Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

233
Приложение 18
Технология составления конспекта урока
1. Выполнить анализ пункта; выяснить количество часов, от
водимых на его изучение; разбить материал пункта на это ко
личество часов; сформулировать цели урока.
2. Составить примерный план урока:
• выделить последовательность этапов;
• проверить соответствие этапов базовым методикам (мето
дика формирования понятий, методика формирования уме
ний, методика изучения теорем, методика обучения учащих
ся решению задач);
• подобрать упражнения на каждый этап;
• уточнить подготовительный этап с целью обеспечения успе
ха учеников при изучении нового, при выполнении упраж
нений урока;
• продумать мотивацию каждого этапа урока;
• продумать организацию работы учащихся на уроке, необхо
димые средства обучения;
• составить итоговые вопросы урока.
3. Составить конспект урока в соответствии с методическими требованиями (Приложение 17).
Приложение 19
Конспекты первого урока по теме
«Наибольший общий делитель»
Конспект урока по теме «Наибольший общий делитель»
(по учебнику [78])
Цели:
1) ввести определение наибольшего общего делителя, опреде
ление взаимно простых чисел, показать запись: НОД (а, b);
2) познакомиться с двумя способами нахождения наибольше
го общего делителя: по определению и через разложение на простые множители.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Методы: объяснительноиллюстративный, репродуктивный,
частичнопоисковый при введении взаимно простых чисел.
Часть V. Урок математики

Приложения
234
План урока
1. Подготовка к изучению нового материала:
а) повторение понятия делителя данного числа;
б) разложение числа на простые множители;
в) нахождение делителя данного числа:
• через перебор всех чисел, меньших данного;
• через поиск делителей парами по правилу: если число а
является делителем числа b, то и частное от деления b на а
является делителем числа b;
• через разложение числа на простые множители.
2. Введение определения наибольшего общего делителя.
3. Усвоение определения через примеры на подведение под понятие.
4. Закрепление понятия НОД через его нахождение по опреде
лению.
5. Мотивация нахождения наибольшего общего делителя через разложение на простые множители.
6. Введение алгоритма нахождения наибольшего общего дели
теля через разложение.
7. Отработка шагов алгоритма: нахождение наибольшего об
щего делителя по готовым разложениям.
8. Закрепление алгоритма и подведение к понятию взаимно простых чисел.
9. Введение определения взаимно простых чисел.
10. Примеры взаимно простых чисел.
11. Подведение итогов урока.
12. Постановка домашнего задания.
Ход урока
Учитель
Ученики
Учитель сообщает учащимся: «На сегодняшнем уроке мы познакомимся с новым понятием “наи
больший общий делитель”; подумайте, с каким понятием оно связано».
Фронтальная беседа
с классом:
Посмотрите на рисунок
1. Подготовка к изучению нового материала
18

235
Продолжение табл.
Учитель
Ученики
— Связана ли эта «ромашка» с выделенным ва
ми понятием?
— Назовите делители числа 18 (учитель под дик
товку учеников заполняет ромашку: 18 и 1, 2 и 9,
3 и 6).
— Что называется делителем данного числа?
— Какие из чисел 4, 7, 9, 11, 14, 19, 12, 27
простые? Почему? (Ученики отвечают, а учитель вычеркивает названные.)
— Как называются оставшиеся числа?
— Есть ли натуральное число, которое не явля
ется ни простым, ни составным?
— Названные составные числа разложите на про
стые множители.
— Клоун записал разложение числа на простые множители: 120 = 2·3·4·5. Публика смеялась.
Почему?
Назовите правильное разложение.
Используя правильное разложение числа 120 на про
стые множители, назовите все делители числа 120.
— Как вы нашли все делители числа 120?
2. Введение определения наибольшего общего делителя
На доске сделана запись:
18:
24:
Да, этот рисунок свя
зан с делителями чис
ла 18, в новой теме есть слово «делитель».
Любое натуральное чис
ло, на которое делится данное натуральное число, называется дели
телем данного числа.
7, 11, 19 — простые чис
ла, так как они имеют только два делителя.
4, 9, 14, 12, 27 — со
ставные, так как они имеют более двух де
лителей.
Число 1.
4 = 2·2, 9 = 3·3,
14 = 2·7, 12 = 2·2·3,
27 = 3·3·3.
Число 4 не является простым.
120 = 2·3·2·2·5.
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 15,
20, 24, 30, 40, 60, 120.
Составили все возмож
ные комбинации про
изведений простых множителей, входящих в разложение числа 120.
Часть V. Урок математики

