Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
286
в котором хотя бы один множитель был квадратом некоторого числа, а затем применить теорему об извлечении корня из произ
ведения.
13. Чтобы внести положительный множитель под знак корня,
нужно представить его в виде корня по формуле а =
2
a
, а затем применить правило умножения корней.
14. При умножении арифметических квадратных корней пере
множаются их подкоренные выражения.
15. При делении арифметических квадратных корней делятся их подкоренные выражения.
16. Любое неотрицательное число можно представить в виде квадрата по формуле:
а = (
a
)
2 17. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе,
в случае, если знаменатель – арифметический квадратный ко
рень, нужно числитель и знаменатель умножить на этот корень.
18. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе,
в случае, если знаменатель – сумма (или разность), содержащая арифметический квадратный корень, нужно числитель и знаме
натель умножить на соответствующую разность (сумму).
19. Чтобы привести «подобные» в выражении, содержащем ариф
метические квадратные корни, нужно по упростить каждый корень,
выделить в полученном выражении подобные корни, сложить их множители («коэффициенты»), а общий корень приписать.
Лист № 2
1. Арифметический квадратный корень из произведения.
2. Арифметический квадратный корень из дроби.
3. Арифметический квадратный корень из степени.
Листы контроля и ответы на первый лист раздаются ученикам в начале изучения темы. Накануне урока устного контроля учитель отвечает на все вопросы первого листа, а сам урок начинается с ответов на те вопросы листа, которые вызвали у учащихся затруднение. Для опроса вызывается группа ребят. Количество отвечающих должно быть таким, чтобы каждый мог ответить на
3—4 вопроса листа (для листа из 19 вопросов можно составлять группу в 6 человек). Для экономии времени вопросы имеются у каждого отвечающего. Первый вопрос учитель задает выбран
ному им ученику, а далее вопросы следуют по порядку, что дает

287
возможность ученикам, ожидая своей очереди, отшлифовать свой ответ и снять элемент неожиданности, которая создает нервоз
ность и ведет к потере времени. Подробная технология проведе
ния урока устного контроля описана в работе [112].
Часть VI. Изучение содержательных линий математики в основной школе
Часть VI. Изучение содержательных линий математики
в основной школе
Школьный курс математики группируется вокруг определен
ных содержательных линий. Особенностями методики изучения каждой содержательной линии являются следующие:
• выделение основных вопросов содержания;
• анализ изучения одной и той же содержательной линии в разных классах;
• учет преемственности при изучении содержательных линий;
• реализация изучения содержательных линий в разных школьных учебниках.
В приложениях отражены эти особенности при изучении чис
ловых систем и функций в основной школе.
Приложение 28
Основные вопросы изучения числовых систем
Основными этапами изучения любой числовой системы являются:
1) введение «новых» чисел;
2) сравнение чисел;
3) изучение арифметических действий с числами;
4) изучение законов и свойств этих действий.
На этапе введения чисел рассматривают:
• арифметическую, геометрическую, измерительную или ал
гебраическую мотивацию введения «новых» чисел;
• чтение и запись «новых» чисел;
• изображение «новых» чисел на числовом луче или числовой оси;
• связь «новых» чисел с ранее изученными.
На этапе сравнения чисел рассматривают общие и частные способы сравнения, включая понятие равенства чисел.
При изучении операций выделяют следующие этапы:
Этап введения алгоритма:
• мотивация изучения операций через использование прак
тической задачи (задача раскрывает смысл операции);

Приложения
288
• решение этой задачи старыми способами (геометрически,
сведением к известным числам и др.);
• составление алгоритма выполнения операции с «новыми»
числами;
• математическое обоснование алгоритма.
Этап усвоения алгоритма:
• отработка отдельных шагов алгоритма на специально со
ставленных упражнениях;
• рассмотрение всех частных случаев и частных ситуаций выполнения изучаемой операции.
Этап закрепления операции:
• решение заданий, связанных с классификацией;
• использование заданий по предотвращению ошибок;
• обучение контролю при выполнении той или иной операции;
• выполнение тренажных заданий (обычно в виде дидак
тических игр);
• применение рассматриваемой операции для решения задач,
упражнений и т. д.;
• конструирование примеров и задач, связанных с рассматри
ваемой операцией.
При изучении законов и свойств действий выполняют следую
щую последовательность шагов:
• мотивация изучения законов операций с помощью поиска путей рационального счета;
• обобщение законов в словесной и буквенной форме;
• «проверка» законов для «новых» чисел;
• применение законов и свойств для упрощения выражений и рационального счета.
Приложение 29
Сравнительный анализ изучения десятичных дробей
в различных школьных учебниках
При сравнительном анализе школьных учебников необходимо:
• Понять авторскую позицию (для этого надо проанализиро
вать и озаглавить каждый абзац теоретического материала,
объяснить их последовательность, поставить и ответить на каждое методическое «Почему?»).
• Сравнить авторские позиции (найти общие подходы и раз
личия).
• Попытаться оценить положительные и отрицательные сто
роны каждого подхода.

