Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
214
Поиск решения задачи можно провести двумя методами: анали
тическим и синтетическим.
Поиск решения задачи методом анализа (начинается поиск
с требования):
1) Что требуется найти? (Площадь трапеции.) По какой фор
муле находится площадь трапеции? (Для того чтобы найти иско
мое – площадь трапеции, необходимо воспользоваться формулой:
S =
1 2
(ВС + АD)·BE, где BC и АD известны, ВЕ неизвестно.)
2) Из какой фигуры можно найти ВЕ? (ВЕ можно найти из
ΔАВЕ,
2 2
BE
AB
AE
=
+
, где АВ и АЕ неизвестны.)
(Возможен и ответ: из
ΔАВD. Этот вариант будет рассмотрен при синтетическом методе поиска решения задачи.)
3) Из какой фигуры можно найти АВ? (АВ можно найти из треугольника
ΔАВD:
AB
AE AD
=
⋅
, где АЕ неизвестно, АD из
вестно.) (В случае затруднений полезно спросить, какое условие задачи еще не использовали?)
4) Как в трапеции находят длину отрезка АЕ? (АЕ находим по опорной задаче: АЕ =
1 2
(АD – ВС), где АD и ВС известны.)
По ходу анализа заполняется графсхема поиска решения:
S
тр.
— ?
S
тр.
=
1 2
(ВС + АD)·ВЕ
ВС
АD
ВЕ
10 см 26 см ?
из
ΔАВЕ:
2 2
BE
AB
AE
=
+
АВ
АЕ
?
из
ΔАВD:
AB
AE AD
=
⋅
АD
АЕ
26 см
?
AE =
1 2
(AD – BC)
(опорная задача)

215
Поиск решения задачи закончен. По построенному графу составляется план решения:
1) АЕ,
2) АВ,
3) ВЕ,
4) S
тр.
Поиск решения задачи методом синтеза (начинается поиск
с условия):
1) Что можно найти, зная основания равнобокой трапеции?
(Длину отрезков большего основания, которые отсекаются высо
тами трапеции, к нему проведенными.)
2) Что можно найти, зная в прямоугольном треугольнике АВD
длины отрезков, на которые разбивает гипотенузу высота, прове
денная из вершины прямого угла? (Можно найти высоту тре
угольника, значит, и высоту трапеции.)
По ходу синтеза заполняется графсхема поиска решения:
• АЕ: АЕ =
1 2
(АD – ВС) (опорная задача)
АD = 26
ВС = 10
• ВЕ:
BE
AE ED
=
⋅
,
где ЕD = АD – АЕ
• S
тр.
: S
тр.
=
1 2
(ВС + АD)·ВЕ
Приложение 15
Преобразование задач
В структуре любой задачи выделяются следующие части:
• условие задачи;
• обоснование решения;
Вычисления:
1. AE = (26 – 10):2 = 8 (см),
2. ED = 26 – 8 = 18 (см),
3.
8 18
BE
=
⋅ =
4 2 2 9
=
⋅ ⋅ ⋅ =
= 4·3 = 12 (см),
4. S
тр.
=
1 2
(10 + 26)·12 =
= 18·12 = 216 (см
2
).
Ответ: 216 см
2
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
216
• решение задачи;
• заключение задачи.
Если все структурные части известны (так обычно бывает,
когда дан образец решения), то говорят, что задача стандартная
[27, С. 157, № 4]. Преобразовать стандартную задачу можно, если заменить некоторые записи в образце пропусками [27, С. 276,
№ 4], или предложить найти ошибку [27, С. 234, № 6], или по образцу ответить на некоторые вопросы [26, № 116].
Если неизвестна одна часть (чаще всего решение), то говорят,
что задача обучающая. Преобразовать обучающую задачу можно несколькими способами:
• изменить представление условия задачи (чаще всего задачи представлены в словесной форме, а можно задачи представ
лять чертежом, таблицей, краткой записью, в таком случае ученикам предлагается сформулировать условие задачи) [26,
С. 178, № 11, С. 179, № 13];
• сделать известным решение, по которому восстанавливает
ся условие задачи или ее заключение [26, № 102(2)];
• сделать условие с недостающими или избыточными данны
ми [26, С. 175, № 8];
• рассмотреть несколько способов решения [33, С. 208, № 4].
Если неизвестны две части, то говорят, что задача поисковая.
Поисковая задача может получиться из обучающей, если сделать открытым ее условие (в этом случае обычно задается вопрос:
«Что должно быть известно, чтобы можно было доказать... или найти...?») [36, № 62]; [37, С. 176, № 1] или заключение (в этом случае задается вопрос: «Что можно найти или доказать по задан
ному условию?») [26, С. 182, № 24], [37, С. 107, № 15]. Поисковая задача получается, если, например, по уравнению требуется со
ставить задачу [35, С. 169, № 5], если требуется определить, что изменится в решении, если изменить часть условия определен
ным образом [35, С. 164, № 2].
Если неизвестны три части задачи, то задача проблемная. О них идет речь в тех случаях, когда учеников просят составить за
дачи на определенную тему [35, С. 175, № 9]. Преобразовы
ваются такие задачи формой предъявления: составить пример,
составить дидактическую игру, составить контрольную работу,
составить реферат, составить рекламу, составить комикс и т. д.
[26, С. 45]; [32, С. 59]; [35, С. 67, № 4]; [36, С. 169]; [37, С. 111,
№ 25].

