Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
316
Пример:
Вычислить arcsin
1 2
Сначала выясняется, имеет ли это выражение смысл. Далее можно решать, используя график, единичную окружность или таблицу основных значений:
1
arcsin
2 6
π
=
, так как
1)
[ ]
1 1,1 2
∈ −
,
2)
1
sin
6 2
π =
,
3)
,
6 2 2
π
π π
⎡
⎤
∈ −
⎢
⎥
⎣
⎦
Далее ученикам предлагаются примеры, которые они подроб
но комментируют:
arcsin0
=
3
arcsin
2
=
2
arcsin
2
=
6. Выделение свойств арксинуса. Прежде чем решать следую
щие примеры, предлагается рассмотреть и доказать некоторые свойства арксинуса, которые могут облегчить вычисления и конт
ролировать себя.
1е свойство следует из определения арксинуса:
arcsin
2 2
a
π
π
− ≤
≤
2е свойство выражено формулой:
arcsin(–
a) = –arcsina
π
–
2
π
2
y
x
0 1
–1
a
–a

317
Доказательство:
Функция y = sinx симметрична относительно 0. Отсюда очевид
но равенство отрезков ОА и ОВ. Значит, arcsin(–a) = –arcsina.
Формулируется правило: Знак «минус» можно выносить за знак
арксинуса.
С использованием этого правила вычисляются следующие значения:
1
arcsin
2
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
3
arcsin
2
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
arcsin(–1) =
Итак, поставленная в начале урока задача найти один корень
уравнения sinx = a решена: x = arcsina. Но уравнение имеет бесконечно много решений, какие они, и как они выражаются через arcsina,
будет изучено через несколько уроков.
7. Формирование понятия arccos
a.
Еще раз выделяются этапы рассуждений про арксинус:
1) Начали с уравнения sinx = a.
2) Решили использовать графический метод:
построили y = sinx и y = a, где –1
≤ a ≤ 1.
3) Выделили промежуток
,
2 2
π π
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
, где уравнение имеет один корень.
4) Дали определение арксинуса.
5) Вывели тождество, которое помогает находить арксинус отрицательного числа.
Вызывается один ученик к доске и вместе с ним 4 первых пункта этого плана реализуется для уравнения cosx = a.
Вопрос по ходу ответа.
Почему в данном случае нельзя выбрать промежуток
,
2 2
π π
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
?
Пример:
2
arccos
2 4
π
=
, так как
1)
[ ]
2 1,1 2
∈ −
; 2)
[ ]
0,
4
π ∈ π
; 3)
2 4
2
π ∈
Часть VII. Методика изучения тригонометрии

Приложения
318
Далее ученики вычисляют:
arccos0 =
arccos
1 2
=
3
arccos
2
=
Свойства арккосинуса изучаются вместе с учителем.
Свойства арккосинуса.
1. Из определения: 0
≤ arccosa ≤ π.
2. arccos(–a) =
π – arccosa.
Доказательство:
Из рисунка видно:
OB = OC – BC
BC = OA (из симметрии относительно Р)
OB = OC – OA
↓ ↓ ↓
arccos(–a) =
π – arccosa
Для того, чтобы не путать арккосинус отрицательного числа
с арксинусом отрицательного числа, отмечается, что:
1) arccosa
≥ 0,
2) арккосинус отрицательного числа всегда тупой угол.
Арксинус же может быть отрицательным, а угол, ему соответ
ствующий, тупым быть не может.
Решаются примеры:
1
arccos
?
2
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
;
( )
arccos
1
?
− =
;
2
arccos
?
2
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Итак, одно решение для уравнения cosx = a, как и в случае с sinx = a , найдено: x = arccosa.
Остальные решения легко выражаются через найденное реше
ние, но это – материал следующих уроков.
8. «История
» обозначения.
Теперь, когда познакомились с арксинусом и арккосинусом, настало время подумать: почему в этих терминах пишется приставка arc.
Дело в том, что значением арксинуса (арк
косинуса) является некоторый угол.
Углу (см. рис.) соответствует некоторая дуга, а полатыни дуга —
arc. Отсюда и название. (Пример арки из архитектуры.)
arccos(–a)
arccosa
y
x
a
–a
0
B
C
P
π
π
2
A
α
α