289
Удобно обсуждение этого вопроса проводить в форме деловой игры, в которой встречаются «авторские коллективы».
Так, итогом деловой игры по введению десятичных дробей может быть следующее резюме. В школьных учебниках матема
тики приняты несколько путей введения десятичных дробей:
1) Систематическое изучение десятичных дробей предшеству
ет основному изучению обыкновенных дробей, однако изучение отдельных вопросов по теме «Обыкновенные дроби» включено в курс 5 класса и носит подготовительный характер к изучению десятичных дробей. Этот путь принят в учебниках [20], [77].
2) При введении десятичных дробей авторы опираются на десятичную систему мер и обыкновенные дроби (рассматривает
ся задача перевода меньших единиц измерения в большие). При этом в учебнике [20] обыкновенные дроби используются только при изучении сравнения, сложения и вычитания десятичных дробей, в учебнике [77] только при введении соответственных разрядных единиц и при сравнении десятичных дробей.
3) Систематический курс обыкновенных дробей изучается раньше десятичных дробей. Эта позиция соответствует принципу историзма (обыкновенные дроби появились в истории чело
вечества раньше десятичных). Такой путь принят в учебнике [64].
Однако все операции над десятичными дробями обосновывают
ся позиционной записью числа (как и для натуральных чисел),
а не действиями над обыкновенными дробями. А при данном построении материала между изучением натуральных чисел
(5 класс) и изучением десятичных дробей (6 класс) — целый год.
4) Обыкновенные и десятичные дроби изучаются совмест
но [111].
5) Изучение десятичных дробей строится на основе позицион
ного принципа записи чисел (разрядная таблица расширяется вправо). Такой подход принят в учебниках [26], [65]. Такой под
ход обеспечивает перенос на десятичные дроби всех алгоритмов,
изученных для натуральных чисел. Отличительными чертами этих учебников являются:
• Различное отношение к обыкновенным дробям. Так, в учеб
нике [65] некоторые вопросы изучения обыкновенных дро
бей предшествуют изучению десятичных дробей, а в учеб
нике [26] обыкновенные дроби являются лишь фоном для изучения десятичных дробей.
• Различное отношение к натуральным числам. В учебнике
[65] натуральные числа и десятичные дроби изучаются по
следовательно, а в учебнике [26] — параллельно.

Приложения
290
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Н
А
Т
У
Р
А
Л
Ь
Н
Ы
Е
Ч
И
С
Л
А
5 кл.
Р
А
Ц
И
О
Н
А
Л
Ь
Н
Ы
Е
Ч
И
С
Л
А
6 кл.
Д
Е
Й
С
Т
В
И
Т
Е
Л
Ь
Н
Ы
Е
Ч
И
С
Л
А
8 кл.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
изучаются совместно
Н.Я. Виле
нкин, Э.Р
. Нурк
5 класс
Понятие обыкновенной дроби.
Сравнение, сложение, вычита
ние обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями и смешанных чисел
Л.Н. Шеврин
5 класс
Понятие обыкновенной дроби.
Сравнение, сложение, вычита
ние обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями и смешанных чисел
П.М. Эрдниев
5 класс
Понятие обыкновенной дроби.
Сравнение, сложение, вычита
ние обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями и смешанных чисел
5 класс
Деся
тичные дроби
5 класс
У
множение и деление обыкновенной дроби на натуральное число
6 класс
изучаются совместно
Приложение 30
Математическая карта изучения числовых систем в современных школьных учебниках
6 класс
Положительные и отрицательные числа
У
чебники МПИ
5 класс
Деся
тичные дроби
6 класс
Обыкновенные дроби и смешанные числа
6 класс
Положи
тельные и отрица
тельные числа
6 класс
Положи
тельные и отрица
тельные числа
6 класс
Положи
тельные и отрица
тельные числа
5 класс
Деся
тичные дроби
5 класс
Деся
тичные дроби
Основное свойство дроби. Сравнение и действия над обыкновенными дробями и смешанными числами с разными знаменателями
Основное свойство дроби. Сравнение и действия над обыкновенными дробями и смешанными числами с разными знаменателями
Основное свойство дроби. Сравнение и действия над обыкновенными дробями и смешанными числами с разными знаменателями
6 класс
5 класс

