Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
194
Итак, по железной дороге отправлено 12800 м
3
леса, тогда по реке – 19200 м
3
, что составляет 0,6 всего заготовленного леса или
60%. Получили число, которое задано в условии задачи.
Ответ: 6400 м
3
V этап. Исследование задачи
Можно ли иначе решить задачу?
1. Можно узнать, какое количество леса отправлено по желез
ной дороге, зная, что оно составляет 40% от всего заготовленного леса, а затем ответить на вопрос задачи.
2. Можно узнать, на сколько процентов меньше отправлено по железной дороге, чем по реке, а затем узнать сколько кубических метров леса составляют эти проценты.
На будущее полезно запомнить, что условие задачи, связанной с процентами, удобно изображать графически.
Методика работы с текстовой задачей,
решаемой алгебраическим методом
Задача. Из пункта
А в пункт В, расстояние между которыми равно 60 км, выехал автобус, а через 20 мин вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше ско
рости автобуса. Автобус пришел в пункт В на 10 мин позже легкового автомобиля. Найдите скорость автобуса и легкового автомобиля.
I этап. Анализ условия задачи
Деятельность учителя
Деятельность ученика
С чего начинают работу над любой задачей?
Итак, проведем анализ условия за
дачи. (В дальнейшем в роли учите
ля выступает ученик.)
1. Задача на движение. (В задаче идет речь о движении.)
С анализа ее условия.
1. Какого типа эта задача? (Воз
можны вопросы: «О чем идет речь в задаче?», «О каком процессе гово
рится в задаче?»)

195
Окончание табл.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
2. О каких объектах идет речь в задаче? Каков характер их взаи
модействия?
Итак, какие части можно выделить в задаче?
2. В задаче идет речь об автобусе и легковом автомобиле; они выез
жают из одного пункта и едут в одном направлении.
Можно выделить две части, одна связана с движением автобуса, вто
рая – с движением легкового авто
мобиля.
3. Какими величинами характери
зуется движение этих объектов?
(Возможен вопрос: «Какими клю
чевыми словами можно описать происходящее в задаче?»)
3. Движение этих объектов характе
ризуется тремя величинами: ско
рость, время, расстояние.
Какова связь между этими величи
нами?
S = v·t
4. Что в задаче известно о движе
нии автобуса?
4. 1) Его скорость на 20 км/ч мень
ше скорости легкового автомобиля.
2) Он вышел из пункта А на 20 мин раньше, а прибыл в пункт В на 10 мин позже, т. е. он был в пути на 30 мин больше, чем легковой автомобиль.
3) Он прошел 60 км.
Что в задаче известно о движении легкового автомобиля?
1) Его скорость на 20 км/ч больше скорости автобуса.
2) Он был в пути на 30 мин меньше,
чем автобус.
3) Он прошел 60 км.
Уточните известные и неизвестные величины.
Известен путь каждого объекта, не
известны их скорости и время дви
жения.
Какая связь существует в задаче ме
жду соответствующими неизвест
ными величинами?
1) Скорость легкового автомобиля на
20 км/ч больше скорости автобуса.
2) Автобус был в пути на 30 мин больше, чем легковой автомобиль.
5. Что требуется найти?
5. Скорость автобуса и скорость лег
кового автомобиля.
Итак, отбросив всю несуществен
ную информацию, как можно пере
формулировать задачу в форму,
удобную для поиска решения?
Скорость автобуса на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля, вре
мя движения автобуса на 30 мин или
0,5 ч больше времени движения лег
кового автомобиля. Автобус и легко
вой автомобиль проехали одинако
вое расстояние, равное 60 км. Требу
ется определить скорость автобуса и легкового автомобиля.
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
196
Можно запись условия и требования задачи осуществить в виде таблицы:
Схематическая запись задачи
Одновременно с выполнением анализа осуществляется схема
тическая запись задачи.
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Автобус на 0,5 ч б.
Автомобиль на 20 км/ч б.
А
В
60 км
Скорость
Время
Расстояние
Автобус
? на 20 км/ч м.
? на 0,5 ч б.
60 км
Автомобиль
?
60 км
II этап. Поиск способа решения задачи
Деятельность учителя
Деятельность ученика
1. Итак, что нужно найти в задаче?
