Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

305
Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для углов 0°,
90°, 180° (ученики убеждаются, что для 0° и 90° здравый смысл не подвел, для 180° заполняется соответствующий столбик таблицы).
Итак, следует запомнить, что косинусу соответствует X,
а синусу соответствует Y.
Чтобы это быстрее запомнить, можно использовать следую
щую аналогию:
При записи координат точки на плоскости (X; Y) принято первой писать координату X (Абсциссу точки), а второй координату Y (Ор
динату точки). В русском алфавите буква А ... стоит впереди буквы
О, аналогично и в латинском (или английском) алфавите: буква
C (Cos) идет раньше, чем буква S (Sin). По нашей «лирической»
аналогии (не имеющей почти никакого отношения к математике)
можно проще запомнить, что косинус — это X, а синус — это Y.
Поэтому математики называют:
ось Ox — осью косинусов;
ось Oy — осью синусов.
r
G
единичная полуокружность
–1
≤ x = cosα ≤ 1 0
≤ y = sinα ≤ 1
M(x, y)
y
1 0
1 x
1
α
x = cos
α
y
= sin
α
–1
r
G
единичная полуокружность
–1
≤ x = cosα ≤ 1 0
≤ y = sinα ≤ 1
M(x, y)
y
1 0
1 x
1
α
x = cos
α
y
= sin
α
–1
Часть VII. Методика изучения тригонометрии

Приложения
306
Заметим, что –1
≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ 1; т. е.
–1
≤ cosα ≤ 1; 0 ≤ sinα ≤ 1; для 0° ≤ α ≤ 180°.
Значит, для острых углов значения косинусов положительные
(> 0), а для тупых — значения косинусов будут отрицательными
(< 0), а значения синуса и для острых, и для тупых углов положи
тельны.
Итак, с помощью единичной полуокружности мы дали опре
деления тригонометрическим понятиям.
5. Доказательство некоторых тождеств.
Покажем также, что основное тригонометрическое тождество выполняется и для углов
α, лежащих в 1й и 2й четвертях декартовой плоскости (0°
≤ α ≤ 180°).
Доказательство:
Для доказательства воспользуемся уравнением единичной по
луокружности. Это уравнение нетрудно получить из уравнения окружности, центр которой находится в начале координат и радиус равен 1, а также учитывая, в каких пределах меняются X
и Y. Уравнение единичной окружности: X
2
+ Y
2
= 1.
Уравнение единичной полуокружности:
X
2
+ Y
2
= 1; –1
≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ 1.
По новому определению косинуса и синуса имеем: X = cos
α;
Y = sin
α ⇒ X
2
+ Y
2
= cos
2
α
αα
αα + sin
2
α
αα
αα = 1
Основное тригонометрическое тожество:
cos
2
α
αα
αα + sin
2
α
αα
αα = 1 (0° ≤ α ≤ 180°)
Итак, зная значение синуса или косинуса, можно найти все остальные значения. А как узнать хотя бы одно значение для тупого угла, например, sin150°? Для этого существуют специаль
ные формулы.
Формулы приведения
Формулы, которые позволяют привести (выразить) значения синуса и косинуса для тупых углов к значениям синуса или косинуса острых углов, называются формулами приведения.
Выведем и докажем некоторые из них:
sin(90° +
α
αα
αα) = cosααααα
sin(180° —
α
αα
αα) = sinααααα
cos(90° +
α
αα
αα) = –sinααααα
cos(180° —
α
αα
αα) = –cosααααα

