Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
204
— Какое условие можно выбрать за основание для составле
ния уравнения? (Учащиеся перечисляют разные варианты). Какое условие выберем? (Крупы в двух случаях одинаковое количество.)
— Что делаем дальше? (Одну из величин обозначаем за х.)
— Какую величину можно обозначить за х? (Учащиеся пе
речисляют разные варианты). Какую величину выберем? (Коли
чество пакетов.)
— Что делаем дальше? (Выражаем остальные величины через х.)
— Какие величины нужно выразить через х? (Количество пакетов для первого способа, количество пакетов для второго способа и количество крупы в каждом случае.)
х — количество пакетов
В одном пакете
Количество пакетов
Всего, кг
I способ
2 кг
II способ
3 кг
— Что известно о количестве пакетов в первом способе? (Их требуется на 10 больше, чем есть, поэтому можно записать, что их
х + 10.)
— Можно ли выразить все оставшиеся величины? (Ученики заполняют таблицу, а в случае затруднения идет диалог по тем же вопросам: «Что известно...?», «Можем ли выразить...?»)
В одном пакете
Количество пакетов
Всего, кг
I способ
2 кг
х + 10
II способ
3 кг
В одном пакете
Количество пакетов
Всего, кг
I способ
2 кг
х + 10 2·(х + 10)
II способ
3 кг
х — 20 3·(х — 20)
— Что делаем дальше? (Составляем уравнение.)
— Какое условие выбрали для составления уравнения? (Крупы одинаковое количество.)
Составьте уравнение и решите его.

205
2·(х + 10) = 3·(х – 20),
2х + 20 = 3х – 60,
х = 80.
— Что мы нашли, и что требовалось определить по условию задачи? (Мы нашли, что пактов было 80, а еще требуется узнать,
сколько было крупы.)
— Как ответить на этот вопрос? (Ученики используют выраже
ния из таблицы: 2·(х + 10)или 3·(х – 20). Записывают ответ задачи.)
— Можно ли решить задачу иначе? (Выслушиваются предло
жения учеников.)
Рассмотрим ситуацию, когда задача предложена
для самостоятельного решения
Вариант 1. В классе читается условие задачи, и по следующим вопросам ученики самостоятельно работают:
• О чем идет речь в задаче?
• Что происходит по условию задачи?
• Сколько частей можно выделить в задаче?
• Можно ли описать происходящее в задаче, используя слова
«в 1 пакет», «количество пакетов», «всего килограмм»?
• Как можно представить условие задачи?
• Какое условие можно выбрать за основание для составле
ния уравнения?
• Какую величину можно обозначить за х?
• Какие величины нужно выразить через х?
• Какое получится уравнение?
• Как ответить на вопросы задачи?
После самостоятельной работы можно обсудить возникшие проблемы по указанным вопросам как по шагам решения.
Завершая работу над задачей, важно задать вопрос: «Что по
лезного учтем на будущее?». Ответы могут быть такими:
• удобно пользоваться таблицей;
• важно подумать обо всех величинах задачи, чтобы не про
пустить, например, слово «одинаково»;
• надо быть внимательным со словами «не хватает», «останется».
Вариант 2. Ученики решают задачу дома. А затем на уроке выбираются ученики, справившиеся с задачей. Весь класс разби
вается на микрогруппы, в которых эти ученики выполняют роль учителя.
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
206 4. Трудности могут возникнуть на этапе анализа условия задачи,
поэтому в диалог включен вопрос: «Можно ли происходящее в задаче описать с помощью слов...», что к тому же дает возможность использовать таблицу. Как показывает практика, решение тексто
вых задач с помощью таблицы помогает ученикам, так как по ней видно, какие величины требуется выразить через х. При возник
новении проблем с переводом «не хватает 10 пакетов — требуется
х + 10пакетов» можно подключить предметный опыт со словами:
«Есть столькото, требуется еще столькото, т. е. не хватает столько
то, как узнать, сколько всего?» Выбор основания для составления уравнения будет облегчен, если при анализе условия задачи выде
лить слово «одинаково», что делается с помощью вопроса: «Что известно о крупе при двух способах перекладывания?»