1. Скорость автобуса и легкового автомобиля.
2. Каким методом (по действиям или с помощью уравнения) будем решать задачу?
Задачу будем решать алгебраичес
ким методом.
3. С чего начинают решение задачи алгебраическим методом?
Какое условие можно выбирать для составления уравнения?
3. С выбора условия для составле
ния уравнения.
Любое из данных:
• скорость автобуса на 20 км/ч меньше скорости легкового автомо
биля,
• время движения автобуса на 0,5 ч больше времени движения легко
вого автомобиля,
• автобус проехал расстояние, рав
ное 60 км,
• легковой автомобиль проехал то же расстояние, что и автобус.

197 7. 1) Скорость автобуса обозначаем за х км/ч.
2) Выражаем скорость автомобиля и время движения каждого объекта через х.
3) Используя связь между временем движения автобуса и легкового ав
томобиля, составляем уравнение.
Окончание табл.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Какое условие выберем?
Составьте схему уравнения.
Время движения автобуса на 0,5 ч больше времени движения легко
вого автомобиля
t
1
= t
2
+ 0,5 4. Итак, условие для составления уравнения выбрали. Что делаем дальше?
Какую величину можно обозначать за х?
Какую же неизвестную величину мы обозначим за х и почему?
4. Одну из неизвестных величин обозначаем за х.
Любую неизвестную (скорость ав
тобуса, скорость автомобиля, вре
мя движения автобуса, время дви
жения автомобиля).
За х обозначим скорость автобуса, так как она меньше и ее требуется найти.
5. Итак, х ввели. Что делаем дальше?
Какие величины нужны, и можно ли их выразить через х?
5. Остальные неизвестные величи
ны выражаем через х.
Нужно время движения каждого объ
екта, а время находят делением прой
денного расстояния на скорость дви
жения, значит, чтобы время выра
зить через х, нужно знать скорости движения. Скорость автобуса – х км/ч,
а скорость легкового автомобиля на
20 км/ч больше, т. е. (х + 20) км/ч.
Время движения автобуса
60
x
ч.
Время движения легкового автомо
биля
60 20
x
+
ч.
6. Итак, нужные величины вырази
ли через х. Сможем ли теперь со
ставить уравнение?
6. В схему t
1
= t
2
+ 0,5 вместо t
1
подставим время движения автобу
са, т. е.
60
x
ч вместо t
2
– время движения легкового автомобиля, т. е.
60 20
x
+
ч.
7. Назовите план решения задачи.
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
198
III этап. Оформление решения задачи
Пусть х км/ч — скорость движения автобуса, тогда (х + 20) км/ч –
скорость легкового автомобиля,
60
x
ч — время движения автобуса,
60 20
x
+
ч — время движения легкового автомобиля. По условию задачи
60
x
больше
60 20
x
+
на 0,5 ч.
Составим уравнение:
60 60 1
20 2
x
x
−
=
+
Решим уравнение:
60 2 (
20) 60 2
(
20)
0 2 (
20)
x
x
x x
x x
⋅ ⋅ +
− ⋅ ⋅ −
+
=
+
2 20 2400 0
2 (
20)
x
x
x x
− −
+
=
+
x
2
+ 20x – 2400 = 0
x
2
+ 20x – 2400 = 0 2x(x + 20)
≠ 0
D = 10000, x
1
= 40, x
2
= –60
Оба корня удовлетворяют решению системы и, следовательно,
уравнение имеет два корня: 40 и –60.
Условию задачи удовлетворяет один корень, так как скорость в данной задаче не может быть отрицательной.
Итак, скорость автобуса 40 км/ч. Тогда скорость легкового автомобиля 60 км/ч.
На практике, наряду с развернутой записью решения, часто используется краткая запись. Так, решение может быть отражено помощью таблицы:
⎧
⎨
⎩
Скорость
(км/ч)
Время
(ч)
Расстоя
ние (км)
Уравнение
Автобус
х
60
x
60
Время движения лег
кового автобуса на
1 2
ч больше времени дви
жения автомобиля:
60
x
–
60 20
x
+
=
1 2
Легковой
автомобиль
х + 20 60 20
x
+
60

199
Используя обозначения, известные из курса физики, те же самые рассуждения можно оформить в следующем виде:
v
1
= x
t
1
=
60
x
t
1
– t
2
=
1 2
v
2
= x + 20
t
2
=
60 20
x
+
60
x
–
60 20
x
+
=
1 2
IV этап. Проверка решения и запись ответа
1. Ответы соответствуют реальному смыслу задачи.