307
План доказательства отражен на рисунках:
1) найти точки, соответствующие заданным углам,
2) для них выделить соответствующие тригонометрические значения,
3) доказать равенство модулей этих значений из равенства треугольников,
4) определить знаки этих значений из расположения на коор
динатной плоскости,
5) сделать вывод.
Замечание. Полезно доказать для случая 90°
≤ α ≤ 180° тождества:
y
α
α
90° +
α
sin
α
cos(90° –
α)
sin(90° +
α
)
x
y
x
α
α
180° –
α
cos
α
cos(180° –
α)
sin(180° –
α)
sin
α
cos
α
Есть еще два тождества, которые позволяют уменьшить ост
рый угол до 45°. Это тождества:
Доказательство следует из соотношений в прямоугольном тре
угольнике и отражено на рисунке:
sin (90° –
α
αα
αα) = cosααααα
cos (90° –
α
αα
αα) = sinααααα
sin (180° –
α
αα
αα) = sinααααα
cos (180° –
α
αα
αα) = –cosααααα
III. Решение задач из учебника и подведение итогов урока.
Часть VII. Методика изучения тригонометрии
O
1
α
90° –
α
sin
α
= cos(90° –
α
)
cos
α = sin(90° – α)

Приложения
308
Приложение 38
Проверка готовности учащихся к изучению темы
«Тригонометрические функции»
(Фрагмент учебника [16, С. 151])
Проверка готовности
Измерение углов
1. Что такое градус?
2. Чему равна градусная мера углов ВАF, ВАD,
ВFD, ВFЕ, ВFС? (А, В, С, D, Е, F — вершины правильного шестиугольника — рис.)
3. Что такое радиан?
4. Какова связь между градусной и радиан
ной мерой угла?
5. К какому числу ближе радианная мера угла в 100°: 0,2; 0,7; 1,2; 1,7; 2,2?
Соотношения в треугольнике
6. АВ = 3, ВС = 4, АС = 5; А, В, С — углы треугольника.
Вычислите sinA, cosC, tgC, ctgC, сosB.
7. АВ = 3, ВС = АС = 4. Вычислите cosA, sinB, sinC, tgA, tgC.
8. АВ = 3, ВС = 4, АС = 6. Вычислите cosВ.
9. В прямоугольном треугольнике синус одного из углов равен
1 2
Найдите углы треугольника.
10. В треугольнике АВС известно, что cosА =
3 2
, tgВ = 1.
Найдите угол С.
Вращательное движение
Точка равномерно движется по окружности радиуса R.
11. Что такое ее угловая скорость?
12. Как направлена ее линейная скорость?
A
B
C
D
E
F

309 13. Как связаны между собой линейная скорость, угловая скорость и радиус окружности?
14. Точка начала двигаться по окружности из начального поло
жения А с угловой скоростью 3 1
сек
. Сколько раз она побывает в точке А за минуту (не считая исходного момента)?
15. Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны друг другу?
Техника вычислений
16. х =
2 3
. Вычислите
2 1 x
−
, 1 +
2 1
x
,
2 1
x
x
+
17. Сколько разных чисел записано в следующем ряду:
3 2
,
1 2
,
2 2
,
12 4
,
3 4
,
18 6
,
27 6
,
3 2 3
,
3 6
,
1 2
?
18. Решите уравнение х
4
=
1 4
19. а
2
+ b
2
= 1; аb = х. Выразите через х: а
4
+ b
4
, а
6
+ b
6
и а
8
+ b
8
.
20. Какие значения принимает выражение х
2
– х + 1, если
¦х¦
≤ 1?
Приложение 39
Изучение измерения углов
С измерением углов связаны две меры: градусная и радианная,
поэтому в школьном курсе рассматривается как введение соот
ветствующих понятий (что означает единица соответствующего измерения, каковы свойства измерения углов), так и связь между разными мерами углов. В материалах В.Ф. Шаталова показан опорный конспект, создаваемый учителем во время объяснения радианной меры углов и ее связи с градусной мерой.
Часть VII. Методика изучения тригонометрии

