Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

277
параллелограмм, но отметить сразу, какая сторона равна 10 см не могут и приходят к выводу, что сначала надо найти длину другой стороны параллелограмма. Устный счет дает ответ: 18 см, значит,
10 см — длина меньшей стороны, а 18 — длина большей стороны:
Что требуется найти в задаче? (Площадь параллелограмма.)
Что нужно знать, чтобы найти площадь параллелограмма? (Дли
ну его высоты.) Мы знаем, что за основание параллелограмма можно выбрать любую его сторону и к ней провести высоту.
Вызываются два ученика, одному предлагается выбрать за осно
вание сторону ВС, а другому — сторону СD. Остальные на местах работают со своим вариантом.
A
B
C
D
10 18 30°
A
B
C
D
10 18 30°
A
B
C
D
10 18 30°
M
30°
K
30°
Решение:
1. Р = 56 см, АВ =10 см
⇒ ВС =18 см.
2.
ΔМСD – прямоугольный, ∠С = 30°⇒ DМ = 5 см.
S
парал.
= ВС·DМ, S
парал.
= 18·5 = 90 (см
2
)
Ответ: 90 см
2
1. Р = 56 см, АВ = 10 см
⇒ ВС = 18 см.
2.
ΔВСК – прямоугольный, ∠С =30°⇒ ВК = 9 см.
3. S
парал.
= СD·ВК, S
парал.
= 10·9 = 90 (см
2
)
Ответ: 90 см
2
Подведем итоги. Что в связи с решением этой задачи хорошо бы запомнить на будущее? (Выслушиваются варианты.) Итак:
• перед тем, как нанести данные на чертеж, подумать о соот
ветствии данных рисунку (большая длина – большая сто
рона),
• одни и те же данные можно отмечать на рисунке несколько раз (10 см, 30°), тогда будет виднее ход поиска решения.
Часть V. Урок математики
10

Приложения
278
5. Решение задач, связанных с площадью ромба.
Ученикам предлагается на черновиках найти ответ к следую
щей задаче.
Задача 1.
Сторона ромба равна 6 см, один из углов равен 150°.
Найти площадь ромба.
Выслушиваются ответы учеников, выясняется, кто из учени
ков испытывал затруднения, в чем причина затруднения. Спра
вившиеся дают советы. (Возможно, что 6 см отметили только для основания, а в задаче удобно 6 см отметить на двух смежных сторонах. Если не знали, как использовать 150°, то следует посо
ветовать вопрос, уже звучавший на уроке: «Что можно найти,
зная 150°?»)
Аналогичная работа проводится с задачей 2.
Задача 2.
Площадь ромба равна 27 см
2
, одна диагональ в 1,5 раза
больше другой. Найти диагонали ромба.
Затруднения могут быть вызваны тем, что либо забыта форму
ла нахождения площади ромба по его диагоналям, либо «забыто»
обращение к алгебраическому методу. В первом случае помогает вопрос: «Как связаны диагонали ромба с его площадью?», а во втором: «Как мы поступаем, когда геометрическим способом решить задачу не удается?».
Полезно ученикам задать вопрос: изменится ли решение за
дачи, если условие было бы задано так?
Найти d
1
и d
2
, если S
ромба
=27 см
2
, d
1
=
3 2
d
2
.
Ученики приходят к выводу, что это текст той же задачи,
только условие записано алгебраически. Учитель просит текст задачи № 459 (в), которая будет задана на дом, перевести с алгебраического языка на словесный.
В итогах полезен вопрос, справедлива ли формула S =
1 2
d
1
·d
2
для произвольного параллелограмма? Ученики указывают свой
ство перпендикулярности диагоналей ромба, как необходимое условие использования этой формулы.
6. Вывод формулы площади четырехугольника с перпендикуляр
ными диагоналями.
Мотивом обращения к этой части урока, может служить об
суждение вопроса, можно ли найти площадь четырехугольни
ка, с перпендикулярными диагоналями, который не является ромбом?

