Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
326
Опорный конспект
Производная функции
S
0
t
0
t
t
Δt
ΔS
y
0
x
x
x
0
A
B
Δx
Δf
y = f(x)
1. Физическая задача
Дано:
2 2
gt
S
=
Найти: v
мгн.
2 2
gt
S
=
ср.
S
v
t
Δ
=
Δ
Δt → 0
v
ср.
→ v
мгн.
0
( )
S
v t
t
Δ →
Δ
при
Δt → 0
Физический смысл производ
ной: производная — это ско
рость изменения функции в фиксированной точке
2. Обобщение
y = f(x)
0
ср.
0
( )
(
)
f x
f x
f
v
x
x
x
−
Δ
=
=
Δ
−
Δx → 0 0
(
)
f
v x
x
Δ →
Δ
0 0
0
( )
(
)
(
)
f x
f x
f
f x
x
x
x
−
Δ
′
=
→
Δ
−
при
Δx → 0
Определение. Производной функции f(x) в точке x
0
на
зывается число, к которому стремится отношение при
ращения функции к прира
щению аргумента, если при
ращение аргумента стремит
ся к нулю
3. Геометрическая интерпретация.
f
x
Δ
Δ
= tgA;
f
x
Δ
Δ
= k
сек.
k
сек.
→ k
кас.
при
Δx → 0
f
x
Δ
Δ
→ f’(x
0
) = k
кас.
Геометрический смысл производной: производная — это уг
ловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в заданной (фиксированной) точке

327
Задание 4. Ответьте на вопросы:
1) Что называется производной функции в заданной точке?
2) Каков геометрический смысл производной? Покажите это на рисунке.
3) Каков физический смысл производной?
Задание 5. Ответьте на вопросы задания 4 консультанту.
Задание 6. Изучите разобранные ниже упражнения.
Упражнение 1. Дана функция
у = 4 – 5х. Найдите у
′.
Решение
1. Найдем приращение функции:
Δу = 4 – 5 (х + Δх) – (4 – 5х) = 4 – 5х – 5Δх – 4 + 5х = –5Δх.
2. Найдем разностное отношение (отношение приращения функции к приращению аргумента):
y
x
Δ
Δ
= – 5.
3. Найдем число, к которому стремится разностное отноше
ние, если приращение аргумента стремится к нулю (найдем про
изводную функции):
Если
Δx, то
y
x
Δ
Δ
→ –5.
Значит, у
′ = (4 – 5х)′= –5.
Ответ: –5.
Упражнение 2. Дана функция
у =
x
. Найдите у
′ в точке х = 4.
Решение
1. Найдем приращение функции:
y
x
x
x
Δ =
+ Δ −
.
2. Найдем разностное отношение (отношение приращения функции к приращению аргумента):
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
−
=
+
−
(
)
⋅
+
+
(
)
⋅
+
+
(
)
=
=
+
−
⋅
+
+ xx
x
x
x
(
)
=
+
+
1
Δ
Часть VIII. Методика изучения функций в старших классах

Приложения
328 3. Найдем число, к которому стремится разностное отношение,
если приращение аргумента стремится к нулю (найдем производ
ную функции):
Если
Δx → 0, то
1 2
y
x
x
Δ →
Δ
Значит,
( )
1 2
y
x
x
′
′ =
=
4. Найдем значение производной в точке х = 4.
1 1
(4)
4 2 4
y
′
=
=
Ответ:
1 4
Упражнение 3. Прямолинейное движение точки задано урав
нением
s = 3t
2
– 2t + 5, где t дано в секундах, а s — в метрах. Найти скорость движения точки в момент t = 5 с.
Решение
1. Найдем среднюю скорость:
а)
Δs = s(t + Δt) — s(t) = 3(t + Δt)
2
– 2 (t +
Δt) + 5 – (3t
2
– 2t + 5) =
= 3t
2
+ 6 t
Δt + 3Δt
2
– 2t – 2
Δt + 5 — 3t
2
+ 2t – 5 = 6t·
Δt +3Δt
2
— 2
Δt.
б) cр.
6 3
2
S
v
t
t
t
Δ
=
= + Δ −
Δ
2. Найдем мгновенную скорость.
Если
Δx → 0, то
6 2
S
t
t
Δ → −
Δ
v
мгн.
= 6t – 2.
3. Найдем скорость движения точки в момент времени t = 5 с.
v(5) = 6 · 5 – 2 = 28 (м/с).
Ответ: 28 (м/с).

329
Упражнение 4. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у = х
3
в точке с абсциссой 1.
Решение
1. Найдем угловой коэффициент секущей:
а)
Δу = (х + Δх)
3
– х
3
= х
3
+ 3х
2
Δх + 3хΔх
2
+
Δх
3
– х
3
=
= 3х
2
Δх+ 3хΔх
2
+
Δх
3
;
б)
y
x
Δ
Δ
= 3x
2
+ 3x
Δx + Δx
2 2. Найдем угловой коэффициент касательной.
Если
Δx → 0, то
y
x
Δ
Δ
→ 3x
2
. Итак, k
кас.
= 3x
2 3. Найдем угловой коэффициент касательной в точке с абс
циссой 1.
k
кас.
= 3·1 2
= 3.
Ответ: 3.
Задание 7. Сформулируйте основные этапы выполненных вы
ше задач:
а) на вычисление производной,
б) на нахождение мгновенной скорости,
в) на нахождение углового коэффициента касательной.
Задание 8.Ответьте на вопросы задания 7 консультанту.
Задание 9. Выполните следующие упражнения и сравните свое решение с образцами, указанными в задании 6.
1. Дана функция у = 4 – 5х. Найдите у
′.
2. Дана функция у =
x
. Найдите у
′ в точке х = 4.
3. Прямолинейное движение точки задано уравнением s = 3t
2
–
– 2t + 5, где t дано в секундах, а s — в метрах. Найти скорость движения точки в момент t = 5 с.
4. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у = х
3
в точке с абсциссой 1.
Тренаж по нахождению производной функции по определению
1. а) Пользуясь определением производной, найдите произ
водные следующих функций (задание выполните в группах из
Часть VIII. Методика изучения функций в старших классах