Приложения
310
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ (опорный конспект)
1° дуговой =
1 180
части окружности
1° угловой — центральный угол
1° = 60'
1' = 60''
Франция — 400
Артиллерия — 60 б.д.у.
6000 м.д.у.
A
R
a
r
∪ =
∪
A
a
R
r
∪
∪
=
= ... = const = радианная мера угла
A
R
∪
= 1, если
A
R
∪ =
2 2
R
R
π = π
радиан 360° – 2
π рад
1 радиан
≈ 57°17'45''
180° —
π радиан
180
A
°⋅α
° =
π
А° —
α радиан
180
A
°⋅π
α =
°
Дешифровка опорного сигнала
С углами математики издавна связывают окружность. Приня
то считать один радиус началом отсчета (откладывания) углов,
направление против часовой стрелки — положительным, по часо
вой стрелке — отрицательным.
Если дугу окружности разделить на 360 равных частей, то каждая такая часть называется дуговым градусом.
Угловой градус — это центральный угол, опирающийся на дуговой градус. Многие думают, что иных угловых мер просто не
–
+
r
R
A
α

311
существует. Однако, это не так. Во время французской буржуаз
ной революции была перекроена вся система мер, и в результате этого окружность стали делить на 400 равных частей (каждую четверть окружности делили еще на 100 равных частей).
Артиллеристы же с давних времен делят окружность на
60 частей, и каждая часть называется большим делением угломера.
А в нем, в свою очередь, 100 малых делений угломера. Так привык
ли. Так ведут свои расчеты и градусы им просто не нужны.
Еще в 6 классе всем ученикам учителя предлагают проверить,
что отношение длины к окружности к ее диаметру — величина постоянная, равная приблизительно 3,14. Это число
π. Так же просто можно убедиться, что и отношение длины дуги одной и той же градусной меры к ее радиусу — величина постоянная.
Значит, это отношение может служить мерой угла.
Радианная мера угла — это отношение длины дуги к радиусу этой дуги. Это отношение будет равно единице, если длина дуги будет равна ее радиусу. Радиан — это центральный угол, опираю
щийся на дугу, равную радиусу этой дуги.
Окружность содержит 2
π радиан.
Не следует загружать свою память формулами перехода от радианной меры к градусной и обратно. С одной стороны пользо
ваться ими приходится не столь уж часто, а с другой — вполне достаточно понимать связь 360° это 2
π радиан или 180° — это
π радиан. Из нее в считанные секунды можно получить обе формулы.
Приложение 40
Конспект урока «Арксинус, арккосинус» в 10 классе
Цели:
1) вспомнить алгебраический и графический методы решения
уравнений и три способа решения уравнений алгебраическим мето
дом (по определению некоторых понятий, с использованием равно
сильных преобразований, по формуле корней),
2) вывести теорему о корне,
3) ввести определения арксинуса и арккосинуса некоторого числа
и их свойства.

Приложения
312
Ход урока
1. Мотивация темы. (Без понятий арксинуса и арккосинуса некоторого числа решение тригонометрических уравнений и не
равенств просто невозможно.)
2. Актуализация знаний по методам решения уравнений.
(Перспективные цели этого материала: при решении тригоно
метрических уравнений пользуются различными способами решения
уравнений алгебраическим методом, а при выводе формул решения
простейших тригонометрических уравнений используют графиче
ский метод.)
Методы решения уравнений
1) Алгебраический
2) Графический а) x
2
= 4
б) 2x + 2 = 5
в) x
2
+ x – 2 = 0
Устно решаются три перечисленных уравнения, и выделяются способы их решения:
а) Первое уравнение решается по определению квадратного корня.
б) Второе — с использованием равносильных преобразований:
перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей уравнения на одно число.
в) Третье — по формуле корней квадратного уравнения или по теореме, обратной теореме Виета.
На примере уравнения x
2
= 4 вспоминается графический метод.
3. Актуализация знаний по изучению понятия арифметического
квадратного корня.
На примере уравнения x
2
= 7 вспоминается схема введения понятия арифметического квадратного корня:
• применение графического метода,
• обнаружение наличия у уравнения нескольких корней,
• выделение проблемы записи одного из корней,
• введение специального обозначения
,
• выражение других корней через найденный.