279
Оформляется чертеж и краткая запись условия задачи:
Дано:
ABCD — четырехугольник,
d
1
d
2
— диагонали,
d
1
⊥ d
2
Найти: S
ABCD
Вспоминается, как поступали, когда нужно было найти пло
щадь, а формулы для этого не было. В таком случае:
• достраивали фигуры до известной;
• находили площадь получившийся фигуры по формуле и по частям;
• сравнивали результаты;
• делали выводы.
Получается решение:
1. Достроим до прямоугольника.
2. а) S
прямоуг.
= d
1
·d
2
б) S
прямоуг.
= 2S
1
+ 2S
2
+ 2S
3
+ 2S
4
=
= 2(S
1
+ S
2
+ S
3
+ S
4
) = 2S
ABCD
,
3. 2S
ABCD
= d
1
·d
2
,
4. S
ABCD
=
1 2
d
1
·d
2
Подведем итоги. Что в связи с решением этой задачи хорошо бы запомнить на будущее? (Выслушиваются варианты.) Итак:
• надо запомнить формулу;
• а еще лучше помнить этапы доказательства, потому что они повторяются при выводе многих формул, связанных с пло
щадью.
7. Подведение итогов.
Урок подошел к концу. Попробуйте подвести его итог. (Выслу
шиваются ответы.)
Дома решите следующие задачи: № 459 (в), 460, 461, 464 (в).
Задачу № 459 мы уже комментировали, посмотрите № 460,
скажите, какая особенность данного параллелограмма? (Диаго
наль перпендикулярна стороне параллелограмма, значит, являет
ся его высотой.)
В чем особенность параллелограмма, данного в задаче № 461?
(В нем угол равен 30°, значит, можно будет воспользоваться свойством прямоугольного треугольника с углом 30°.)
A
B
C
D
S
1
S
2
S
3
S
3
S
4
S
4
S
1
S
2
d
1
d
2
A
B
C
D
d
1
d
2
Часть V. Урок математики

Приложения
280
Посмотрите текст задачи № 464 (в), вы видите, что условие записано с помощью буквенных обозначений. Скажите словами, какие дан
ные известны и что требуется найти. (Известна площадь параллело
грамма и его стороны. Надо найти высоты.) Не кажется ли вам эта задача легкой? Ее можно заменить на любую понравившуюся.
Приложение 26
Урок обобщения
Важная роль на обобщающих уроках отводится установлению связей между изученными вопросами, чему помогает матема
тическая карта темы; привлечению учеников к созданию ключевых примеров, обсуждению выделенных видов задач, фор
мулированию выводов по теме.

281
1. Первый этап обобщения: случаи извлечения корня.
Учитель по карте перечисляет три случая извлечения корня (из числа, из дроби, из степени), указывая их теоретические основы.
Ученики «снимают» вопрос, отмеченный в карте, указывая еще один случай: извлечение корня из произведения и его обоснова
ние:
ab
=
a
·
b
По просьбе учителя ученики на каждый случай предлагают свои примеры. Если примеры не очень интересные, то учитель помогает так: «Приведите примеры, когда под корнем стоит большое число, когда не натуральное число (десятичная дробь,
обыкновенная дробь, смешанное число)».
Дальнейшая работа организуется следующим образом. Пред
лагается пример, указывается его особенность, затем обсуждает
ся решение. В таблице показаны примеры, выделены их особен
ности, описана форма организации:
№
Пример
Особенность
Организация работы
1.
0,5·
1,21
– 2
Корень из числа вклю
чен в алгебраическое выражение
Ученик у доски с коммен
тарием
2.
№ 468 (а, б)
Извлечение корня из трех множителей
Ученик за закрытой дос
кой, остальные самостоя
тельно, затем проверка
3.
12 3
⋅
Нельзя сразу приме
нить теорему о корне из произведения
Учитель под комментиро
вание учеников выделяет удобные множители в подкоренном выражении,
далее устный счет
4.
8 162
⋅
Тот же случай
Ученик у доски с коммен
тарием
5.
2 2
61 –60
Тот же случай, но под корнем разность квадратов
Ученики комментируют,
учитель записывает на доске
6.
2
( 2,5)
−
Извлечение корня из квадрата, но в осно
вании стоит число
Ученики комментируют,
учитель записывает на дос
ке:
2
( 2,5)
−
= |–2,5| = 2,5 7.
2
b
, b
≥ 0
Извлечение корня из квадрата, но в осно
вании стоит буква
Ученики комментируют,
учитель записывает на доске:
2
b
= |b| = b
Часть V. Урок математики