217
Часть V. Урок математики
В этой части представлены:
• схема анализа пункта школьного учебника и примеры такого
анализа;
• требования к конспекту урока;
• технология составления конспекта урока;
• конспекты уроков с увеличением самостоятельной работы при
изучении нового;
• схема анализа урока и пример анализа урока;
• планы конспекты уроков изучения нового материала различны
ми методами;
• планы конспекты уроков различных видов (урок закрепления,
обобщающий урок).
В настоящее время существует множество разнообразных уроков, следовательно, возникает проблема их классификации.
М.И. Махмутов предложил классифицировать уроки по цели их организации. Свой выбор автор обосновывает тем, что в основе любой человеческой деятельности лежит целеполагание. Учебная деятельность не должна быть исключением. Классификация
М.И. Махмутова предусматривает субъектную деятельность уча
щихся, значит, при конструировании личностно ориентирован
ных уроков (уроков, на которых учащиеся являются субъектами обучения и собственного развития) желательно опираться имен
но на эту классификацию.
Сравним классификацию М.И. Махмутова с классификацией,
в основе которой лежит дидактическая цель. М.И. Махмутов при делении уроков на типы предлагает опираться на цели организа
ции занятий, а затем конкретизировать каждый урок в соответ
ствии с дидактической целью. Первая цель имеет более общий и чисто педагогический характер: организовать изучение нового материала, совершенствовать знания, умения, навыки учащихся,
а вторая цель уточняет сущность изучения или совершенст
вования: усвоение новых понятий, применение усвоенного в упражнениях и при решении задач и т. д. Иными словами,
дидактическая цель связана с той конкретной целью, которые должны достичь учащиеся на уроке.
Конструирование урока начинается с определения его целей и составления плана урока. Основная цель личностно ориентиро
ванного урока помимо достижения учащимися определенного
Часть V. Урок математики

Приложения
218
учебного результата состоит в обогащении опыта учащихся, свя
занного с постижением знаний, организацией процесса обучения и самообучения, с рефлексией, т. е. опыта «быть субъектами обучения и собственного развития».
При составлении плана урока опираются на понятия дидак
тической и методической структуры урока. Так, дидактическая структура уроков изучения нового материала имеет вид:
I.
Актуализация знаний.
II. Изучение нового материала.
III. Первичное применение нового материала.
IV. Подведение итогов урока.
Дидактическая структура уроков совершенствования знаний,
умений, навыков имеет вид:
I.
Актуализация знаний.
II. Совершенствование ЗУН.
III. Подведение итогов урока.
Методическую структуру урока рассматривают в соответствии с этапами базовых методик обучения учащихся математике. Тех?
нология составления плана урока имеет следующие этапы:
1. Выделить дидактическую структуру урока.
2. Проверить, отражает ли каждый пункт плана цель этого этапа.
3. Скорректировать каждый пункт плана, чтобы он отражал математическое содержание и соответствовал базовым методи
кам обучения учащихся математике.
4. Продумать форму организации деятельности учащихся, что
бы они были субъектами обучения и собственного развития.
Покажем особенности конструирования каждого элемента дидактической структуры урока с позиции личностно ориенти
рованного обучения. При традиционном обучении этап актуали
зации знаний осуществляется либо через опрос учащихся, фрон
тальную беседу, причем вопросы подбирает сам учитель; либо этот этап отсутствует. На личностно ориентированном уроке этап актуализации начинается с мотивации темы урока, поскольку учащимся необходимо понимать, почему именно такое содер
жание материала выносится на этап актуализации. Сама актуа
лизация может быть связана с систематизацией и обобщением
ранее изученного; со старым опытом, который необходимо ис
пользовать или перестроить. Актуализация знаний при личност
но ориентированном обучении также может проходить в виде