313
Итоговая запись на доске:
a
— число из промежутка [0; +∝), квадрат которого равен a
4. Введение теоремы о корне.
На примере уравнения x
2
= 7 увидели, что при его решении все свелось к нахождению одного его корня, другой же выразился через него.
В математике есть теорема, которая гарантирует один корень и указывает условие, когда он единственный. Она так и называ
ется: теорема о корне.
Теорема о корне
Пусть функция f(x) возрастает (убывает) на некотором проме
жутке, а — одно из значений этой функции на этом промежутке.
Тогда уравнение f(x) = a имеет на этом промежутке ровно один
корень.
(Ученики записывают формулировку и выделяют условие, ко
торое гарантирует корень — а одно из значений функции, и условие,
которое обеспечивает единственность корня — возрастание (убы
вание) функции на промежутке.)
Теорема интерпретируется на уравнении x
2
= 7. Показывается,
что из двух возможных промежутков (–
∝;0] и [0; +∝) математики
Этот опыт учащихся помогает ввести понятие арксинуса неко
торого числа.
Графическое решение и алгебраическую запись корней можно показать так:
7
–
7
y
7 0
x
Часть VII. Методика изучения тригонометрии

Приложения
314
выбрали более удобный промежуток [0; +
∝) и корень на этом промежутке обозначили
7
5. Введение определения arcsin
a.
Ставится задача: найти одно решение уравнения sinx = a,
и выделяется условие, которое гарантирует хотя бы одно реше
ние, т. е. такие значения а, при которых уравнение имеет ре
шение: –1
≤ a ≤ 1.
Поскольку пока это уравнение решить алгебраическим спосо
бом ученики не могут, предлагается разрешить поставленную задачу с использованием графического метода (используется го
товый рисунок на доске).
Начинают с а = 1. Решая графически уравнение sinx = 1,
ученики получают корни:
2
x
π
=
,
3 2
x
π
= −
, ...
Таким образом, ученики выяснили, что, данное уравнение имеет бесконечно много корней, хотя задача и была найти только один корень.
Далее рассматривается произвольное число а из промежутка
[–1, 1]:
y
x
1
–1
–2
π
–
π
0
π
2
π
3
π
2 3
π
–
2
Применяется графический метод, выясняется, что уравнение имеет бесконечное множество корней, напоминается задача уро
ка о нахождении одного корня этого уравнения, возвращаются к подходу, примененному при решении уравнения x
2
= 7:
1) выбрали промежуток, на котором уравнение имеет один корень,
2) ввели новое обозначение (
7
),
3) другой корень выразили через первый (–
7
).
Тот же подход используется для уравнения sinx = a (последний этап переносится на следующие уроки).
1) Выбирается промежуток, на котором уравнение sinx = a, где
–1
≤ a ≤ 1, имеет ровно одно решение. Используя теорему о корне, ученики предлагают разные промежутки.
π
–
2
π
2
a

315
Сообщается, что математики выбрали
,
2 2
π π
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
, видимо,
посчитали, что на этом участке график наиболее читаем.
Проверяется для этого промежутка теорема о корне: функция
y = sinx на отрезке
,
2 2
π π
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
возрастает, значит уравнение sinx = a,
где –1
≤ a ≤ 1, на этом промежутке имеет ровно один корень.
2) Стирается ненужная часть графика, и описывается словами корень на этом промежутке: число из промежутка
,
2 2
π π
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
, синус
которого равен а, если –1
≤ a ≤ 1, затем вводится термин и запись:
arcsina.
Определение. Арксинусом числа
а, где –1
≤ a ≤ 1, называется число (угол) из промежутка
,
2 2
π π
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
, синус которого равен а.
Сравнивается это определение с определением
a
:
arcsin
a
a
— число из промежутка
[0;
)
,
2 2
+ ∝
π π
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
, квадрат синус которого равен а.
Сравниваются и условия, которым должно удовлетворять а:
в первом случае: a
≥ 0, во втором: –1 ≤ a ≤ 1.
arcsina
π
–
2
π
2
y
x
0 1
–1
a
Часть VII. Методика изучения тригонометрии