Приложения
282
2. Второй этап обобщения: действия с арифметическими корнями.
Учитель по карте перечисляет три действия с арифметически
ми корнями (умножение, возведение в квадрат и сравнение),
указывая их теоретические основы. Ученики «снимают» вопрос,
отмеченный в карте, указывая еще одно действие: деление корней и его обоснование:
a
a
b
b
=
. По просьбе учителя ученики на каждый случай предлагают свои примеры.
Дальнейшая работа организуется следующим образом. Пред
лагается пример, указывается его особенность, затем обсуждает
ся решение. В таблице показаны примеры, выделены их особен
ности, описана форма организации:
8.
Окончание табл.
№
Пример
Особенность
Организация работы
4 5
Извлечение корня из степени, но в осно
вании стоит число
Ученики комментируют,
учитель записывает на доске:
4 5
=
( )
2 2
5
= |5 2
| = 25 9.
6
x
, х
≤ 0
Извлечение корня из степени, но в осно
вании стоит буква
Ученики комментируют,
учитель записывает на доске:
6
x
=
( )
2 3
x
= |х
3
| = –х
3 10.
8 10
a
⋅
Тот же случай, но нет указания на значение буквы
Ученики комментируют,
учитель записывает на доске: 10·
8
x
= 10·
4 2
(
)
a
=
= 10·|а
4
| = 10·а
4
№
Пример
Особенность
Организация работы
1.
а)
2,5 3,6
⋅
б)
4,9 40
⋅
После применения теоремы об умноже
нии корней можно выделить разрядную единицу
Два ученика у доски ре
шают оба примера, ос
тальные самостоятельно,
затем следует взаимопро
верка в парах
2.
а)
45 1280
; б)
54 1,5
После применения теоремы о делении корней можно при
менить основное свойство дроби
Ученик комментирует с места, учитель пишет на доске решение

283
3. Третий этап обобщения: решение уравнений.
Ученикам предлагается список уравнений:
1)
x
– 0,6 = 0,
2) 6
x
+ 5 = 0,
3) х
2
– 0,1 = 0,06,
4) 3 х
2
+ 4 = 0.
Дальнейшая работа осуществляется вокруг вопросов:
• какие из уравнений списка являются иррациональными?
Квадратными?
• какие из уравнений не имеют корней?
• сколько корней может иметь иррациональное уравнение вида
x
= а?
• сколько корней может иметь квадратное уравнение вида х
2
= а?
Ученики оформляют решения всех примеров, учитель записы
вает только ответы.
4. Подведение итогов.
Ученики на основе сделанных на уроке записей выделяют разделы темы, основные вопросы каждого раздела, особенности примеров, пути преодоления затруднений при их решении.
Приложение 27
Урок устного контроля по системе В.Ф. Шаталова
В.Ф. Шаталов использует следующие материалы для устного контроля знаний учащихся:
• первый лист контроля, в котором перечислены все теоре
тические вопросы темы;
Окончание табл.
№
Пример
Особенность
Организация работы
3.
а)
( )
2 5
; б)
( )
2 5
−
;
в)
( )
2 3 5
; г)
( )
2 3
5
Разные случаи учас
тия корня при воз
ведении в квадрат
Математический диктант с последующей проверкой результатов
4.
Сравнить:
а) 2,3 и
6,25
,
б)
5 4
и
7 16
В одном случае ко
рень заменяется ра
циональным чис
лом, в другом – ра
циональное число заменяется корнем
Учитель делает записи на доске под диктовку учени
ков, обращая внимание на оформление
Часть V. Урок математики

