Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
296
Приложение 35
Изучение функции у = ах
2
+ n
(вид доски)
у = 2х + 3, у = — х
2
+ 5х,
у = 2х
2
+ 2, у = 7 — х
2
+ 3х, у = 2х
2
,
у = х
3
+2,
у = 2(х – 2)
2
,
у = 2(х – 2)
2
+ 2.
Построение графика функции
у = ах
2
+ п
Задание 1. Построить график функции у = 2х
2
+ 2 (используя график функции у = 2х
2
).
у = 2(х – 2)
2
+ 2,
у = (х – 3)
2
– 2
у = ах
2
+ п
у = а(х – т)
2
у = а(х – т)
2
+ п
у = 2х
2
+ 2,
у = — х
2
– 3.
у = 2(х – 2)
2
,
у = 3(х + 1)
2
Х
–2
–1 0
1 2
Каждая
ордина
та
увели
чивается
на 2
+2
х
1
у = 2х
2 8
2 0
2 8
у
1
у = 2х
2
+ 2 10 4
2 4
10
у = у
1
+ 2
График функции
y = 2x
2
+ 2 — парабола;
получается из параболы
y = 2x
2
параллельным переносом на 2 единицы вверх.
[Точка (0, 0) перемещается в точку (0, 2)]
y = –2x
2
+ 2 — ?
1) из y = –2x
2
(вверх на 2);
2) из y = 2x
2
(симметрия относительно OX и параллельный перенос вверх на 2)

297
Алгоритм для
у = ах
2
+ п
1. Построить график основной функции (выбрать нужный шаблон).
2. Определить координаты вершины параболы, которую надо построить (х = 0, у = ?). Сделать вывод о том, какое (какие)
преобразование (преобразования) графика надо использовать.
3. Построить график.
4. Проверить построение по направлению ветвей параболы.
Задание 2. Заполните таблицу и постройте графики заданных функций
у = –2х
2
+ 2
у = 2х
2
– 2
у = х
2
+ 2
Основная функция
у = 2х
2
или у = –2х
2
у = 2х
2
у = х
2
Координаты вершины
(0, 2)
(0, –2)
(0, 2)
Направление ветвей
↓
↑
↑
Далее в тетрадях строятся три графика; на доске проверка осуществляется с помощью шаблонов.
Задание 3. Приведите пример функции вида у = ах
2
+ п
и постройте в тетрадях ее график.
Задание 4.
1) Расскажите все о построении графика функции у = ах
2
+ п.
2) Расскажите все о построении графика функции у = f(х) + п,
если:
а) имеется шаблон графика функции у = f(х);
б) нет шаблона (см. рисунок).
y = f(x)
Часть VI. Изучение содержательных линий математики в основной школе

Приложения
298
Приложение 36
Методическая карта по книге «Квадратные уравнения»
Изучение темы начинается с двух задач
Задача 1.
Найти площадь участка и его периметр, зная его стороны
Задача 2.
Найти длину и ши
рину участка, зная его пери
метр и площадь
Выяснить определение квадратного уравнения:
уравнение вида
a·x
2
+
b·x
+
c = 0,
a
≠
0,
называется
квадратным
Возникает уравнение нового вида
При решении задачи
Обращение к справочнику позволяет
Возникают вопросы
У
знать формулу для вычисления корней квадратного уравнения:
2 1,
2 4
2
bb
a
c
x
a
−±
−
⋅
⋅
=
⋅
1. Как приме
нить опре
деление и формулу?
2. Нельзя ли уп
ростить вычис
ления по форму
ле корней квад
ратного уравне
ния?
3. Как была по
лучена формула?
4. Всегда ли можно пользо
ваться формулой?
5. Формула отражает связь между корнями и коэффициентами квадратного уравне
ния. Нет ли других связей?
6. Зачем нужно уметь решать квадратные урав
нения?
7. А для дру
гих уравне
ний есть формула кор
ней?
П о э т о м у р а с с м а т р и в а ю т с я
Примеры:
а) на выбор квадратных уравнений из списка;
б) на вычис
ление кор
ней квад
ратного уравнения
Ситуация 1:
упрощение ко
эффициентов.
Ситуация 2:
сведение к урав
нению а) с положительным первым коэффициентом,
б) с первым коэффициен
том, равным 1.
Ситуация 3:
если коэффици
енты
b
и
c равны 0, то можно не пользоваться формулой
Способ 1:
ме
тод разложе
ния на множи
тели;
способ 2:
метод извлечения квадратного корня
Исследование квадратных уравнений и у
совершенст
вование алго
ритма
Т
еорема
Виета
(прямая и обрат
ная) и ее примене
ние
1. Решение уравнений,
приводимых к квадратным.
2. Решение текстовых задач с помо
щью уравне
ний
Беседа матема
тика «От частного к обще
му»

