не составлены задачи по готовым чер
тежам;
• задачи на готовых чертежах предложены без обоснованной системы;
• не выделены ситуации, в которых может применяться изученная теорема.
II. Ошибки в структуре изложения:
• пропущен этап мотивации;
• пропущен этап усвоения;
• пропущен этап подведения итогов.
III. Ошибки в ведении диалога:
• учащиеся не привлекаются к работе с формулировкой тео
ремы;
• учащимся задаются мелкие вопросы, связанные с дока
зательством, что сбивает темп усвоения логики доказатель
ства;
• учитель не ставит вопросов, напоминающих ход доказатель
ства (Что теперь нужно доказать? Сможем ли? Почему?);
• учитель решил не привлекать учеников к доказательству, но не озвучил идею доказательства и диалог с самим собой,
в результате ученикам остается только механическое запо
минание доказательства;
• не продуманы диалоги по повторению основных моментов доказательства;
• не продуманы диалоги по решению задач по готовым чертежам.
IV. Ошибки в логике изложения:
• связи с прошлым отсутствуют или являются для учащихся необоснованными;
• не четко выделены этапы доказательства;
• выделены очень мелкие этапы;
• идея доказательства не сформулирована;
• на этапе доказательства четко не просматриваются состав
ляющие части дедуктивного утверждения (посылка, заклю
чение, обоснование);
• не намечены пути дальнейшей работы с изученной теоремой.
Часть III. Методика изучения теорем