219
фронтальной работы. Однако, во первых, она должна осуществ
ляться вокруг ключевых идей, выделенных учащимися (это могут быть названия заголовков разделов учебника или записей в тет
радях, основные вопросы рассматриваемой содержательной линии, ключевые понятия темы и т. д.). Во вторых, вопросы подбираются самостоятельно учащимися. В третьих, учитель ста
рается задействовать все способы кодирования информации, по
этому фронтальная работа проводится с помощью наглядных пособий, с записями на доске, или по специально разработан
ным заданиям. Часто на основе этих записей учащиеся конструи
руют план урока. Также, составление плана изучения нового материала может опираться на вопросы учащихся в связи с объ
явленной темой урока, которые записываются на доску, чтобы в них увидеть мотив для деятельности.
Конструирование этапа изучения нового материала следует вес
ти в соответствии с требованиями к этапам введения и усвоения дидактических единиц.
На этапе первичного применения нового материала при тради
ционном обучении вся инициатива находится в руках учителя: он предлагает список номеров из учебника, затем вызывает учаще
гося к доске для решения того или иного примера, тем самым учащиеся, работающие на местах, оказываются в ситуации, когда они вынуждены списывать готовые решения. Таким образом,
при традиционном обучении зачастую не учитываются индиви
дуальные стили работы учащихся, их возможные трудности. По
этому с позиции личностно ориентированного обучения при решении упражнений важно инициативу передавать в руки учащихся, тем самым последним предоставляется роль ведущих,
а не ведомых. Учитель сначала предлагает список номеров из учебника, обсуждает задания и назначение (особенности) каждо
го номера, организует анализ ситуаций. Затем учащимся пред
лагается выбрать, какой из номеров им бы хотелось обсудить в классе (свой выбор учащиеся обосновывают). После чего по желанию учащиеся вызываются к доске. Выполнение выбранно
го номера начинается с анализа условия и поиска решения при
мера. Затем учащийся у доски осуществляет комментированную запись решения данного примера, поскольку многие учащиеся не могут пропустить этап «внешней речи». И в завершении этапа первичного применения учащимся предоставляется право выбо
ра примеров для самостоятельной работы.
На этапе совершенствования ЗУН планируются направления,
по которым осуществляется совершенствование (отработка
Часть V. Урок математики

Приложения
220
отдельных этапов деятельности, освоение определенных ситуа
ций применения изученного, изучение особых случаев и т. д.).
При личностно ориентированном обучении учащиеся осуществ
ляют обзор и отбор задачного материала, планируют направле
ния совершенствования ЗУН и своего опыта работы (например,
опыта самоконтроля, опыта групповой работы и пр.), выбирают способ организации выполнения заданий.
При традиционном подведении итогов урока используются сле
дующие варианты:
1. Учитель задает вопросы, касающиеся только материала урока.
2. В качестве итогов называются отметки.
3. Учитель сам перечисляет, что было на уроке.
Если идти по первому пути, то при таком приеме основное назначение этапа подведения итогов — повторение рассмотрен
ного. А при личностно ориентированном обучении назначение этапа подведения итогов состоит в том, чтобы обобщить и систе
матизировать изученное и возникшие во время урока трудности,
повторить пути их преодоления. Для этого учитель должен задать такие вопросы, которые выводят учащихся на этап систематиза
ции и обобщения. Эти вопросы касаются не только материала, но и процесса его изучения.
М.И. Махмутов при описании уроков выделил следующие трудности их конструирования:
1) организация самостоятельной познавательной деятельно
сти учащихся;
2) подбор материала для индивидуальной, групповой, фрон
тальной работы;
3) обеспечение экономии времени;
4) мотивация деятельности учащихся.
С теми же трудностями сталкивается учитель при конструиро
вании личностно ориентированных уроков. Преодолеть их помо
гают:
1) специальные приемы личностно ориентированной органи
зации урока;
2) учебные задания для учащихся и их мотивация;
3) дидактические материалы — протоколы деятельности уча
щихся.
Изучение нового материала может осуществляться различны
ми методами. Ниже перечислены используемые методы и дана характеристика, позволяющая разобраться в отличиях этих ме
тодов.