Приложения
236
Продолжение табл.
Учитель
Ученики
1. Назовите и запишите в тетрадь делители дан
ных чисел.
2. Подчеркните общие делители.
Итак, у разных чисел делители в общем случае разные, но встречаются и общие. В данном случае это: 1, 2, 3, 6.
Среди общих делителей можно выделить наи
больший. В данном примере назовите наиболь
ший общий делитель чисел 18 и 24.
Принято записывать: НОД (18, 24) = 6. Читает
ся: наибольший общий делитель чисел 18 и 24
равен 6.
Итак, запишите в тетради тему сегодняшнего урока: «Наибольший общий делитель».
Итак, в данном примере 6 – наибольший общий делитель чисел 18 и 24, т. е. 6 – это самое боль
шое натуральное число, на которое делится каж
дое из данных чисел.
Попробуйте дать определение новому понятию?
(Учитель подводит итог, выделяя голосом под
черкнутые слова, которые обычно опускают ученики). Внимание! Наибольшим общим дели
телем двух натуральных чисел называется самое большое натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел.
Повторите, пожалуйста, данное определение.
18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Почему число 3 можно назвать общим делите
лем чисел 18 и 24?
18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Потому что на 3 де
лится и число 18, и число 24.
Попробуйте дать определение общему делителю двух чисел?
Общим делителем двух данных чисел называ
ется такое число, на которое делится каж
дое их данных чисел.
6
(Ученики пытаются сформулировать.)
Ученики с места по
вторяют определение.
Возможен вариант хо
рового ответа.

237
3. Усвоение определения
Верно ли на доске сделаны записи:
1) НОД (15, 20) = 3;
2) НОД (30, 45) = 3;
3) НОД (4, 10) = 2;
4) НОД (23, 7) = 0,1;
5) НОД (12, 6) = 12.
Первая запись не вер
на, так как 3 не явля
ется делителем числа
20. Вторая запись не верна, так как 3 не яв
ляется наибольшим среди общих делите
лей чисел 30 и 45.
Третья запись верна,
так как 2 — общий де
литель чисел 10 и 4, и он является наибольшим.
Четвертая запись не верна, так как 0,1 не является натуральным числом.
Пятая запись не верна,
так как 12 не является делителем числа 6.
Продолжение табл.
Учитель
Ученики
Наименьшим общим делителем чисел явля
ется число 1, поэтому задача не может быть трудной.
Итак, чтобы проверить, является ли число наи
большим общим делителем надо установить:
1) является ли это число натуральным;
2) является ли это число общим делителем рас
сматриваемых чисел;
3) наибольшее ли оно из общих делителей.
Клоун сказал, что сейчас решит очень трудную задачу: найдет наименьший общий делитель чисел. Не успел он досказать условие, как пуб
лика засмеялась. Почему?
4. Закрепление понятия НОД через его нахождение по определению
Итак, вы знаете, что такое НОД; можете опре
делить, является ли данное число НОД или нет.
Попробуем ответить на вопрос: «Как найти НОД
двух данных чисел?» Вернитесь к примеру о чис
лах 18 и 24 и попробуйте сформулировать этапы нахождения НОД.
1) Найти все делители первого числа;
2) найти все делители второго числа;
3) найти общие дели
тели данных чисел;
4) выбрать наиболь
ший общий делитель.
Часть V. Урок математики

Приложения
238 2. Подчеркнем общие простые множители в по
лученных разложениях. Является ли число 2 об
щим делителем чисел?
Является ли произведение 2·3 общим делите
лем?
3. Как вы думаете, что надо сделать, чтобы получить НОД?
Получается: НОД (54, 90) = 2·3·3 = 18.
Итак, сформулируйте, пожалуйста, этапы на
хождения НОД.
Продолжение табл.
Учитель
Ученики
Откройте № 97. Прочитайте текст задания и сравните свой ответ.
Итак, подведем итог: как можно найти наиболь
ший общий делитель двух данных чисел?
Откройте № 99 (4): Найти общие делители и
наибольший общий делитель чисел 84 и 112. Будем его выполнять письменно.
5. Мотивация нахождения НОД через разложение на простые множители
Вы видите, находить НОД, перебирая числа подряд, долго. А мы знаем, что разложение чисел на простые множители помогает находить его делители. Может быть, разложение чисел на про
стые множители поможет и для нахождения НОД?
Найдем НОД (54, 90) = ?
1. Разложим данные числа на простые множители
54 2 90 2 27 3 45 3 9 3 15 3 3 3 5 5 1
1
(Ученики повторяют алгоритм)
84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 14,
21, 28, 42, 84.
112: 1, 2, 4, 7, 14, 16,
28, 56, 112.
1, 2, 4, 7, 14, 28 – об
щие делители.
НОД (84, 112) = 28
6. Введение алгоритма нахождения НОД через разложение
Да, так как на 2 делят
ся оба числа.
Да, так как в каждое раз
ложение входят множи
тели 2 и 3, значит, их про
изведение является дели
телем каждого из чисел.
Для этого следует пе
ремножить 2, 3 и 3.
(Выслушиваются отве
ты. Учитель может по
могать вопросами:
Что сделали с каждым числом?
Что подчеркивали дальше?
Что находили дальше?)