291
Приложение 31
Методическая схема изучения функций в основной школе
1. Анализ конкретных задач или примеров из реальной жизни,
науки, техники, приводящих к данной функции.
2. Определение рассматриваемой функции, ее запись с помощью формулы, исследование параметров, входящих в эту формулу.
3. Построение графика функции. Установление влияния пара
метров на характер графического изображения функции.
4. Исследование свойств функции, сходя из ее графика или из формулы.
5. Обучение учащихся истолкованию свойств функции на трех языках: графическом, словесном, символическом.
Приложение 32
Сравнительный анализ изучения функций
в учебниках алгебры основной школы
Часть VI. Изучение содержательных линий математики в основной школе
Традиционные учебники [1]—[6]
Учебники серии МПИ [36], [37]
1. Понятие функции вводится в
7 классе, хотя к этому времени еще не изучены действительные числа,
поэтому полноценного обсуждения области определения, вопроса о сплошной линии графика не может быть. Не изучены неравенства и вы
ражения, имеющие смысл не для всех действительных чисел, поэто
му полноценного изучения свойств функций не может быть
1. Понятие функции вводится в
9 классе, когда ученики готовы к его полноценному восприятию, и есть необходимость его широкого использования для решения урав
нений и неравенств, для система
тизации изученного материала за курс основной школы
2. Функция определяется как зави
симость одной переменной от дру
гой, что сужает область ее приме
нения
2. Функция определяется как соот
ветствие между множествами, а чис
ловые функции являются хотя и важным, но лишь частным случаем
3. Свойства функций вводятся по
степенно в течение трех лет обучения, что не создает полной картины всех свойств для каждой из изучаемых функций
3. Свойства функции изучаются крупным блоком. Список свойств является более полным, чем в тра
диционных учебниках. Схема ис
следования функций используется для каждой из изучаемых функций

Приложения
292
Приложение 33
Математическая карта изучения числовых функций в учебнике серии МПИ
Математические карты по книге «Спящая Красавица, или функция»
(карты разработаны студенткой Е. Г
енкиной)
Карта № 1
Функция — это соответствие, при котором каждому элеме
нту одного множества сопоставляется
единстве
нный элеме
нт другого множества,
поэтому рассматриваются
С о о т в е т с т в и я
Из них выделяются
Не функции
Подробно не
изучаются
делятся на
м о г у т б ы т ь з а д а н ы
вводится по
нятие
Равные
функции
Функции
Для них определяются
Независимая переменная
Зависимая переменная
Значение функции
Естественную область определения
Обладают
свойствами
С пом
ощью графика
Аналитически
Алгоритмически
Словесно
С помощью
графов
С помощью
таблицы
Т
акже
выделяют
Числовые функции
Нечисловые функции
Область опреде
ления
Мно
жество значе
ний
Нули
Возрас
тание—
убыва
ние
Пе
рио
дич
ность
Чет
ность—
нечет
ность
На основе которых может быть построен
Г Р А Ф И К Ф У Н К Ц И И
П р е д л а г а ю т с я ч е т ы р е п у т и и з у ч е н и я
Через решение заданий из
Практикумов
Через «Диалоги о функциях»
Через изучение образцов решений
Наибольшее—
наименьшее значения
Через изучение справочной литературы

