Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
258
4. Подведение итогов:
• С какой теоремой мы сегодня познакомились? (С теоремой об извлечении корня из произведения.)
• Как формулируется эта теорема?
• Как формулируется правило извлечения квадратного корня из произведения?
• Когда пользуемся этим правилом? (Когда нужно извлечь корень из произведения; когда извлечь корень из числа,
которого нет в таблице квадратов.)
• Как поступаем, если число, стоящее под корнем, большое,
оканчивающееся нулями? (Выделяем множитель 100, 1000
и т. д.)
• Как поступаем, если число дробное? (Выделяем множитель
0,01; 0,0001 и т. д.)
5. Самостоятельная работа. (Из дидактических материалов
С18, № 1, 5.)
6. Задание на дом: теорема, № 359 (а, б); 361 (а, б); 371.
Приложение 22
Урок%лекция
Тема: Квадратный корень из произведения [2].
Цели:
• повторить определение арифметического квадратного корня;
• ввести и доказать формулу квадратного корня из произведе
ния и дроби;
• научиться применять формулы, если под корнем:
а) стоят два множителя;
б) стоят три множителя;
в) произведение задано не явно;
г) стоит дробь.
План:
1. Актуализация знаний.
2. Введение и усвоение теоремы об извлечении квадратного корня из произведения.
3. Закрепление формулы на примерах.
4. Введение и усвоение теоремы об извлечении квадратного корня из дроби.
5. Закрепление формулы на примерах.
6. Подведение итогов.
7. Задание на дом.

259
Ход лекции:
Мы продолжаем изучать большую те
му «Арифметический квадратный ко
рень». Сегодня на уроке познакомимся с двумя свойствами арифметического квадратного корня.
1. Актуализация знаний.
Вопросы для повторения:
• Как называется выражение
a
?
• Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а?
(Арифметическим квадратным кор
нем из числа а называется такое неотрицательное число, квадрат ко
торого равен а.)
• При каком значении а выражение
a
имеет смысл?
2. Введение и усвоение теоремы об извлечении квадратного корня
из произведения.
Рассмотрим арифметический корень
16 25
⋅
16 25
⋅
=
400
= 20.
Найдем значение выражения:
16
·
25 16
·
25
= 4·5 = 20.
Мы получили равные результаты (правые части), значит,
и левые части будут равны:
16 25
⋅
=
16
·
25
Итак, корень из произведения двух чисел равен произведению
корней из этих чисел.
Оказывается, это верно не только для чисел 16 и 25, а для любых двух неотрицательных чисел. Итак:
Теорема 1: Если а
≥ 0, b ≥ 0 , то
ab
=
a
·
b
(Корень из произведения неотрицательных множителей равен
произведению корней из этих множителей.)
Доказательство
1. В условии сказано, что а
≥ 0 и b ≥ 0, значит, выражения
ab
,
a
и
b
— имеют смысл.
Ознакомление учеников с целью урока, установление связей с изученным
Учитель делает запись:
a
≥ 0
a
(
a
)
2
= a
Часть V. Урок математики

Приложения
260 2. Посмотрим на равенство
ab
=
=
a
·
b
. В левой части стоит арифмети
ческий квадратный корень из числа аb.
Чтобы доказать равенство, мы должны показать, что значение выражения в правой части равно значению арифметического квадратного корня из числа аb.
Итак, распишем левую часть равенства:
ab
≥ 0
ab
(
ab
)
2
= аb
Таким образом, нам нужно доказать, что в правой части стоит число, удовлетворяющее этим двум условиям:
• это число должно быть неотрицательно;
• его квадрат дает число аb.
Распишем компоненты правой части:
a
≥ 0
b
≥ 0
a
b
(
a
)
2
= а
(
b
)
2
= b
Делаем выводы:
•
a
·
b
≥ 0, так как произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно.
• Найдем квадрат произведения двух чисел (
a
·
b
)
2
(
a
·
b
)
2
= (
a
)
2
·(
b
)
2
= аb.
Мы получили, что левая часть равна правой части:
ab
=
=
a
·
b
Учитель повторяет формулировку и основные этапы доказа
тельства:
• на первом этапе доказательства выясняли, что при данных условиях компоненты равенства имеют смысл;
• на втором этапе доказательства расписывали левую часть;
• на третьем этапе доказательства расписывали компоненты правой части равенства;
• на четвертом этапе доказательства делали выводы.
Учитель сообщает идею доказательства