Для обучения контролю можно предложить задание «Найди ошибку», а ошибки выписать предварительно из работ учеников,
не называя, конечно, их фамилий.
Приложение 12
Методика работы с планиметрической задачей
на доказательство
Задача.
В треугольниках АВС и А
1
В
1
С
1
углы А и А
1
— прямые,
ВD и В
1
D
1
— биссектрисы. Докажите, что треугольники равны,
если угол В равен углу В
1
и ВD = В
1
D
1
I этап. Анализ условия задачи построение чертежа
Деятельность учителя
Деятельность ученика
1. Какого типа эта задача?
Геометрическая задача на доказа
тельство.
2. Какие фигуры участвуют в задаче?
Треугольники АВС и А
1
В
1
С
1 3. Что известно об этих треугольни
ках?
Треугольники прямоугольные,
∠В =
=
∠В
1
. В этих треугольниках из вер
шин В и В
1
проведены биссектрисы и эти биссектрисы равны.
4. Сделайте чертеж и нанесите дан
ные.
A
B
C
D
1 3
A
1
B
1
C
1
D
1 2
4

207
Окончание табл.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
5. Что требуется доказать?
ΔАВС = ΔА
1
В
1
С
1 6. Запишите кратко условие и тре
бование задачи.
Дано:
ΔАВС, ΔА
1
В
1
С
1
,
∠А = ∠А
1
= 90°,
∠В = ∠В
1
ВD = В
1
D
1
,
∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4.
Доказать:
ΔАВС = ΔА
1
В
1
С
1
II этап. Поиск путей доказательства
Деятельность учителя
Деятельность ученика
1. В задаче требуется доказать, что
ΔАВС = ΔА
1
В
1
С
1
. Чем мы пользуем
ся для доказательства того, что тре
угольники равны?
Признаками равенства треугольни
ков.
2. Что нужно найти в этих треуголь
никах, чтобы доказать их равенство?
Нужно найти равные элементы.
3. Сколько пар равных элементов нам необходимо найти в этих тре
угольниках? Почему?
Необходимо найти две пары, так как
ΔАВС и ΔА
1
В
1
С
1
по условию пря
моугольные.
4. Какие равные элементы мы име
ем по условию задачи?
Дано, что
∠В = ∠В
1 5. Каких равных элементов нам не хватает, что бы применить один из признаков?
Нам не хватает или равенства гипо
тенуз, или равенства катетов.
6. Попробуем доказать равенство ка
тетов АВ и А
1
В
1
. Как мы доказываем равенство отрезков?
Равенство отрезков мы доказываем через равенство треугольников.
7. Чтобы доказать равенство кате
тов АВ и А
1
В
1
, какие треугольники следует рассмотреть?
Нужно рассмотреть
ΔАВD и ΔА
1
В
1
D
1 8. Определите вид треугольников.
Они прямоугольные, так как
∠А =
= ∠А
1
= 90°.
9. Сколько пар равных элементов нам следует найти в этих треуголь
никах?
Две пары.
10. Что известно об этих треуголь
никах по условию?
ВD = В
1
D
1
,
∠1 = ∠2 (как половина равных углов).
11. Итак, какой вывод можно сделать о треугольниках
ΔАВD и ΔА
1
В
1
D
1
?
ΔАВD = ΔА
1
В
1
D
1
по катету и остро
му углу.
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
208
Осуществляя поиск решения задачи, полезно строить граф
схему поиска:
?
ΔABC = ΔA
1
B
1
C
1
— прямоугольные
∠B = ∠B
1
AB и A
1
B
1
?
ΔABD = ΔA
1
B
1
D
1
— прямоугольные
BD = B
1
D
1
∠1 = ∠2
III этап. Оформление решения
1. Рассмотрим треугольники АВD и А
1
В
1
D
1
— прямоугольные.
BD = B
1
D
1
(по условию)
ΔABD = ΔA
1
B
1
D
1
(половины равных углов)
⇒ ΔABD = ΔA
1
B
1
D
1
(по катету и острому углу), значит, АВ = А
1
В
1
(по определению равных треугольников).