293
Часть VI. Изучение содержательных линий математики в основной школе
Карта № 2
Изучаются функции
Линейная
Прямая
пропорциональность
Обратная
пропорциональность
К о т о р ы е в в о д я т с я н а з а д а ч а х
s = v·t + s
0
s = v·t
l = k·m, l — длина,
m — масса
c(n) = 0,85·n, n — количество,
c(n) — стоимость
s
t = и др.
v
s — постоянная
Возникает общая
формула
Отмечается свойство
Возникает общая
формула
y = k·x + b
k
y = , k
≠ 0
x
x
1
y
1
=
x
2
y
2
И возникает (с обоснованием)
Аналитическая запись функции y = k·x
На основе аналитической записи определяются
Область определения:
D(f) = R
Функция ни четная,
ни нечетная
b
Нуль функции x = – ,
k
k
≠ 0
Область определения:
D(f) = R
Функция нечетная
Нуль функции x = 0
D(f) = (–
∝; 0) ∪ (0; + ∝)
x
1
y
2
=
x
2
y
1
доказывается
доказывается
Графикпрямая
На основе аналитической
записи определяется роль k
в свойствах функции
предлагается доказать
Функция нечетная
Нулей функции нет
k > 0
отрица
тельна на (–
∝; 0)
положи
тельна на (0; +
∝)
k < 0
отрица
тельна на (0; +
∝)
положи
тельна на (–
∝; 0)
График функции
y = kx + b — прямая,
параллельная графику функции y = kx
На основе аналитической
записи определяется
роль коэффициента k
1. k — не коэффициент пропорциональности
2. k = tg·a
3. Функция возрастает при k > 0, функция убывает при k < 0 4. k характеризует скорость изменения функции
1. k — коэффициент пропорциональности
2. k = tg·a
3. k характеризует скорость изменения функции
4. k > 0
возрастает на D поло
жительна при x > 0,
отрица
тельна при x < 0
k < 0
убывает на D поло
жительна при x < 0,
отрица
тельна при x > 0
В качестве дополнительных сведений рассматривается
«Участие» прямой пропор
циональности в жизни, вклю
чая случай k < 0, x < 0, y < 0
Функция при k > 0
убывает на D
Функция при k < 0
возрастает на D
Строится
График — гипербола
Показывается, что
Средняя скорость изменения
k
функции y = зависит не
x
только от k, но и от [x
1
; x
2
]

Приложения
294
Приложение 34
Математические карты изучения квадратичной функции
в учебнике серии МПИ [37]
Карта № 1
К функции
y = ax
2
Введение квадратичной
функции
Осуществляется двумя
путями
Практический
Физический
Заинтересовав наблюдениями за...
Игрой в мяч
Каскадом водяных брызг
Тенью от кольца
Предлагаем изобразить параболу
С помощью чертежного треугольника
По алгоритму построения точек,
равноудаленных от данной прямой и точки
Вышиванием
Приходим к определению параболы
Рассматриваем
Построение параболы по определению
Смотрим на параболу как на график некоторой функции
составляем
переходим
Уравнение параболы, у которой фокус находится на оси OY,
а директриса параллельна оси OX
(x
2
= 2·p·y)
⇒

295
y = x
2
; y = a·x
2
y = a·x
2
+ c
y = a·(x – m)
2
y = a·x
2
+ bx + c
Карта № 2
Физический путь введения
Через серию физических задач получаем зависимости
g·t
2
g·t
2
g·t
2
g·t
2
l =
h = h
0
–
h = v
0
·t –
h = h
0
+ v
0
·t –
2 2 2 2
или
y = a·x
2
y = a·x
2
+ b y = a·x
2
+ b·x y = a·x
2
+ b·x + c
○○
○○
○○
○○
Во всех случаях встретились с функцией
y = a·x
2
+ b·x + c
вводится
Название функции
начинается
Исследование квадратичной функции по схеме:
Для этого
используется два пути
Сначала анализиру
ются конкретные примеры функции
Затем исследуется функция в общем виде
после чего
Возникает проблема построения графика функции
y = –2·x
2
+ 12·x – 14, поскольку известным способом (по точкам)
«увидеть» график не удается
попытаемся
Однако вопрос остался
поэтому
D(f).
Четность.
Периодичность.
Нули.
Интервалы знакопо
стоянства.
Промежутки:
возрастания,
убывания.
Наибольшее и наименьшее значение
Привлечь свойства
Получить график путем сложения графиков функций
y = –2·x
2
и y = 12·x – 4
Намечается путь усложнения аналитического задания функции
И находятся методы
Построение с помощью переноса графика
С помощью переноса системы координат
Часть VI. Изучение содержательных линий математики в основной школе
⇒
⇒