2. Покажем сначала, как нежелательно осуществлять проверку решения задачи.
Пусть скорость автобуса — 40 км/ч;
60 : 40 = 1,5 (ч) — время его движения;
40 +20 = 60 (км/ч) — скорость легкового автомобиля;
60 : 60 = 1 (ч) — время движения легкового автомобиля;
1,5 – 1 = 0,5 (ч) — разность времени движения, что соответст
вует условию задачи.
Значит, найденное значение х = 40 удовлетворяет условию задачи.
Фактически в этом случае проверка решения задачи свелась к подстановке значения корня х = 40в уравнение
60
x
–
60 20
x
+
=
1 2
Проверка решения должна проводиться по условию задачи,
а не по оставленному уравнению, так как при составлении можно получить неверное уравнение, а решив его верно и проверив корни, мы установим только, что они удовлетворяют уравнению.
Чтобы этого избежать, желательно проверять так, чтобы в последнем вопросе проверки бралась та зависимость, которая не была использована в качестве главного данного при составле
нии уравнения. В нашем случае уравнение было составлено по разности времени движения; в последнем действии проверки надо получить иное данное (разность скоростей; один и тот же путь, пройденный объектами и т. д.).
Практически это означает, что для проверки решения задачи мы должны взять найденное значение неизвестного и часть
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
200
данных; составить и решить новую задачу; в результате получить значение одного из данных задачи, которое не использовалось как главное при составлении уравнения.
Проверим, например, будет ли скорость легкового автомобиля больше скорости автобуса на 20 км/ч.
Пусть скорость автобуса равна 40 км/ч, тогда время его движе
ния — 60 : 40 = 1,5 (ч). Время движения легкового автомобиля на
0,5 ч меньше, т. е. равно 1,5 – 0,5 = 1 (ч). Скорость легкового автомобиля равна 60 : 1 = 60 (км/ч), что соответствует условию задачи (60 – 40 = 20 (км/ч)).
Итак, задача решена верно.
Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч.
Примечание. Данной проверке соответствует следующая за
дача: Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно
60 км, выехал автобус со скоростью 40 км/ч, а через 20 мин вслед за
ним выехал легковой автомобиль. Автобус пришел в пункт В на
10 мин позже легкового автомобиля. На сколько км/ч скорость
легкового автомобиля больше скорости автобуса?
V этап. Исследование задачи
В исследовании выясняется, можно ли задачу решить иначе,
и что из работы над задачей полезно запомнить на будущее.
Можно предположить другие способы решения.
Можно выбрать другое условие для составления уравнения. Если за основание для составления уравнения выбрать то, что расстоя
ние, пройденное автобусом, равно 60 км, то получим уравнение:
60 0,5 60 20
x
x
⎛
⎞
+
=
⎜
⎟
+
⎝
⎠
Если за основание для составления уравнения выбрать то, что скорость легкового автомобиля больше скорости автобуса на
20 км/ч, то получим уравнение:
60 60 :
0,5 20
x
x
⎛
⎞
−
= +
⎜
⎟
⎝
⎠
Можно решить задачу с помощью системы уравнений:
v
1
= x
t
1
= y
s
1
= 60
xy = 60
v
2
= x + 20
t
2
= y –
1 2
s
2
= 60
(x+20)(y –
1 2
) = 60
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

201
На будущее полезно запомнить, что если сравнивается время выхода двух объектов, а затем время их прибытия, то полезно выяснить, на сколько один объект был больше в пути, чем другой.
Разработка методики решения задачи
I. Выяснить математическую сущность задачи. Для этого нужно:
• решить задачу;
• продумать возможные способы решения и их оформление;
• выяснить математические основы способов решения.
II. Определить методические основы решения задачи. Для этого нужно:
1) определить назначение задачи;
2) продумать мотивацию решения задачи;
3) предложить возможные варианты организации работы с за
дачей во время урока;
Предусмотреть две ситуации:
Продумывать вопросы для подведения итогов по решению задачи.
