Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
224
записи первых шести членов некоторой арифметической про
грессии. И д е я д о к а з а т е л ь с т в а прямого утверждения о задании арифметической прогрессии формулой вида a
n
= kn + b
заключается в преобразовании формулы nго члена арифметичес
кой прогрессии a
n
= a
1
+ d(n – 1) к виду a
n
= dn + (a
1
– d). Д л я д о
к а з а т е л ь с т в а обратного утверждения находят разность
(n + 1)го и nго членов последовательности (a
n
) и показывают,
что эта разность является постоянным числом, значит, a
n+1
= a
n
+ k,
отсюда делается вывод, что последовательность (an) является арифметической прогрессией с разностью d.
3. В объяснительном тексте пункта рассмотрено три задания,
которые решаются по определению или по формуле nго члена арифметической прогрессии.
а) Примеры нахождения нескольких членов арифметической прогрессии (a
n
), если известны a
1
и d, которые позволяют усвоить определение арифметической прогрессии и рассмотреть ее случаи,
когда a
1
и d являются натуральными, целыми отрицательными числами; рассмотрен случай, когда d = 0.
б) Задача на вычисление nго члена арифметической прогрес
сии (а
n
), если известны а
1
и d этой прогрессии, которая демонст
рирует вычисления по формуле nго члена.
в) Задание на определение того, является ли данное число прогрессии (x
n
), для которой указаны несколько первых членов.
Алгоритма выполнения задания в пункте не дается, но последо
вательность действий можно выделить.
II. Проведем анализ задачного материала пункта.
Все задачи пункта условно можно разделить на 5 групп, каж
дая из которых отрабатывает определенные умения.
1 я группа. Нахождение nго члена арифметической прогрессии:
по формуле nго члена про
грессии, если прогрессия задана перечислением сво
их членов (№ 347, 348)
по определе
нию, если из
вестны
а
1
и d (№ 343)
по формуле nго члена прогрес
сии, если извест
ны а
1
и d (№ 344,
345, 346)
В этих задачах рассматриваются всевозможные значения а
1
и d, первый член как положительный, так и отрицательный
(№ 345 (а, б), № 348 (а)); разность прогрессии тоже может быть как отрицательной (№ 345 (б), 346 (б)), так и положительной. Такой подбор первых членов арифметической прогрессии и разности

225
позволяет отработать понятия убывающей и возрастающей ариф
метической прогрессии.
2я группа (обратная к 1й группе).
Нахождение первого члена арифметической прогрессии (или разности), если известны:
nй член и d
(№ 352, 354 (а))
nй член и а
1
(№ 353, 354)
два любых члена прогрес
сии (№ 357, 358)
В этих упражнениях решение сводится к составлению уравне
ния или системы двух уравнений с двумя неизвестными.
3я группа (обратная к 1й группе).
Нахождение номера члена арифметической прогрессии с целью:
указания номеров положи
тельных или отрицательных членов прогрессии (№ 361,
362)
определения того, является ли за
данное число членом данной ариф
метической прогрессии или нет
(№ 359, 360), причем прогрессия может быть задана первыми двумя членами или а
1
и d
4я группа. Составление прогрессии:
по заданному набору чисел
(№ 355, 356)
по сюжетной задаче (№ 349,
350, 351)
Задачи № 355, 356 даны с целью отработки умения нахожде
ния нескольких членов арифметической прогрессии, стоящих между первым и nм членом прогрессии, т. е. умения по задан
ным а
1
и а
n
находить d, используя формулу a
n
= a
1
+ d(n – 1),
а затем по определению записывать несколько членов арифме
тической прогрессии.
В сюжетных задачах нужно определить, что рассматриваемый процесс (физический № 349, 350 или геометрический № 351)
можно задать арифметической прогрессией; определить ее пер
вый член и разность, а затем nй член прогрессии и дать ответ на поставленный вопрос задачи. Эти задания позволяют показать использование арифметической прогрессии в практической жизни.
Часть V. Урок математики