319
9. Закрепление.
Два ученика вызываются к доске, один решает № 121, другой —
№ 122 учебника [7].
Устно выполняется № 124.
10. Подведение итогов урока.
11. Задание на дом: п. 8 (1—3) № 116 (а, б), 125, 126, 129 (а, г).
Приложение 41
Схемы решения простейших тригонометрических неравенств
Схема № 1
1. Заменить неравенство уравнением (уст
но), отметить на единичной окружности точки, соответствующие уравнению.
Пример cosx
≥ –
1 2
2. Отметить на единичной окружности точки, соответстующие неравенству (выде
лить соответствующую дугу).
3. Определить, для какой точки соответ
ствующий угол попадает в область значений аркфункции (основную точку), и найти угол,
ей соответствующий (этот угол из проме
жутка [0;
π] и равен arсcosa).
4. Выбрать направление отсчета (от ос
новной точки по отмеченной дуге). Если направление положительное, то угол, соот
ветствующий второму концу дуги, будет по
ложительным. Если направление отрица
тельное, то отрицательным.
1
–
2 1
–
2 1
–
2 1
–
2
π
π –
3
π
π –
3
Часть VII. Методика изучения тригонометрии

Приложения
320 5. Определить угол, соответствующий вто
рому концу дуги.
1
–
2
π
π –
3 6. Записать ответ в виде двойного нера
венства с учетом периодичности функции
(в двойном неравенстве слева пишется мень
ший угол).
7. Записать ответ в виде промежутка.
2 2
2 2
,
3 3
n
x
n n Z
π
π
π −
≤ ≤
+ π
∈
2 2
2
;
2
,
3 3
n
n
n Z
π
π
⎡
⎤
−
+ π
+ π
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
Ответ:
Схема № 2
2. Отметить на единичной окружности точки, соответстующие неравенству (выде
лить соответствующую дугу).
3. Указать направление отсчета (на выде
ленной дуге отмечается положительное на
правление, т. е. направление против часовой стрелки).
Пример cosx
≥ –
1 2
1. Заменить неравенство уравнением (уст
но) и отметить на единичной окружности точки, соответствующие уравнению.
1
–
2 1
–
2 1
–
2
π
–
π +
3

321
или
4. Найти начало дуги и угол, ему соответст
вующий.
5. Найти угол, соответ
ствующий концу дуги.
1
–
2 1
–
2 1
–
2 1
–
2
π
π –
3
π
π +
3
π
π +
3
π
3π –
3
π
–
π +
3 6. Записать ответ в виде двой
ного неравенства с учетом пе
риодичности функции (в двой
ном неравенстве слева пишется угол, соответствующий началу дуги).
2 2
2 2
,
3 3
n
x
n n Z
π
π
π −
≤ ≤
+ π
∈
4 8
2 2
,
3 3
n
x
n n Z
π
π
π +
≤ ≤
+ π
∈
или
2 2
2
;
2
,
3 3
n
n
n Z
π
π
⎡
⎤
−
+ π
+ π
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
4 8
2
;
2
,
3 3
n
n
n Z
π
π
⎡
⎤
+ π
+ π
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
7. Записать ответ в виде про
межутка.
Ответ:
Часть VIII. Методика изучения функций
в старших классах
В старших классах функциональная линия развивается в сле
дующих направлениях:
• вводится определение функции через соответствие между множествами;
• рассматриваются новые виды функций (тригонометриче
ские, показательная, логарифмическая, обратная функция,
Часть VIII. Методика изучения функций в старших классах
+
+
π
–
π +
3

Приложения
322
сложная функция; функция как аргумент при нахождении производной и определенного интеграла);
• изучаются новые свойства функции (периодичность, не
прерывность, дифференцируемость);
• рассматриваются новые методы исследования свойств функ
ции (с использованием свойств обратной функции, с ис
пользованием производной).
Приложение 42
Методическая схема изучения функций в старших классах
1. Определение рассматриваемой функции, ее запись с помощью формулы, исследование параметров, входящих в эту формулу.
2. Примеры из реальной жизни, науки, техники, приводящие к данной функции.
3. Исследование свойств функции.
4. Построение графика функции. Установление влияния пара
метров на характер графического изображения функции.
5. Применение свойств функций для решения уравнений и неравенств.
Исследование свойств функций в старших классах
В старших классах рассматриваются следующие способы ис
следования свойств функций:
• свойства могут быть получены из определения конкретной функции (так могут изучаться тригонометрические функции),
• свойства могут быть получены из графика (так может изучаться показательная функция),
• свойства могут быть получены из свойств обратной функ
ции (так может изучаться логарифмическая функция),
• свойства могут быть получены с использованием производ
ной (так могут изучаться степенная функция и произволь
ная функция).

