Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

267
Когда возникнет способ извлечения корня из каждого множи
теля, ученикам предлагается проверить, годится ли этот способ
для вычисления корней:
4 9
⋅
,
64 36
⋅
и сформулировать соот
ветствующую гипотезу о способе нахождения
a b
⋅
. Мотивом доказательства теоремы может служить напоминание, приведен
ное в учебном тексте: «Помните: опровергнуть гипотезу можно
одним примером, для которого гипотеза несправедлива. И помните,
что как бы много примеров, подкрепляющих гипотезу, вы бы ни
обнаружили, для доказательства гипотезы этого мало! А вдруг где
то таится примерразрушитель? Уверены ли вы, например, что
ваша гипотеза верна для
3 37
⋅
?»
3. Доказательство теоремы об извлечении корня из произведения.
Ученикам предлагается сформулировать теорему, указав, при каких значениях а и b в ней идет речь. Проблемный метод доказательства предполагает ситуацию, когда ученики сами на
мечают план доказательства. Учитель руководствуется общими подходами: при доказательстве равенства анализируется каждая
его часть и показывается, что они имеют одинаковый смысл, равны
их значения или равны их «посредники». Ученики находят способ доказательства, заполняя схему:
1) объяснить, зачем дано ограничение на значения а и b;
2) проанализировать левую часть равенства;
3) проанализировать компоненты правой части равенства;
4) сделать выводы.
4. Применение доказанной теоремы и поиск новых гипотез.
Сначала ученикам предлагается применить теорему для при
меров, предложенных в начале урока, и выбрать из них те, где удобно ею пользоваться:
1)
25 81 25 81 5 9 45
⋅ =
⋅
= ⋅ =
;
2)
2,5 8,1 25 0,1 81 0,1 25 81 0,01 25 81 0,01 5 9 0,1 4,5;
⋅
=
⋅
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
=
⋅
⋅
= ⋅ ⋅
=
3)
4 49 1
1 1
1 5
49 49 7
2 9
9 9
9 3
3
=
=
⋅ =
⋅
= ⋅ =
;
4)
8 2
2 2
2 4
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
=
⋅
⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ =
;
Часть V. Урок математики

Приложения
268 5)
( )
2 5
4 4
2 2
10 10 10 10 10 10 10 10 10 100 10
=
⋅ =
⋅
=
⋅
=
⋅
=
На итоге подчеркивается, что в некоторых случаях пришлось выполнять некоторые дополнительные преобразования, напри
мер, пришлось преобразовывать частное, степень. Нельзя ли получить формулу для извлечения корня из частного? корня из степени?
5. Групповая работа по доказательству теорем об извлечении
корня из дроби и корня из степени.
Класс делится на группы. Часть групп формулируют и доказы
вают теорему об извлечении корня из дроби, остальные группы формулируют и доказывают теорему об извлечении корня из степени, если показатель степени является четным числом.
По окончании работы группы представляют свои доказатель
ства, сохраняя структуру доказательства, показанную на теореме об извлечении корня из произведения.
Образцы записи решения ученики показывают на примерах:
4 49 49 7
1 5
2 9
9 3
3 9
=
=
= =
,
25 81 25 81 25 81 5 9 45 2,5 8,1 4,5 10 10 100 10 10 100
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
=
=
=
,
2 8
8 8 2 4
10 10 10 10
⋅
=
=
=
6. Подведение итогов:
• Что об извлечении корня узнали на уроке? (Из каких выра
жений можно извлекать корень; как доказывается теорема об извлечении корня, когда и как им удобно пользоваться.)
• Из каких рациональных выражений учились извлекать ко
рень? (Из произведения, из дроби, из степени.)
• Как формулируется теорема об извлечении корня из произ
ведения? Когда удобно пользоваться этой теоремой? (Если подкоренное выражение представлено в виде произведе
ния; если в подкоренном выражении можно выделить «удоб
ный» множитель.) Приведите примеры.
• Как формулируется теорема об извлечении корня из дроби?
Когда удобно пользоваться этой теоремой? (Если подкорен
ное выражение обыкновенная дробь, десятичная дробь или смешанное число.) Приведите примеры.