239
Продолжение табл.
Учитель
Ученики
Внимание, попробую сформулировать правило:
Для нахождения наибольшего общего делителя чисел необходимо:
1) разложить данные числа на простые множители;
2) найти (подчеркнуть) общие множители в по
лученных разложениях;
3) найти произведение общих простых множителей.
Откройте учебник на с. 18 и прочитайте правило нахождения наибольшего общего делителя чисел,
не ошиблась ли я? Повторите, пожалуйста, дан
ное правило.
7. Отработка отдельных шагов алгоритма
Проверим себя, насколько усвоен данный способ нахождения НОД. Устно выполните следующие упражнения (текст заранее записан на доске):
Задание 1. Назовите общие простые множители чисел по их разложениям:
а) 15 = 3·5, б) 36 = 2·2·3·3,
в) 54 = 2·3·3·3,
60 = 2·2·3·5; 78 = 2·3·13;
90 = 2·3·3·5.
Задание 2.Найдите: а) НОД (15, 60);
б) НОД (36, 78);
в) НОД (54, 90).
Ученики с места дают комментированное объяс
нение.
(Выслушиваются отве
ты; если есть ошибки,
то ученики исправля
ют друг друга.)
а) 3, 5
б) 2, 3
в) 2, 3, 3.
15 6
18
8. Закрепление алгоритма
Задание 3. № 100(3, 4):
Два человека вызываются к доске. Первый ре
шает пример с полным объяснением, т. е. назы
вает этапы алгоритма и их реализацию для дан
ного примера. Второй решает самостоятельно,
завершив решение, он садится на место, а дру
гой ученик объясняет по выполненному реше
нию порядок выполняемых операций. Все учащиеся выполняют данное задание у себя в тетрадях.
3)
4)
16 2 24 2 100 2 40 2 8 2 12 2 50 2 20 2 4 2 6 2 25 5 10 2 2 2 3 3 5 5 5 5 1 1 1 1
НОД (16, 24) = 2 · 2 · 2 · 2 = 8,
НОД (100, 40) = 2 · 2 · 5 = 20.
9. Введение определения взаимно обратных чисел
Задание 4. Найдите: НОД(6,7);
НОД(19,34);
НОД(24,25).
Какую закономерность вы подметили?
1 1
1
НОД этих чисел равен 1
Часть V. Урок математики

Приложения
240
Домашнее задание:
П. 1.5 (выучить определения и алгоритм);
№ 100 (5—9), 103, 135 (1—3)
(все задания на вычисления НОД).
Продолжение табл.
Учитель
Ученики
Натуральные числа (показывает: 6 и 7, 19 и 34,
24 и 25), НОД (показывает на запись НОД)
которых равен (указывается на знак «=») 1,
называются взаимно простыми числами.
Итак, 6 и 7, 19 и 34, 24 и 25 — взаимно простые числа. Обратите внимание на правописание.
Повторите, какие числа называются взаимно простыми.
10. Примеры взаимно простых чисел
Назовите числа, взаимно простые с числом: 6,
21, 40.
11. Подведение итогов
Итак, подведем итог урока.
— С каким новым понятием вы сегодня позна
комились? Что о НОД чисел узнали?
— Дайте определение НОД.
— Найдите НОД (16,24)
— Какими способами можно найти НОД? Как найти НОД по определению? Как найти НОД
через разложение?
— Как называются числа, наибольший общий делитель которых равен 1? Итак, какие числа называются взаимно простыми?
Приведите пример.
Известно, что НОД (7, ...) = 1. Найдите пропу
щенное число.
Известно, что НОД (а, b) = 14. Найдите несколь
ко возможных ситуаций для а и b.
(Пишут в тетрадях)
Ученики повторяют определение.
Ученики по очереди называют несколько примеров по каждому числу.
Определение НОД;
обозначение, алгорит
мы нахождения.
12. Постановка домашнего задания
Вид тетради учащегося:
120 = 2·2·2·3·5; делители 120: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 15, 20, 24, 30, 40,
60, 120.