Приложения
284
• приложение, в котором даны ответы на все вопросы первого листа;
• второй лист контроля, в котором перечислены те теоретиче
ские вопросы темы, которые надо знать с доказательствами.
Ученики, готовясь к уроку контроля, проверяют друг друга по каждому листу, а на уроке ученики опрашиваются группами,
поэтому В.Ф. Шаталов называет их «листами взаимоконтроля»,
«листами группового контроля».
Ниже приведены примеры материалов устного контроля по теме «Квадратные корни» в 8 классе.
Лист № 1
1. Два способа записи рационального числа.
2. Запись иррационального числа.
3. Понятия: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действитель
ных чисел и связь между ними.
4. Квадратный корень.
5. Арифметический квадратный корень.
6. Условие существования арифметического квадратного корня.
7. Тождество о возведении арифметического квадратного кор
ня в квадрат (буквенная запись, правило, обоснование).
8. Решение уравнения х
2
= а.
9. Арифметический квадратный корень из произведения (тео
рема и правило).
10. Арифметический квадратный корень из дроби (теорема и правило).
11. Арифметический квадратный корень из степени.
12. Вынесение множителя изпод знака корня (правило).
13. Внесение множителя а под знак корня (правило).
14. Умножение арифметических корней (правило).
15. Деление арифметических корней (правило).
16. Представление выражения в виде степени (правило).
17. Освобождение от иррациональности в знаменателе, в слу
чае, если знаменатель – арифметический квадратный корень
(правило).
18. Освобождение от иррациональности в знаменателе, в слу
чае, если знаменатель – сумма или разность, содержащая ариф
метический квадратный корень (правило).
19. Приведение «подобных» в выражении, содержащем ариф
метические квадратные корни (правило).

285
Приложение к листу № 1
1. Любое рациональное число можно представить а) в виде
m
n
, где т — ..., п — ... ;
б) в виде бесконечной десятичной периодической дроби и обратно.
2. Иррациональные числа записываются в виде бесконечной ...
3. Числа 1, 2, 3, ..., которые употребляются при счете предме
тов, образуют множество натуральных чисел. Натуральные чис
ла, противоположные им числа и число нуль образуют множество
... чисел. Целые и дробные числа образуют множество рацио
нальных чисел. Рациональные и ... образуют множество действи
тельных чисел. N
⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
4. Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а.
5. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
6. Арифметический квадратный корень имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
7. (
a
)2 = а, если а
≥ 0. При возведении арифметического квадратного корня, имеющего смысл, в квадрат получается под
коренное выражение. Определение арифметического квадратно
го корня.
8. Если а > 0, то уравнение имеет два корня:
a
—
a
. Если
а = 0, то уравнение имеет один корень 0. Если а < 0, то уравнение корней не имеет.
9. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Чтобы извлечь корень из произведения, нужно извлечь корень из каждого множителя.
10. Корень из дроби, числитель которой неотрицателен,
а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленно
му на корень из знаменателя. Чтобы извлечь корень из дроби,
нужно извлечь корень из числителя и корень из знаменателя.
11. При любом значении а верно тождество
2
a
= |a|. Чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, нужно предста
вить подкоренное выражение в виде квадрата, а затем воспользо
ваться указанным тождеством.
12. Чтобы вынести множитель изпод знака корня, нужно пред
ставить подкоренное выражение в виде произведения,
Часть V. Урок математики