269
• Как формулируется теорема об извлечении корня из степе
ни? Когда удобно пользоваться этой теоремой? (Если под
коренное выражение представлено в виде степени или может быть представлено в виде степени.) Приведите примеры.
• Можно ли сказать, что в примере
5 10 100 10
=
мы вынесли множитель изпод знака радикала?
• Чем следует заняться дома и что предстоит сделать на сле
дующем уроке? (Повторить теоремы и потренироваться в их применении.)
7. Задание на дом: теоремы (с доказательством), задания 1, 2, 3, 10.
В задании 1 нужно прочитать указанные формулы
(это устно) и привести примеры выражений, которые могут быть преобразованы по этим формулам. В ос
тальных заданиях указана формула и предложено вы
брать те выражения, которые можно преобразовать по указанной формуле. Если есть уверенность в при
менении формулы, то можно выбрать более трудные задания из практикума.
Приложение 24
Урок изучения нового материала,
когда ученики работают по учебной книге
Тема: Квадратный корень из произведения.
Вариант 1. Учебниксправочник [2].
Цели:
• повторить определение арифметического квадратного корня;
• ввести и доказать формулу квадратного корня из произведения;
• научить применять формулу, если под корнем:
а) стоят два множителя;
б) стоят три множителя;
в) произведение задано не явно.
• проверить усвоение с помощью самостоятельной работы.
План:
1. Актуализация знаний.
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление формулы на примерах.
4. Подведение итогов.
5. Самостоятельная работа.
6. Задание на дом.
Комментиру ем домашнее задание
Часть V. Урок математики

Приложения
270
Ход урока
Ход урока похож на первый урок, описанный в «Приложении
21», различие только на этапе изучения теоремы. Если раньше изучение нового материала осуществлялось во время объясни
тельноиллюстративной беседы, то на этом уроке ученики рабо
тают с учебником.
С этой целью учитель дает ученикам следующее задание.
Изучите в п.15 пример перед теоремой 1, теорему 1 и примеры 1 и 2
и ответьте на вопросы (вопросы заранее записаны на доске, что помогает ученикам целенаправленно работать с текстом учебника):
• как удобнее вычислить
4 81
⋅
?
• как формулируется теорема?
• как кратко записать формулировку теоремы?
• зачем в условии теоремы даны ограничения на значения а и b?
• о каких двух условиях идет речь в теореме?
• почему необходимо проверить выполнение этих двух условий?
• как осуществляется проверка этих двух условий?
• как доказывается случай, когда число множителей больше двух?
• чем отличаются примеры 1 и 2?
• как можно сформулировать правило работы с примерами,
похожими на пример 1? (Приведите свои примеры.)
• как можно сформулировать правило работы с примерами,
похожими на пример 2? (Приведите свои примеры.)
По окончании самостоятельной работы с учебником осущест
вляется проверка изученного материала по указанным вопро
сам. В роли учителя выступают отдельные ученики, и на доске и в тетрадях выполняются необходимые записи. Можно в учеб
нике выделить этапы доказательства, а на дом задать оформить доказательство в тетради.
Вариант 2. Учебниксамоучитель [34].
Цели: Провести поиск новых тождеств, связанных с радикалами
по схеме исследования:
• мостик в теорию;
• поиск гипотезы;
• доказательство гипотезы;
• поиск новых гипотез и их доказательство.
План:
1. Выполнение задания на нахождение стороны квадрата, если задана его площадь, старыми способами.

271 2. Поиск новых способов извлечения корня из произведения,
формулирование гипотезы и мотивирование необходимости до
казательства теоремы об извлечении корня из произведения.
3. Доказательство теоремы об извлечении корня из произведения.
4. Применение доказанной теоремы и поиск новых гипотез.
5. Групповая работа по доказательству теорем об извлечении корня из дроби и корня из степени.
6. Подведение итогов.
7. Задание на дом.
Ход урока
Ученики работают по учебнику, выполняя предлагаемые зада
ния, отвечая на каждый поставленный вопрос либо на отдельном листочке, либо соседу по парте, если организована работа по парам. Укажем виды предлагаемых заданий и вопросы для раз
мышления:
Задание 1. Найдите площадь квадрата, если дана его площадь.
Как найти значения квадратных корней, составленных по зада
нию 1?
Можно ли найти
25 81
⋅
какнибудь еще?
Проверьте, годится ли ваш способ для вычисления, например,
корней:
4 9
⋅
,
64 36
⋅
Если ваш способ «сработает», то, может быть, вы сумеете
сформулировать соответствующую гипотезу о способе нахождения
a b
⋅
при любых положительных значениях а и b?
Уверены ли вы, например, что ваша гипотеза верна для
3 37
⋅
?
Попытайтесь доказать свою гипотезу.
Изучите доказательство гипотезы, предложенное авторами.
Сформулируйте и докажите теорему, если в подкоренном выра
жении будет стоять любое число множителей.
В этом месте полезно заслушать отчеты о проделанной работе,
выяснить трудности, с которыми столкнулись ученики. Доказа
тельство теоремы может быть оформлено по схеме:
1) показываем, зачем даны ограничения на значения а и b;
2) расписываем левую часть равенства;
3) расписываем компоненты правой части равенства;
4) делаем выводы.
Часть V. Урок математики