261
На основе этой теоремы можно сфор
мулировать правило извлечения квад
ратного корня из произведения: чтобы
извлечь корень из произведения, нужно из
влечь корень из каждого множителя.
Итак, мы доказали теорему об извлечении квадратного корня из произведения двух множителей. Будет ли теорема верна, если произведение будет содержать три множителя? Нетрудно пред
положить, что ответ положителен. Докажем это утверждение:
(
)
abc
ab c
ab
c
a
b
c
=
=
⋅
=
⋅
⋅
3. Закрепление формулы на примерах.
Рассмотрим следующие примеры:
1.
25 81
⋅ =
2.
4 25 100
⋅ ⋅
=
3.
14400
=
4.
2 2
313 312
−
=
Все четыре примера связаны с доказанной теоремой, потому что в первых двух примерах дан корень из произведения, а в двух последних – подкоренное выражение можно представить в виде произведения:
1.
25 81 25 81 5 9 45.
⋅ =
⋅
= ⋅ =
2.
4 25 100 4
25 100 2 5 10 100.
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
= ⋅ ⋅ =
3.
14400
=
(Представим подкоренное выражение в виде про
изведения удобных множителей. Число оканчивается двумя ну
лями, значит, удобно выделить множитель 100. Получится) =
=
144 100 144 100 12 10 120.
⋅
=
⋅
= ⋅ =
4.
2 2
313 312
(313 312) (313 312)
1 625 25.
−
=
−
⋅
+
= ⋅
=
4. Введение и усвоение теоремы об извлечении квадратного корня
из дроби.
Мы узнали, как можно извлечь корень их произведения. Вто
рое свойство арифметического корня связано с извлечением квадратного корня из дроби.
Ученики повторяют правило и основные этапы доказательства
Часть V. Урок математики

Приложения
262
Теорема 2: Если а
≥ 0, b > 0, то
a
a
b
b
=
(Корень из дроби,
числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен
равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.)
Доказательство:
Воспользуемся той же схемой доказательства, что и при изучении первой теоремы.
1. В условии сказано, что а
≥ 0
и b >0, значит, выражения
a
,
b
,
a
b
— имеют смысл.
2. Распишем левую часть равенства:
a
b
≥ 0
a
b
(
a
b
)
2
=
a
b
Таким образом, нам нужно доказать, что в правой части стоит число, удовлетворяющее этим двум условиям:
• это число должно быть неотрицательно;
• его квадрат дает число
a
b
3. Распишем компоненты правой части:
a
≥ 0
b
> 0
a
b
(
a
)
2
= а
(
b
)
2
= b
4. Делаем выводы:
•
a
:
b
≥ 0, так как частное от деления неотрицательного числа на положительное неотрицательно.
Ученики могут привлекаться как к формулированию этапов доказательства,
так и к их реализации

263
• Найдем квадрат частного этих чисел
( )
( )
2 2
2 2
a
a
a
a
b
b
b
b
⎛
⎞ ⎛
⎞
⋅
=
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Мы получили, что левая часть равна правой части:
a
a
b
b
=
На основе этой теоремы можно сформулировать правило из
влечения квадратного корня из дроби: чтобы извлечь корень из
дроби, нужно извлечь корень сначала из числителя, а потом
из знаменателя.
5. Закрепление формулы на примерах.
Рассмотрим примеры:
1.
100 100 10 3
1 .
49 7
7 49
=
=
=
2.
4 49 49 7
1 5
2 .
9 9
3 3
9
=
=
= =
3.
4 14 49 289 49 289 7 17 119 14 5
11 7
9 25 9
25 9
25 3 5 15 15
⋅
=
⋅
=
⋅
= ⋅
=
=
4.
2 2
400 400 20
a
a
a
=
=
Вид доски: Свойства арифметического квадратного корня.
Теорема 2: Если а
≥ 0, b >0, то
a
a
b
b
=
Доказательство:
1. а
≥ 0 и b >0, значит,
a
b
,
a
и
b
—
имеют смысл.
Теорема1: Если а
≥ 0,
b
≥ 0, то
ab
=
a
·
b
Доказательство:
1. а
≥ 0 и b ≥ 0, значит,
ab
,
a
,
b
— имеют смысл.
Часть V. Урок математики