Задача используется при
изучении нового материала
Основы: методика формирова
ния умений.
В диалоге озвучиваются основ
ные этапы работы с задачей.
Задача предложена
для закрепления
Основы: после анализа условия составляется план решения за
дачи, а далее следует самостоя
тельная работа учащихся.
В диалоге задаются общие во
просы типа: «Как мы поступа
ем, если требуется...?», «С чего начинаем...?», «Что делаем дальше?» и т. п.
4) предусмотреть возможные трудности и ошибки учащихся и продумать оказание помощи учащимся для их преодоления или предупреждения.
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
202
III. Разработать или подобрать дополнительные задачи:
• для предварительной работы;
• на отработку отдельных этапов решения задачи;
• на закрепление для тех, кто может испытывать затруднения при решении задачи.
Пример выполнения задания, связанного с
решением задачи:
Если в каждый пакет положить по 2 кг крупы, то для всей крупы не
хватает 10 пакетов, а если положить по 3 кг крупы, то останется
20 свободных пакетов. Сколько крупы и сколько пакетов было? [27].
Выясним математическую сущность задачи.
Пусть было х пакетов.
В одном пакете
Количество пакетов
Всего, кг
I способ
2 кг
х + 10 2·(х + 10)
II способ
3 кг
х – 20 3·(х – 20)
По условию задачи количество крупы не изменялось.
Уравнение:
2·(х + 10) = 3·(х – 20),
2х + 20 = 3х – 60,
х = 80.
Итак, было 80 пакетов, тогда крупы было 2·(80 + 10 ) = 180 (кг).
Задачу можно решить иначе, если за х выбрать все количество крупы. В таком случае получится уравнение: х : 2 – 10 = х : 3 + 20.
Такой способ может вызвать затруднения, если уравнения указанного вида еще не рассматривались.
Если за х взять количество требуемых пакетов при расфасовке по 2 кг, то получится уравнение: 2х = 3·(х – 30).
Задача решена алгебраическим способом, возможно, есть гра
фическое решение.
Определим методические основы решения задачи
1. Задача связана с методом уравнений, направлена на обучение работе с текстами, содержащими сослагательное наклонение (ес
ли бы...).
В одном пакете
Количество пакетов
Всего, кг
I способ
2 кг
Не хватит 10 пакетов
Одинаково
II способ
3 кг
Останется 20 пакетов

203 2. Мотивировать решение задачи можно так: «Сегодня попро
буем решить задачу, а в 7 классе вернемся и посмотрим другие способы ее решения, поскольку задача интересная».
3. Организация работы с задачей.
Рассмотрим ситуацию, когда ученики не смогли справиться
с задачей самостоятельно.
— На этапах анализа условия и поиска решения задачи возмо
жен следующий диалог:
— О чем идет речь в задаче? (О крупе.)
— Что происходит с крупой по условию задачи? (Крупа рас
кладывается по пакетам, причем поразному.)
— Сколько частей (или ситуаций) можно выделить в задаче?
(Две: когда раскладывают по 2 кг и когда раскладывают по 3 кг.)
— Можно ли описать происходящее в задаче, используя слова
«в одном пакете», «количество пакетов», «всего килограмм»? Как можно представить условие задачи? (Можно таблицей, рисун
ком, схемой.)
Представьте условие задачи, например, таблицей.
Ученики легко справляются с таким заполнением:
В одном пакете
Количество пакетов
Всего, кг
I
2 кг
Не хватит 10 пакетов
Одинаково
II
3 кг
Останется 20 пакетов
В одном пакете
Количество пакетов
Всего, кг
I способ
2 кг
Не хватит 10 пакетов
II способ
3 кг
Останется 20 пакетов
Тогда на вопрос: «Что известно о количестве крупы в двух случаях?» следует ответ: «Оно одинаково»:
Дальнейший диалог строится вокруг схемы решения задач алгебраическим методом:
— Видит ли ктонибудь решение по действиям? (Допустим,
следует ответ: «Нет».)
— Как же решают задачи в таком случае? (Решают методом составления уравнений.)
— С чего начинают решение задачи этим методом? (Выбирают основание для составления уравнения.)