16. Итак, наметим план решения задачи:
1) Рассмотрим
ΔАВD и ΔА
1
В
1
D
1
и докажем их равенство.
Сделаем вывод о равенстве сторон
АВ и А
1
В
1 2) Рассмотрим
ΔАВC и ΔА
1
В
1
C
1
и установим их равенство.
12. Зачем мы рассматривали
ΔАВD
и
ΔА
1
В
1
D
1
?
Чтобы доказать равенство отрезков
АВ и А
1
В
1 13. Значит, какой вывод можно сде
лать из равенства треугольников?
АВ = А
1
В
1
Окончание табл.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
14. Зачем мы рассматривали равен
ство отрезков АВ и А
1
В
1
?
Чтобы доказать равенство
ΔАВС
и
ΔА
1
В
1
С
1 15. Итак, какой вывод можно сде
лать о
ΔАВС и ΔА
1
В
1
С
1
?
ΔАВС = ΔА
1
В
1
С
1
по катету и острому углу.
⇒
⎧
⎨
⎩

209 2. Рассмотрим треугольники АВС и А
1
В
1
С
1
— прямоугольные.
AB = A
1
B
1
(по доказанному)
∠B = ∠B
1
(по условию)
⇒ ΔABC = ΔA
1
B
1
C
1
(по катету и острому углу).
IV этап. Исследование задачи
Посмотрим, нельзя ли решить задачу иным способом. В реше
нии мы доказываем равенство катетов АВ и А
1
В
1
данных треуголь
ников. Можно ли было доказать равенство гипотенуз ВС и В
1
С
1
?
⇒
⎧
⎨
⎩
Деятельность учителя
Деятельность ученика
1. Как мы доказываем равенство от
резков?
Через равенство треугольников.
2. Чтобы доказать равенство отрез
ков ВС и В
1
С
1
, какие треугольники следует рассмотреть?
ΔBDC и ΔВ
1
D
1
C
1 3. Сколько пар равных элементов нам следует найти в этих треугольниках?
Нужно найти три пары, так как это произвольные треугольники.
4. Сколько пар равных треугольни
ков мы знаем по условию?
Две. Это ВD = В
1
D
1
∠3 = ∠4.
5. Равенство какой пары элементов нам нужно установить?
∠D и ∠D
1 6. Что известно об этих углах?
∠D — внешний для ΔАВD,
∠D = ∠A + ∠1,
∠D
1
— внешний для
ΔАВD
1
,
∠D
1
=
∠A + ∠2,
следовательно,
∠D = ∠D
1 7. Итак, сделайте вывод о
ΔВDС
и
ΔВ
1
D
1
С
1
ΔВDС = ΔВ
1
D
1
С
1
(по стороне и двум прилежащим к ней углам).
8. Сделайте вывод о сторонах ВС
и В
1
C
1
этих треугольников?
ВС = В
1
C
1
по определению равенст
ва треугольников.
9. Итак, какой вывод можно сде
лать о
ΔАВС и ΔА
1
В
1
С
1
?
ΔАВС = ΔА
1
В
1
С
1
(по гипотенузе и ост
рому углу).
10. Можно ли было иначе доказать равенство углов D и D
1
?
Да, если применить теорему о сум
ме углов треугольника.
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A
1
+
∠B
1
+
∠C
1
= 180° ⇒
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
∠C = ∠C
1
∠D + ∠3 + ∠C = 180°
∠D + ∠4 + ∠C = 180°
⇒ ∠D = ∠D
1
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
210
На будущее полезно запомнить то, что сформулированный в задаче факт можно считать еще одним признаком равенства прямоугольных треугольников. Список признаков может быть продолжен, если провести дополнительное исследование, свя
занное с выбором двух элементов прямоугольного треугольника,
среди которых есть линейный элемент, по которым можно утвер
ждать равенство прямоугольных треугольников.
Приложение 13
Методика работы с задачей на построение
Задача. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
I этап. Анализ задачи
— С чего начинается работа над задачей на построение?
— С анализа задачи.
— С чего начинается анализ задачи?
— Предполагаем задачу решенной, делаем чертеж и наносим
данные на чертеж (рис. 1):
— Каким методом будем решать задачу? (Этот вопрос задает
ся, если к моменту предъявления задачи их было несколько.