Приложения
226
5я группа. Использование признака арифметической про
грессии: последовательность вида x
n
= kn + b является арифме
тической прогрессией (№ 363, 364).
В упражнении № 363 нужно по виду формулы общего члена последовательности (а
n
) установить, является ли последователь
ность арифметической прогрессией или нет, т. е. отрабатывается умение сравнить данную формулу с формулой a
n
= kn + b,
определения значений k и b.
Задача 364 на доказательство, для решения которой необходи
мо знать формулы суммы внутренних углов треугольника, четы
рехугольника, nугольника, составить последовательность этих сумм, сравнить формулу общего члена полученной последова
тельности с формулой x
n
= kn + b, т. е. определить k и b,
и сделать вывод о том, является ли данная последовательность арифметической прогрессией.
III. Поурочное планирование (3 ч).
№
Цели урока
Распределение материала
Контроль в классе на дом
1.
Ввести понятие арифме
тической прогрессии,
научиться находить по оп
ределению члены прогрес
сии, если прогрессия зада
на первым членом и разно
стью или перечислением ее первых членов,
вывести формулу пго члена,
научиться находить по этой формуле члены прогрессии,
если прогрессия задана первым членом и разно
стью или перечислением ее первых членов
1. Приме
ры на «да»
и «нет»
2. № 343 3. Дано: ар.
пр.: –1, 1,
3, 5, ...
Найти: а
5
, а
6 4. № 344 5. № 345 1.Выучить определе
ние и фор
мулу пго члена.
2. Привес
ти приме
ры ар. пр.
3. № 346,
№ 348 1.Опрос в парах и об
мен при
м е р а м и ,
где «авто
ры» обос
новывают свой вы
бор
2. № 347,
аналогич
ный до
машнему
2.
Проверить усвоение опре
деления и формулы,
научиться составлять и ре
шать задачи, обратные рас
смотренным на 1м уроке,
научиться работать с ариф
метической прогрессией,
заданной двумя своими членами
№ 347, ана
логичный домашне
му,
№ 352,
№ 353,
№ 357,
№ 359
№ 354,
№ 358,
№ 360
Самостоя
тельная ра
бота по обязатель
ным ре
зультатам

227
Анализ пункта 59 «Трапеция» [90]
I. Проведем анализ объяснительного материала.
1. В рассматриваемом пункте вводится пять новых понятий:
трапеция, основания трапеции, боковые стороны трапеции, равно
бокая трапеция, средняя линия трапеции. Основными понятиями темы являются понятия трапеции, равнобокой трапеции, сред
ней линии трапеции.
Основные понятия вводятся на уровне определений, которые относятся к одному виду: через ближайший род и видовые отличия.
Все понятия в пункте вводятся дедуктивно. Такой подход к ведению понятий «основания трапеции», «боковые стороны трапеций», «равнобокая трапеция» является рациональным. Од
нако, определения трапеции и ее средней линии желательно вводить конкретноиндуктивным методом.
2. Главным математическим утверждением является теорема о свойстве средней линии трапеции, которая сформулирована в категоричной форме: средняя линия трапеции параллельна осно
ваниям и равна их полусумме.
Теорема сложная, так как в ней два заключения. И д е я д о к а
з а т е л ь с т в а заключается в следующем:
— в дополнительном построении треугольника, для которого средняя линия совпадает со средней линией трапеции,
— в применении свойств средней линии треугольника.
Окончание табл.
3.
Проверить обязательные результаты обучения,
рассмотреть составление арифметической прогрес
сии: а) по заданному набо
ру чисел, б) по сюжетной задаче,
научиться проверять, явля
ется ли последователь
ность, заданная формулой
пго члена, арифметичес
кой прогрессией
№ 355,
№ 349,
№ 363
№ 356,
№ 350,
№ 362
Самостоя
т е л ь н а я работа по обратным задачам,
№ 361,
аналогич
ный до
машнему
№
Цели урока
Распределение материала
Контроль в классе на дом
Часть V. Урок математики