299
Часть VII. Ð

1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   35

Приложения
300
Ход урока
I. Повторение теоретического материала, пройденного ранее
(7—8 класс):
• признаки равенства прямоугольных треугольников;
• синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного тре
угольника;
• соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника;
• значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°;
• основное тригонометрическое тождество.
1. Двоим учащимся предлагается по готовым чертежам сфор
мулировать и доказать признаки равенства прямоугольных тре
угольников, заданные на дом для повторения к данному уроку.
(При доказательстве учащимся разрешается пользоваться при
знаками равенства треугольников, теоремой Пифагора, теоремой о сумме углов треугольника.)
Вместе с учениками делается вывод:
Чтобы задать прямоуголь
ный треугольник достаточно задать только два его элемента,
перечисленных в признаках.
Учащимся задается вопрос: «Можно ли однозначно задать прямоугольный треугольник двумя его острыми углами?» Ответ:
«Такое задание треугольника невозможно, так как, зная только два острых угла прямоугольного треугольника, мы можем по
строить бесконечное множество треугольников с заданными уг
лами и не равных между собой, а подобных друг другу».
На основании проведенного повторения делается еще один
важный вывод:
Любой прямоугольный треугольник можно однозначно задать какойто одной его стороной (либо гипотенузой, либо катетом)
и одним острым углом, а все остальные неизвестные элементы пря
моугольного треугольника можно найти, используя данные элементы,
при помощи изученных в 8 классе понятий синуса, косинуса и танген
са острого угла прямоугольного треугольника, поскольку эти понятия как раз и показывают связь между сторонами и углами прямоуголь
ного треугольника согласно их определениям. Вспомним их.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, стороны которого равны а, b, с:
A
B
C
a
b
c

301
Ученикам задаются вопросы:
• Какое понятие связывает катет, противолежащий ему ост
рый угол и гипотенузу? (Синус этого угла.)
• Как математически можно записать эту связь? (sinA = а : с,
а = с·sinA, с = а :sinA).
• Какие другие соотношения есть между сторонами и углами прямоугольного треугольника?
Так, вместе с учениками вспоминаются определения синуса;
косинуса; тангенса, изученные в 8 классе (для прямоугольного треугольника) и соответствующие соотношения.
Определение 1. Синусом острого угла прямоугольного треуголь
ника называется ОТНОШЕНИЕ противолежащего катета к гипо
тенузе.
Определение 2. Косинусом острого угла прямоугольного тре
угольника называется ОТНОШЕНИЕ прилежащего катета к ги
потенузе.
Определение 3. Тангенсом острого угла прямоугольного тре
угольника называется ОТНОШЕНИЕ противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
См. соответствующие записи на рисунке:
3. Выведем значения синуса; косинуса; тангенса для углов 30°;
45°; 60°, которые часто встречаются в геометрических задачах.
A
B
C
a
b
c
sin
a
A
c
=
cos
b
A
c
=
sin tg cos
a
a
A
c
A
b
b
A
c
= = =
30°
60°
45°
45°
A
B
C
c
A
B
C
c
1 2
a
c
=
2 2
1 3
4 2
b
c
c
c
=
−
=
1 2
a
c
=
1 2
b a
c
= =
Часть VII. Методика изучения тригонометрии

Приложения
302
Данные значения вписываются в таблицу:
α
Градусные меры углов
0°
30°
45°
60°
90°
180°
sin
α
0 1
0 1
2 2
2 3
2 1
2 2
2 3
2
сos
α
1 0
–1
tg
α
0 1
3 3
1
—
0
Замечание. Значения для углов 0°; 90°; 180° вносятся в таблицу позже (после их нахождения).
4. Вспоминается и доказывается на доске
Основное тригонометрическое тождество:
sin
2
A + cos
2
A = 1
Доказательство: По определению синуса и косинуса имеем следующее:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sin cos
1
a
b
a
b
c
A
A
c
c
c
c
+
+
=
+
=
=
=
(так как по тео
реме Пифагора: a
2
+ b
2
= c
2
).
Мотивом или итогом этого этапа урока может быть иной способ нахождения значений синусов или косинусов. Раньше оба этих значения находились по определению, а теперь достаточно найти, например, по определению одно значение, а потом из основного тригонометрического тождества вычислить другое. Тан
генс можно будет найти как отношение синуса к косинусу.
II. Изучение нового материала.
1. Получим значения синуса; косинуса; тангенса для углов 0°;
90°, исходя из здравого смысла.
• Если угол А уменьшать до 0°, пока точка B не совпадет с точкой C, то сторона BC, равная a треугольника ABC,
уменьшится до 0, а гипотенуза AB станет равной AC
⇒ c = b.
Тогда
0
sin0 0
a
c
c
° = = =
; cos0 1
b
b
c
b
° = = =