В противном случае задается вопрос: «Есть ли треугольник, кото
рый можно построить?»)
— Методом вспомогательного треугольника, так как из рисунка
видно, что треугольник ADВ можно построить по двум сторонам
и углу между ними.
A
B
C
D
b
α
α/2
α/2
α
A
B
C
D
b
α
α/2
α/2
α
Рис. 2
Рис. 1

211
— Выделите вспомогательный треугольник (рис. 2). Если по
строим вспомогательный треугольник ADВ, то какие вершины искомого треугольника будут определены, а какие останется по
строить?
— Будут определены вершины А и В, останется построить
вершину С.
— Итак, какую точку выберем за искомую?
— Точку С.
— Что делают дальше при анализе задачи?
— Выбирают два условия, которым должна удовлетворять иско
мая точка.
— Назовите условия, которым удовлетворяет искомая точка С?
— 1) Точка С лежит на луче ВD,
2)
∠ВАС = α.
— Какой вывод нужно сделать из выделенных условий?
— Нужно определить фигуры, на которых лежит искомая точка С.
— Назовите эти фигуры.
— Из первого условия – это луч ВD, а из второго – луч АК,
такой, что
∠КАВ = α.
— Итак, назовите план построения.
— 1) построим
ΔADВ; 2) построим луч АК; 3) построим точку С.
Оформление анализа задачи на доске.
ΔADВ — вспомогательный, С — ?
1) С
∈ ВD,
2)
∠ВАС = α → С ∈ АК,
С — точка пересечения луча ВD
и луча АК
(С = ВD
∩ АК).
A
B
C
D
b
α
α/2
α/2
α
K
b
II этап. Построение
Дано:
Построение:
1.
ΔADB: AB = b,
∠DAB =
2
α
, AD = b
α
;
2. AK:
∠KAB = α;
3. C; C = BD
∩ AK.
b
b
α
α
A
B
C
D
K
Часть IV. Методика работы с математическими заданиями

Приложения
212
III этап. Доказательство
(можно проводить устно)
АВ = b (по построению 1);
AD — биссектриса (по построениям 1 и 2);
АD = b
α
(по построению 1);
∠ВАС = α (по построениям 2 и 3).
Значит,
ΔАВС — искомый
IV этап. Исследование
Исследование проводим, анализируя каждый шаг построения:
1) Вспомогательный треугольник строится по двум сторонам и углу между ними, значит, его всегда можно построить при усло
вии, что данный угол меньше 180°; если пренебречь положением треугольника на плоскости, то такой треугольник единственный.
2) От данной стороны в заданной полуплоскости можно отло
жить единственный угол, равный данному.
3) Два луча АК и ВD могут пересечься, если они не являются параллельными и не расходятся.
Рассмотрим первый случай (АК || ВD).
Если АК || ВD, то угол ADB =
2
α
, значит,
ΔADВ — равнобедрен
ный. Найдем связь между b, b
а
и
α в этом случае. Для этого выразим b
α
через b и
α. Проведем в треугольнике АDВ высоту ВО.
Тогда AO = bcos
2
α
, AD = 2bcos
2
α
. Значит, если b
α
= 2bcos
2
α
,
задача решения не имеет.
A
B
D
K
O
b
α/2

213
Рассмотрим второй случай (АК и ВD — расходятся).
A
B
D
K
M
b
b
α
α/2
Проведем ВМ параллельно АК, тогда AM = 2bcos
2
α
. Значит,
если b
α
> 2bcos
2
α
, то задача решения не имеет.
Итак, задача имеет:
— единственное решение, если b
α
< 2bcos
2
α
;
— не имеет решения, если b
α
≥ 2bcos
2
α
Приложение 14
Схематический граф поиска решения задачи
Задача. Определить площадь равнобедренной трапеции, у ко
торой основания равны 10 см и 26 см, а диагонали перпендику
лярны к боковым сторонам.
Дано: ABCD — трапеция,
AB = CD, AC
⊥CD, BD⊥AB,
BC = 10 см, AD = 26 см.
Найти: S
тр.
A
B
C
D
E
O
10 26