241
Наибольший общий делитель.
18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
6 — наибольший общий делитель:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
НОД (18, 24) = 6.
№ 99(4)
84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 28, 42, 84; 1, 2, 4, 7, 14, 28 — общие
112: 1, 2, 4, 7, 14, 16, 28, 56, 112; делители; НОД (84, 112) = 28.
НОД (54, 90) = ?
54 2 90 2 27 3 45 3 9 3 15 3
НОД(54, 90) = 2·3·3=18.
3 3 5 5 1
1
№100 (3, 4).
3) 16 2 24 2 4) 100 2 40 2 8 2 12 2 50 2 20 2 4 2 6 2 25 5 10 2 2 2 3 3 5 5 5 5 1
1 1
1
НОД (16, 24) = 2·2·2 = 8. НОД (100, 40) = 2·2·5 = 20.
НОД (6, 7) = 1 6 и 7; 19 и 34; 24 и 25 —
НОД (19, 34) = 1
НОД (24, 25) = 1
взаимно простые числа
Вид доски
⎧
⎨
⎩
(Заранее)
1)
2) 4, 7, 9, 11, 14,
19, 12, 27 3) 120 =2 · 3 · 4 · 5 4) НОД (15, 20) = 3
НОД (30, 45) = 3
НОД (4, 10) = 2
НОД (23, 7) = 0,1
НОД (12, 6) = 12 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 24: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24 6 — наибольший общий делитель
НОД (18, 24) = 6
№ 99 (4)
84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 28, 42, 84.
112: 1, 2, 4, 7, 14, 16, 28, 56, 112.
НОД (84, 112) = 28.
НОД (54, 90) = ?
54 2 90 2 27 3 45 3 9 3 15 3 3 3 5 5 1
1
НОД (54, 90) = 2·3·3 = 18.
№100 (3, 4).
(Заранее)
Задание 1. Назови
те общие простые множители чисел:
а) 15 = 3·5 60 = 2·2·3·5
б) 36 = 2·2·3·3 78 = 2·3·13
в) 54 = 2·3·3·3 90 = 2·3·3·5
Задание 2. Найдите:
НОД (15, 60)
НОД (36, 78)
НОД (54, 90)
Задание 3.
№ 100 (3, 4)
Задание 4.
НОД (6, 7) =
НОД (19, 34) =
НОД (24, 25) =
НОД (16, 24); НОД (7, ...) = 1;
НОД (а, b) = 14.
Домашнее задание: п. 1.5 (определения,
правило); № 100 (5—9); 103; 135 (1—3).
18
Часть V. Урок математики

Приложения
242
Дополнение к конспекту, если класс работает
по учебнику Н.Я. Виленкина и др.
Основное отличие: введение определения наибольшего общего делителя осуществляется с использованием задачи, что предпо
лагает усиление умственной нагрузки учащихся.
Задача: Какое наибольшее число одинаковых подарков можно
составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка»,
если надо использовать все конфеты?
Задача может быть представлена по краткой записи:
Л — 48 к.
Какое наибольшее число
Ч — 36 к.
одинаковых подарков?
Возможен следующий диалог с учениками:
— О чем идет речь в задаче? (О конфетах «Ласточка» и «Чебу
рашка».)
— Что известно о конфетах? (48 конфет «Ласточка» и 36 конфет
«Чебурашка».)
— Что надо определить? (Какое наибольшее число одинако
вых подарков можно составить.)
— Разберемся со словами «одинаковые подарки». Можно ли составить два одинаковых подарка из данных конфет? (Да.) Как это сделать? (Нужно конфеты «Ласточка» и конфеты «Чебураш
ка» разделить поровну. Получится в каждом подарке 24 одних и 18 других конфет.)
— Почему удалось создать два одинаковых подарка? (Потому что и 48, и 36 делятся на 2.)
— Давайте выпишем, сколько одинаковых подарков можно создать только из конфет «Ласточка». (Ученики диктуют учителю и пишут в своих тетрадях 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.)
— Сколько одинаковых подарков можно создать только из конфет «Чебурашка»? (Ученики диктуют учителю и пишут в своих тетрадях 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18.)
— Можно ли теперь ответить на вопрос, сколько одинаковых подарков можно составить из двух сортов конфет? Ученики на
зывают, а учитель подчеркивает:
48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18.)
— Можно ли теперь ответить на вопрос задачи? (Да, наиболь
шее число одинаковых подарков равно 12.)
— Давайте теперь переведем на математический язык то, что сделали. Как называются числа, которые мы выписали для чисел
48 и 36? (Это делители чисел 48 и 36.)