221
Часть V. Урок математики
Возможны два варианта: учебная книга — справочник и учебная книга — самоучитель. В первом случае учитель предлагает ученикам серию вопросов, ответы на которые надо найти в книге. Во втором случае вопросы уже введены в учебный текст, и учителю необходимо организовать деятельность учащихся на поиск ответов на поставленные вопросы.
В этом случае используется и фронтальная, и группо
вая, и самостоятельная работа
Метод
Характеристика
Объяснительно
иллюстративный в форме беседы
Учитель проводит беседу с учениками в вопросно
ответной форме. Вопросы должны быть на размыш
ление, а не только репродуктивные, однако весь ход урока при использовании этого метода предполагает однозначные ответы. Приемы метода: грамотно по
строенная актуализация знаний, подбор примеров сопоставительного характера (что общего, чем от
личаются), сообщение основной идеи изучаемого,
обсуждение примера в соответствии с этапами дея
тельности (анализ, поиск решения и т. д.), озвучива
ние (выделение) характерных признаков и т. д.
Объяснительно
иллюстративный в форме лекции
Учитель сообщает ученикам цель и план лекции. На лекцию обычно выносится материал, который мож
но изложить блоком. Каждая часть лекции мотивиру
ется, аргументируется и структурируется. В ходе лек
ции учитель с помощью вопросов проверяет усвоение материала. Перед началом лекции возможна актуа
лизация знаний
Репродуктивный
Метод предполагает воспроизведение изученного.
Применяется, когда надо воспроизвести формули
ровки и основные положения теоретического мате
риала (словесная форма), когда надо продемонстри
ровать применение знаний в знакомой ситуации
(практическая форма)
Частичнопоис
ковый
При использовании этого метода ученики делают выво
ды, которые требуют иных размышлений, чем при объ
яснительноиллюстративном методе, поскольку вывод носит элемент открытия; применяют знания в изме
ненной ситуации, когда нужно догадаться о способе выполнения задания, но знаний для этого достаточно
Проблемный
При использовании этого метода ученики обсуждают проблему, решение которой требует новых знаний,
причем учитель старается, чтобы открытия сделали сами ученики. Приемы метода: постановка общих вопросов,
фиксация всех предложений учащихся с последующим их анализом, применение известных способов решения с целью получения ответа на проблему, а затем поиск более рациональных новых способов и т. д.
Использование учебной книги

Приложения
222
Приложение 16
Анализ пункта школьного учебника
Подготовка учителя к уроку включает в себя анализ учебного материала. В связи с этим необходимо владеть общими приемами выполнения анализа учебного материала (пункта учебника, оп
ределения, алгоритма, математического утверждения).
В содержании пункта школьного учебника вычленяются два крупных блока: теоретический материал и задачный материал.
Теоретический материал представлен понятиями и их определе
ниями, утверждениями (теоремы, свойства, признаки и т. п.),
алгоритмами (правила, формулы и др.), различными по степени общности и предметному содержанию математическими метода
ми (аксиоматический, координатный, векторный, метод уравне
ний и неравенств, метод равных треугольников, метод геомет
рических преобразований и др.).
При анализе пункта школьного учебника удобно пользоваться следующей схемой.
I. Провести анализ объяснительного текста. С этой целью выяснить:
1) какие новые понятия рассматриваются, даются ли им опре
деления;
2) какие новые утверждения изучаются, даются ли им доказа
тельства, каковы основные идеи доказательств;
3) какие новые виды задач и примеров рассматриваются, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;
4) какие иллюстрации приводятся, каково их назначение.
II. Провести анализ задачного материала. С этой целью:
1) выделить группы математических заданий по цели их ис
пользования и выяснить, чем отличаются задания внутри каждой группы, каковы основы их решения;
2) особо выделить:
• задачи, связанные с отработкой отдельных этапов выполне
ния алгоритма (пошаговые задания);
• задачи, содержащие образец выполнения (базовые задания);
• задачи обязательного уровня;
• задачи, на результат которых при решении других задач можно делать ссылки (опорные задачи);
• задачи для обнаружения новых математических фактов (по
знавательные задачи).

223
Анализ пункта 16 «Определение арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии» [3]
I. Проведем анализ объяснительного материала.
1. Содержание пункта начинается с рассмотрения примера последовательности натуральных чисел, которые при делении на
4 дают в остатке 1, что позволяет ввести два понятия: арифме
тической прогрессии и разности арифметической прогрессии
(числа d). Каждому из этих понятий дается определение, причем определение арифметической прогрессии представлено в двух формах: 1) в виде словесной формулировки (арифметической
прогрессией называется последовательность, каждый член кото
рой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному
с одним и тем же числом), 2) в виде аналитической записи
(арифметическая прогрессия — последовательность, заданная фор
мулой a
n=1
= a
n
+ d, где d — некоторое число).
2. В пункте рассматриваются и доказываются два утверждения:
1) формула nго члена арифметической прогрессии (a
n
= a
1
+
+ d(n – 1)),
2) следствия из формулы (прямое и обратное утверждения,
связанные с формулой а
п
= kn + b). Прямое утверждение: любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида
a
n
= kn + b, где k и b — некоторые числа. Обратное утверждение:
последовательность (a
n
), заданная формулой вида a
n
= kn + b, где
k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.
Эти следствия позволяют показать, что любая арифметическая прогрессия есть линейная функция, заданная на множестве нату
ральных чисел. И наоборот, что любую линейную функцию,
заданную на множестве натуральных чисел, можно рассматри
вать как арифметическую прогрессию. Формула пго члена выво
дится индуктивно, н а о с н о в а н и и о б о б щ е н и я вида
Часть V. Урок математики
III. Составить поурочное планирование, выделив цели каждо
го урока, отводимого на изучение пункта. Удобно поурочное планирование представить в виде таблицы:
№
Цели урока
Распределение материала
Контроль в классе на дом