Приложения
228 3. В объяснительном тексте пункта рассматривается решение
задачи о свойстве углов при основании равнобокой трапеции.
Эта задача включена в объяснительный материал, так как отно
сится к познавательным задачам рассматриваемой темы: содер
жит новый математический факт. Кроме того, задача открывает способ решения других задач: при работе с трапецией может помочь стандартное дополнительное построение, когда через вершину тупого угла трапеции проводится прямая, параллельная боковой стороне.
4. В пункте приведены три рисунка. Первый рисунок иллюст
рирует понятие трапеции; второй – служит чертежом для доказа
тельства теоремы для средней линии трапеции; третий – являет
ся чертежом для доказательства свойств углов при основании равнобокой трапеции.
II. Проведем анализ задачного материала пункта.
Из 74 задач параграфа «Четырехугольники» к пункту «Трапе
ция» относится 14 задач (№ 59—72). Разобьем их на группы по
заключению:
Задачи № 61, 63, 65 соответствуют обязательным результатам
обучения. Задача № 60 является познавательной задачей, так как в ней обнаруживается новый математический факт.
Задачи
На вычисление
№ 59, 61, 62, 63, 64,
65, 66, 67, 68, 69, 70
На доказательство
№ 60
На построение
№ 71, 72
На вычисление в произвольной трапе
ции длины отрезка,
параллельного осно
ваниям (№ 59), ос
нований (№ 67, 69)
На вычисление уг
лов (№ 61, 64), ос
нований (№ 62, 63),
средней линии (№ 70)
равнобокой трапе
ции
На вычисление рас
стояния от середины отрезка до прямой
(№ 65, 66, 68)

229
Опишем основы решения задач темы «Трапеция», которые позволяют выделить группы по способам решения.
Шесть задач на вычисление (№ 62, 63, 65, 66, 68, 70) решаются геометрическим методом, а пять (№ 59, 61, 64, 67, 69) — алгеб
раическим.
В задачах № 59, 60, 71, 72 удобно использовать стандартное
дополнительное построение, когда через вершину трапеции про
водится прямая, параллельная боковой стороне или диагонали.
В задаче № 66 через один конец данного отрезка строится пря
мая, параллельная данной прямой, что приводит к образованию треугольника, для которого можно вычислить среднюю линию.
В задачах № 62, 63, 70 удобно использовать стандартное дополни
тельное построение, когда через вершины одного основания трапе
ции проводятся прямые, перпендикулярные другому основанию.
В задачах № 62, 63, 70 решение включает в себя использование большого списка теоретических положений (свойство углов
Разобьем задачи на группы по дидактическому назначению:
Способа решения (из задачи № 60)
Для закрепления математического факта
Для обнаруже
ния нового матема
тического факта
Для открытия способа решения других задач
Понятие «Трапеция»
№ 59
№ 60
№ 60
№ 62
Понятие «Равнобокая трапеция»
№ 62
Понятие «Средняя линия трапеции»
№ 59,
№ 65
Утверждения «Средняя линия трапе
ции параллельна основаниям»
№ 59
Утверждения «Средняя линия равна полусумме оснований»
№ 59,
65, 67,
68, 69,
70
Математический факт (из задачи
№ 60): «Углы при основании равно
бокой трапеции равны»
№ 61,
64
№ 71,
72
Часть V. Урок математики