323
Приложение 43
Учебный модуль по теме «Производная»
Задание 1. Изучите теоретический материал, изложенный ниже.
Теория
Определение производной функции.
Задача. Пусть задан закон механического движения, например
2 2
gt
S
=
. Требуется найти скорость движения в момент времени t
0
(мгновенную скорость). График движения представлен на рис. 1.
«Растянем мгновение» и рассмотрим движение на малом проме
жутке времени [t
0
; t] (рис. 2).
Часть VIII. Методика изучения функций в старших классах
S
0
t
0
t
Рис. 1
Рис. 2 2
2
gt
S
=
S
0
t
0
t
ΔS
Δt
2 2
gt
S
=
t
На этом промежутке график движения «выглядит» почти как отрезок, а это означает, что движение на этом промежутке можно считать равномерным. Тогда скорость движения на этом участке с большой степенью достоверности характеризуется средней ско
ростью и находится как отношение пройденного пути
ΔS к за
траченному времени
Δt:
ср.
S
v
t
Δ
=
Δ
Будем уменьшать промежуток времени. Тогда средняя скорость будет стремиться к мгновенной скорости: v
ср.
→ v
мгн.
при
Δt →0.

Приложения
324
Таким образом:
мгн.
S
v
t
Δ →
Δ
Обобщим рассмотренную задачу и ее решение на случай, если задана функция f(х), и требуется найти скорость изменения функ
ции в точке х
0
(мгновенную скорость изменения функции).
Рассмотрим изменение функции на промежутке [х
0
; х] (рис. 3).
Изменение функции на этом промежутке равно
Δf = f(х) – f(х
0
).
Средняя скорость изменения функции на этом промежутке равна отношению приращения функции к приращению аргумента:
0
ср.
( )
(
)
f x
f x
f
v
x
x
−
Δ
=
=
Δ
Δ
Пусть приращение аргумента стремится к нулю (
Δх →0), тогда средняя скорость изменения функции будет стремиться к мгно
венной скорости:
0
(
)
f
v x
x
Δ →
Δ
при x
→ 0.
В математике часто рассматривается мгновенная скорость из
менения функции в точке х
0
, и поэтому этой скорости дали специальное имя – производная и обозначение f’( х
0
).
Определение.
Производной функции f(х) в точке х
0
называется
число, к которому стремится отношение приращения функции
к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится
к нулю:
0
(
)
f
f x
x
Δ
′
→
Δ
при x
→ 0 или
0 0
( )
(
)
(
)
f x
f x
f x
x
−
′
→
Δ
при x
→ 0.
Физический смысл производной: производная — это скорость изменения функции в фиксированной точке.
Посмотрим на полученные результаты с точки зрения геомет
рии (рис. 4).

325
Отношение
f
x
Δ
Δ
есть тангенс угла А, а значит, и угла наклона секущей АВ, т. е. это отношение есть угловой коэффициент прямой, проходящей через точку А(х
0
, f(х
0
)) и точку В(х, f(х)). При
Δх →0 секущая стремится к касательной, проведенной к кривой в точке А. Отсюда угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной. Имеем:
к
сек.
=
f
x
Δ
Δ
→ к
кас.
при х
→0.
Но
0
(
)
f
f x
x
Δ
′
→
Δ
при x
→ 0, значит,
угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания:
k = f
′ (х
0
)
Геометрический смысл производной: производная — это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в заданной (фиксированной) точке.
Задание 2. Составьте конспект по изученной теории.
Задание 3. Сравните свой конспект со следующим:
y
x
0
x
0
x
Δx
y = f(x)
Δy
y
0
x
0
x
Δx
Δf
x
y = f(x)
A
B
Рис. 3
Рис. 4