Приложения
272
На каких примерах показано применение теоремы, в чем их
особенность?
Неужели всякий раз, извлекая корень из частного, мы будем
преобразовывать его в произведение? Нельзя ли получить формулу
для извлечения корня из частного? Какой будет ваша гипотеза?
Нельзя ли получить формулу для нахождения корня непосредст
венно из степени? Можно ли установить связь между показателем
подкоренного выражения и показателем значения корня?
Дальнейшую работу ученики осуществляют по группам, дока
зывая теоремы 2 и 3. Подведение итогов и задание на дом может быть тем, же, что и при изучении этого материала проблемным методом (см. выше описанный урок).
Приложение 25
Урок совершенствования умений
При построении урока совершенствования умений большую роль играет создание целостной картины урока, что достигается выделением стержневых вопросов (например, методы решения,
виды задач, свойства и т. д.). Каждое задание, выносимое на урок совершенствования умений, должно иметь конкретную цель обучения.
Тема: Площадь параллелограмма. [11] Урок провела студентка
И. Ефимова.
Цели:
• научиться применять формулы площади параллелограмма
и площади ромба при решении задач различными методами;
• доказать формулу площади четырехугольника с перпендику
лярными диагоналями.
План:
1. Обсуждение схемы решения геометрических задач.
2. Решение задачи № 464 (а) учебника [11] двумя методами.
3. Решение задачи, в которой диагональ параллелограмма является его высотой.
4. Решение задач с использованием свойства прямоугольного треугольника с углом 30°.
5. Решение задач, связанных с площадью ромба.
6. Вывод формулы площади четырехугольника с перпендику
лярными диагоналями.
7. Подведение итогов.

273
Ход урока
1. Обсуждение схемы решения геометрических задач.
Сегодня на уроке мы продолжим изучать тему «Площадь»,
повторим, как найти площади ромба и параллелограмма, улучшим умение решать задачи с использованием этих формул, а также выведем формулу площади одного четырехугольника, не являю
щегося параллелограммом. Как видим, основное внимание будет уделено решению задач, поэтому воспользуемся следующей схемой:
Схема решения геометрических задач
Сначала мы отвечаем на вопросы: Какая фигура? Что известно?
Что надо найти? Какая формула? Затем мы выбираем метод
решения, поэтому отвечаем на вопрос: Какой метод?
Геометрический метод используется тогда, когда в формуле,
которую хотим применить, уже известны какието данные,
а другие можем вычислить, важно только выделить, фигуры, из которых это можно сделать.
Алгебраический метод используем тогда, когда сразу из форму
лы не можем найти неизвестную величину, в этом случае вводят переменную.
Какая фигура?
Что известно?
Что найти?
Какая формула?
Известно? Неизвестно?
Какой метод?
геометрический
Из какой фигуры?
алгебраический
Условие, которое помогает со
ставить уравнение?
Что обозначить за x?
Выразить другие величины.
Составить уравнение
Часть V. Урок математики

Приложения
274
Составленный текст сравнивается с текстом задачи № 464 (а)
учебника:
Пусть а и b – смежные стороны параллелограмма, а h
1
и h
2
– его
высоты. Найдите h
2
, если а = 18 см, b = 30 см, h
1
= 6 см, h
2
> h
1
.
К доске вызывается ученик, который, пользуясь рассмотрен
ной схемой отвечает на вопросы:
В задаче речь идет о параллелограмме, известны стороны парал
лелограмма и высота, проведенная к одной из них. Требуется найти
вторую высоту параллелограмма.
Формула, которая связывает основание параллелограмма с его
высотой,– формула площади параллелограмма S
парал.
= а·h
а
.
Попробуем решить задачу геометрическим методом. В этой
формуле известно основание а, равное 18 см, неизвестна S
парал.
. S
парал.
можно найти по другим данным задачи: другому основанию и высо
те, к ней проведенной.
Решение:
S
парал.
= а·h
а
.
1) S
парал.
= b·h
1
= 30·6 = 180 (см
2
).
2) S
парал.
= а·h
2
= 180 (см
2
), h
2
= S
парал.
: а = 180:18 = 10 (см).
Ответ: 10 см.
Можно ли задачу решить алгебраическим методом? (Ученик,
желающий показать этот метод, вызывается к доске.)
Решение:
Основание параллелограмма и его высоту связывает площадь параллелограмма, причем результат вычисления площади не за
висит от способа вычисления, поэтому за условие для составле
ния уравнения можно выбрать следующее: а·h
2
= b·h
1
.
Вводим переменную:
2. Решение задачи № 464 (а) учебника [11] двумя методами.
Ученикам демонстрируется чертеж, по которому предлагается составить текст задачи:
6 30
h
1
h
2
— ?
18 6
30
h
1
h
2
— x
18