Приложения
264 2. Расписываем левую часть:
ab
≥ 0
ab
(
ab
)
2
= аb
3. Распишем компонен
ты правой части:
a
≥ 0
a
(
a
)
2
= а
b
≥ 0
b
(
b
)
2
= b
4. Делаем выводы:
а)
a
·
b
≥ 0, так как произведение двух не
отрицательных чисел неотрицательно.
б) (
a
·
b
)
2
=
= (
a
)
2
·(
b
)
2
= аb
ab
=
a
·
b
2. Расписываем левую часть равен
ства:
a
b
≥ 0
a
b
(
a
b
)
2
=
a
b
3. Распишем компоненты правой части:
a
≥ 0
a
(
a
)
2
= а
b
≥ 0
b
(
b
)
2
= b
4. Делаем выводы:
а)
a
:
b
≥ 0, так как частное неотрицательного числа на положи
тельное неотрицательно.
б)
( )
( )
2 2
2
a
a
a
b
b
b
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
a
a
b
b
=
Продолжение табл.

265
6. Подведение итогов.
• С какими свойствами арифметического корня мы сегодня познакомились? (Со свойствами извлечения корня из про
изведения и дроби.)
• Как формулируется первая теорема?
• Как формулируется правило извлечения квадратного корня из произведения?
• Когда пользуемся этим правилом? (Когда нужно извлечь корень из произведения; когда извлечь корень из числа,
которого нет в таблице квадратов, когда подкоренное выра
жение представлено в виде разности квадратов.)
• Как поступаем, если число, из которого надо извлечь ко
рень, большое, оканчивающееся нулями? (Выделяем мно
житель 100, 1000 и т. д.)
• Как поступите, если число, стоящее под корнем, будет десятичной дробью, например, 20, 25? (В этом случае нужно выделить множитель 0,01; 0,0001 и т. д.)
• Как формулируется вторая теорема?
• Как формулируется правило извлечения корня из дроби?
• Когда пользуемся этим правилом? (Когда подкоренное вы
ражение обыкновенная дробь или смешанное число.)
• Бывают ли случаи, когда пользуются двумя теоремами?
Приведите пример.
7. Задание на дом: теоремы, № 359; 361; 365; 371.
Приложение 23
Урок изучения нового материала, где ведущими методами
являются беседа (проблемная) и учащиеся проводят
исследование проблемы

Приложения
266 3. Доказательство теоремы об извлечении корня из произведения.
4. Применение доказанной теоремы и поиск новых гипотез.
5. Групповая работа по доказательству теорем об извлечении корня из дроби и корня из степени.
6. Подведение итогов.
7. Задание на дом.
Ход урока
1. Выполнение задания на нахождение стороны квадрата, если
задана его площадь, старыми способами.
Учащимся предлагается задание: Найдите сторону квадрата,
если его площадь равна:
• площади прямоугольника со сторонами 25 см и 81 см;
• площади прямоугольника со сторонами 2,5 дм и 8,1 дм;
•
4 5
9
кв. единиц;
• 10
8
;
• 10
5
.
Задание может быть предложено в форме математического диктанта, причем для контроля двое могут работать на закрытых досках. Важно, чтобы при выполнении задания были сделаны следующие записи:
1)
25 81
⋅
;
2)
2,5 8,1
⋅
; 3)
4 5
9
; 4)
8 10
;
5)
5 10
В случае, если выражения не были составлены, а сразу был найден ответ, то возможен вопрос: «Можно ли для решения задания составить указанные выражения?»
2. Поиск новых способов извлечения корня из произведения,
формулирование гипотезы и мотивирование необходимости доказа
тельства теоремы об извлечении корня из произведения.
При обсуждении решения при
мера 1) ученики могут предложить:
• способ вычисления подкорен
ного выражения;
• способ использования извест
ного тождества:
( )
2 2
2 25 81 5 9 5 9 5 9 45;
⋅ =
⋅ =
⋅
= ⋅ =
• способ извлечения корня из каж
дого множителя.
Общие вопросы:
1) как находили значе
ние выражения?
2) можно ли воспользо
ваться известными тождествами?
3) можно ли найти зна
чение выражения какнибудь иначе?