Приложения
230
равнобокой трапеции, параллельность двух прямых, перпенди
кулярных третьей, определение и свойства прямоугольника, при
знаки равенства треугольников), поэтому перед решением этих задач рассмотреть опорную задачу, на результат которой в даль
нейшем можно ссылаться. Сформулируем эту опорную задачу:
«Доказать, что перпендикуляры, опущенные из вершин меньшего основания равнобокой трапеции на другое основание, отсекают он нее равные треугольники, причем проекция боковой стороны на большее основание равна (а – b): 2, где а — большее основание трапеции, b — меньшее». Кроме того, задача № 70 обобщает
данные задачи № 63 и расширяет ее заключение, в результате чего можно сделать вывод, что зная отрезки, на которые высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины тупого угла,
делит большее основание, можно найти меньшее основание тра
пеции и ее среднюю линию.
В задачах № 65, 68 предварительно надо доказать, что образо
вавшаяся фигура является трапецией с использованием признака параллельности двух прямых, перпендикулярных третьей, и что прямая, проходящая через середину одной боковой стороны тра
пеции параллельно основаниям, проходит через середину другой боковой стороны, т. е. содержит среднюю линию трапеции.
В задаче № 68 используется определение касательной и прием
замены одного отрезка другим, равным ему (один диаметр заменя
ется другим диаметром той же окружности).
Задачи № 65, 66, 68 имеют единую конструкцию: через концы отрезка и его середину проведены параллельные прямые до пере
сечения с третьей прямой, поэтому могут быть объединены в одну группу.
III. Поурочное планирование.
№
Цели урока
Распределение материала
Контроль в классе на дом
1.
Ввести определение трапе
ции, элементы трапеции
(основания, боковые сторо
ны), определение равнобо
кой трапеции;
изучить свойства равнобо
кой трапеции об углах при основании, о диагоналях, о треугольниках, отсекаемых высотами трапеции.
1. При
мера на
«да»,
«нет»
2. № 60
и уст
ный счет
3. № 64,
62 1. Выучить определе
ния новых п о н я т и й ;
знать свой
ства равно
бокой тра
пеции
2. № 61, 63 1. Опрос в парах по тео
ретическому материалу
2. В равнобо
кой трапе
ции с основа
ниями а и b
(a > b) найти п р о е к ц и ю

231
Приложение 17
Методические требования к конспекту урока по математике
1. В конспекте указана

Приложения
232
когда это правило надо применять вместе с правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–»).
3. В конспекте четко выделены этапы урока, причем на каж
дый этап сделан переход с предыдущего, перед учениками постав
лена ясная цель очередного этапа, этап мотивирован, в конце каждого этапа подведен его итог.
4. Если составляется конспект изучения нового, то:
• выделенные этапы соответствуют основным методикам (ме
тодике изучения понятий, методике формирования умений,
методике изучения теорем);
• все основные моменты урока озвучены (это касается и объ
яснения учителя, и ожидаемых ответов учеников), что по
могает учителю оттачивать объяснение и добиваться четкой грамотной речи от учеников;
• если объяснение нового материала строится на выполнении некоторого задания, то в конспекте указаны вопросы учени
кам, стимулирующие их на постановку и решение проблем задания, на формулировку выводов по рассмотренному за
данию. Выводы желательно повторять на уроке неодно
кратно.
5. В конспекте урока:
• решены все запланированные задания с указанием (на полях или подчеркиванием) особенностей заданий, что помогает предвидеть возможные ошибки и трудности у учащихся;
• предусмотрены различные способы решений;
• в конспекте описана организация работы с заданием (жела
тельно продумать различные формы работы);
• даны образцы оформления основных заданий;
• предусмотрен контроль и указаны его формы.
6. В конспекте описаны используемые средства (содержание карточек, кадры для кодоскопа, вид таблицы или ее название,
модели и другое оборудование).
7. В конспекте отражен вид доски и указано, что на ней подготовлено заранее (что позволит сэкономить время на уроке),
что и где заполняется по ходу урока (в таком случае не нарушится целостность восприятия). В конспекте выделено, что записыва
ется в тетрадях учениками (это приучает обращать внимание учителя на ведение тетрадей и приучает учеников работе с нею).
8. В конце конспекта перечислены итоговые вопросы, согласо
ванные с поставленными целями урока, даны ответы на эти вопросы, по домашнему заданию дан комментарий, что возмож
но только после решения всего домашнего задания.