275
Получаем уравнение:
18х = 30·6,
18х = 180,
х = 10.
Ответ: 10 см.
Подведем итоги. Что в связи с решением этой задачи хорошо бы запомнить на будущее? (Выслушиваются варианты.) Итак:
• решать задачи помогает схема рассуждений;
• задачи можно решать двумя методами: геометрическим и алгебраическим;
• в задачах, где идет речь о высоте, может помочь площадь фигуры, даже если о ней в условии задачи не говорится.
3. Решение задачи, в которой диагональ параллелограмма явля
ется его высотой.
Ученикам предлагается сформулировать условие задачи по чертежу:
Получается следующая задача: В параллелограмме АВСD
∠В = 135°,
диагональ ВD перпендикулярна стороне АD. Площадь параллело
грамма равна 49 см
2
. Найти АD.
Учитель предлагает подумать, что можно найти по данным задачи?
Рассуждения учеников могут быть такими: зная один угол параллелограмма, можно найти все остальные углы, таким обра
зом
∠А = 45°, тогда в треугольнике АВD можно найти угол В, он равен 45°, поэтому треугольник АВD — равнобедренный.
Эти рассуждения отражаются на чертеже:
A
B
C
D
?
135°
S
парал.
= 49 см
2
A
B
C
D
?
45°
45°
135°
Итак, мы обозначили все, что дано, все, что можно найти.
Можно ли теперь ответить на вопрос задачи? (Пауза.) Получает
ся, что геометрическим способом решить задачу затрудняемся.
Что надо делать в этом случае? (Пробовать алгебраический метод.)
Часть V. Урок математики

Приложения
276
С чего начнем? (Выберем условие для составления уравнения.)
Какое? (Площадь параллелограмма равна 49 см
2
.) Что дальше?
(Обозначим АD за х.) Что дальше? (Тогда ВD также равна х.) Как связаны эти данные с площадью параллелограмма? (АD можно выбрать за основание параллелограмма, тогда ВD будет его высо
той, а, значит, их произведение равно 49 см
2
, поэтому сторона АD
равна 7.)
К доске для оформления всего решения вызываются 1—2 учени
ка, а остальные оформляют решение в тетрадях самостоятельно,
а затем сверяют полученные варианты. Оформить можно так:
1.
∠А = 180° – ∠В = 180° – 135° = 45° (свойство параллелограм
ма).
⇒
∠АDВ = 90° (по условию).
∠АВD = 45°
⇒
ΔАВD — равнобедренный.
2. Пусть АD = х см, тогда ВD = х см,
S
парал.
= АD·ВD,
х·х = 49,
х
2
= 49,
х = 7.
Ответ: 7 см.
Подведем итоги. Что в связи с решением этой задачи хорошо бы запомнить на будущее? (Выслушиваются варианты.)
Итак:
• приступать к решению удобно, задавая себе вопрос: «Что можно найти, зная...?» и отталкиваясь от условия;
• есть задачи, решение которых начинается геометрическим методом, потом подключается алгебраический;
• если в параллелограмме диагональ перпендикулярна сторо
не, и один из углов параллелограмма равен 45° (135°), то диагональ является высотой параллелограмма и отсекает от него равнобедренный треугольник.
4. Решение задач с использованием свойства прямоугольного
треугольника с углом 30°.
В предыдущей задаче нам помог угол в 45°, другой угол
помощник — угол в 30°. Почему? (Вспоминается свойство пря
моугольного треугольника с углом 30°.) Затем предлагается за
дача:
Один из углов параллелограмма равен 30°, одна из сторон равна 10 см,
периметр параллелограмма равен 56 см. Найти площадь параллело
грамма.
С чего начать после прочтения текста задачи? (Надо построить параллелограмм и нанести данные на чертеж.) Ученики строят