303
• Если угол А увеличивать до 90°, пока точка A не совпадет с точкой C, то сторона AB, равная b треугольника ABC,
уменьшится до 0, а гипотенуза AB станет равной CB
⇒ c = a.
Тогда sin90 1
a
c
c
c
° = = =
;
0
cos90 0
b
c
b
° = = =
2. Итак, мы распространили правило нахождения синуса, ко
синуса и тангенса угла с острых углов прямоугольного треуголь
ника на углы 0° и 90°. Возникает закономерное желание распро
странить такое правило нахождения синуса, косинуса и тангенса угла на тупые углы и даже на развернутый угол. Таким образом мы «отрываем» понятия синуса, косинуса и тангенса (одновре
менно расширяя эти понятия) от прямоугольного треугольника и делаем эти понятия также характеристиками угла (позже в курсе алгебры будет показано, что синус, косинус и тангенс являются функциями угла, т. е. угол является для них аргументом). Чем это поможет в геометрии? Мы сможем работать с тупоугольными треугольниками.
3. Мотивация использования единичной полуокружности.
Когда мы находили синус, косинус и тангенс для острых углов,
то мы длины катетов а и b выражали через длину гипотенузы с.
Другими словами мы измеряли катеты в гипотенузах (вернее в ее частях, так как любой катет всегда меньше по длине гипотенузы).
Таким образом мы выбрали гипотенузу за единицу измерения
(бывают единицы измерения: метры; сантиметры; вершки; ар
шины, у нас же будет единица измерения 1 (одна) гипотенуза для измерения длин катетов). Для удобства математики предложили вместо с (длины гипотенузы) сразу писать 1. Это обусловлено еще и тем, что на 1 удобнее всего делить, находя значения синуса и косинуса!!! В этом случае получаем, что:
sin
1
a
a
A
a
c
= = =
;
cos
1
b
b
A
b
c
= = =
Кроме этого оказалось удобным использовать великое откры
тие Декарта: систему координат.
Сначала научимся правильно откладывать и измерять углы на декартовой плоскости. Для этого сформулируем правило, кото
рым будем пользоваться мы (и которым пользуются все матема
тики) при выполнении этих операций.
Часть VII. Методика изучения тригонометрии

Приложения
304
Правило откладывания и измерения углов на декартовой плос
кости:
На декартовой плоскости (xOy) углы с вершиной в начале коор
динат (в точке O) откладываются и измеряются против часовой
стрелки от положительной полуоси абсцисс (оси Ох).
Поместим прямоугольный треугольник с острым углом
α
и гипотенузой, равной 1, в систему координат по этому правилу.
Пусть точка М имеет координаты х и у:
O
M(x, y)
C
x
x
y
y
1
α
Посмотрим, как можно объяснить определения синуса и ко
синуса острого угла, используя декартову систему координат.
cos
1
x
x
α = =
; следовательно, соs
α — это абсцисса точки М.
sin
1
y
y
α = =
; следовательно, sin
α — это ордината точки М.
4. Введение определений для углов от 0° до 180°.
Если изменять величину угла от 0° до 180°, то конец гипотену
зы, двигаясь подобно Солнцу с Востока на Запад по небосводу в течение дня, опишет полуокружность. Эту полуокружность называют единичной полуокружностью (подумайте почему).
Распространим определение косинуса и синуса с острых углов на все углы из первой и второй четвертей, т. е. 0°
≤ α ≤ 180°.
Определение.
соs
α — это абсцисса точки М,
sin
α — это ордината точки М,
где М — точка пересечения единичной полуокружности с лучом,
выходящим из начала координат под углом
α к оси Ox. Угол α
меняется от 0° до 180° (0°
≤ α ≤ 180°).