Приложения
330
четырех человек, где каждый индивидуально выполняет один из вариантов).
№
Вид функции
I вариант
Вид функции
II вариант
Вид функции
III вариант
Вид функции
IV вариант
1.
5
y
=
y = sin2 3
2
y
=
y = 8 2.
y = x
y = x
y = x
y = x
3.
5
y
x
=
y = sin2·x
2 3
y
x
=
y = 8x
4.
y = x
2
y = x
3
y = 5x
2
y = 4x
3 5.
1
y
x
=
2
y
x
=
3
y
x
=
8
y
x
=
6.
y = x + x
2
y = x + x
3
y = x + 5x
2
y = x + 4x
3
б) сравните производные функций x, x
2
, x
3
,
1
x
,
x
. Наблюдаете ли вы какуюлибо закономерность? Какую?
в) Сравните производные функций, записанных в первой строчке. Наблюдается ли какаянибудь закономерность? Какая?
г) Сравните производные функций, записанные в первой,
второй и третьей строках. Какую закономерность Вы наблюдаете?
д) Сравните производные функций, записанные во второй,
четвертой и шестой строках. Какую закономерность Вы наблю
даете?
е) Заполните следующую таблицу:
1.
y = C
2.
y = x
3.
y = C·f(x)
4.
y = x
′′
5.
1
y
x
=
6.
y = f(x) + q(x)
№
Вид функции
Вид производной

331 2. Найти значение производной в точке а:
а) y = 4x
2
+ 3x + 1, a = 5;
б)
2 1
x
y
x
+
=
+
, а = 2 (проверить себя, сравнив свои решения в группе).
3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функ
ции y = 0,5x
2
в точке с абсциссой x
0
= 1 (проверить у консуль
танта).
4. Материальная точка массой 3 кг движется прямолинейно по закону x(t) = 3 – 2t + t
2
(время измеряется в секундах, координаты в метрах). Найти ее кинетическую энергию в момент t = 4
(проверить у консультанта).
5. Найдите производную функции y = |x| при x < 0 и при x > 0.
Существует ли у функции y = |x| производная в точке x = 0?
(проверить у учителя).
Приложение 44
Введение и усвоение определения
криволинейной трапеции
Цели: (Фрагмент урока по теме: «Площадь криволинейной трапеции»)
• ввести определение криволинейной трапеции;
• изучить формулу площади криволинейной трапеции;
• познакомиться с решением задач на вычисление площади кри
волинейной трапеции.
Тип урока: урок изучения нового материала.
План:
1. Введение и усвоение определения — 10—15 мин.
2. Доказательство теоремы о площади криволинейной трапе
ции — 15 мин.
3. Первичное закрепление изученного материала — 15 мин.
4. Постановка домашнего задания
2—3 мин.
5. Подведение итогов
⎧
⎨
⎩
Часть VIII. Методика изучения функций в старших классах

Приложения
332
Ход урока
Деятельность учителя
Деятельность ученика
1. Организационный момент.
Объявление темы урока учащимся: «Сегодня мы познакомимся с одним из применений пер
вообразной». После этого объявляется тема,
записывается на доске и в тетрадях учеников
2. Введение определения.
(На доске заранее подготовлены системы ко
ординат.)
В названии темы два знакомых термина: пло
щадь и трапеция. Вспомним, какая фигура называется трапецией?
Трапеция — это четырех
угольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие нет
В алгебре мы рассматриваем трапеции, рас
положенные определенным образом относи
тельно системы координат (выполняется ри
сунок):
Будет ли четырехугольник, у которого одна сторона лежит на оси 0x, две другие — ей перпендикулярны, а четвертая сторона —
в верхней полуплоскости, трапецией?
Учащиеся обосновывают свой ответ
Как вы думаете, какую фигуру можно назвать криволинейной трапецией?
Выслушиваются варианты
Сначала построим такую фигуру, а потом да
дим ей определение.
а) Возьмем на оси 0x отрезок [a, b] (отмечаем на рисунке вместе с учениками).
б) Пусть на этом отрезке задана непрерывная функция f(x), не меняющая на нем знака.
f(x) — непрерывна
f(x) — не меняет знака
y
x
0
y
x
0
a
b
y = f(x)

333
Окончание табл.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Как располагается график функции, если она на заданном отрезке не меняет знака?
в) Хорошо. Проведем прямые x = a и x = b.
г) Заштрихуем фигуру, ограниченную этими линиями.
Эта фигура называется криволинейной тра
пецией
Если функция на задан
ном отрезке не меняет знака, то она на этом от
резке не пересекает ось 0x
Перечислите, чем ограничена построенная фигура?
1)
2)
3)
1) фигура ограниченна от
резком [a, b] оси 0x,
2) графиком функции
y = f(x),
3) прямыми x = a и x = b.
Назовите условия, которым должна удовлет
ворять функция
Функция должна быть:
1) непрерывной, 2) не ме
нять знака на отрезке [a, b]
Сформулируем определение криволинейной трапеции [ученики помогают, запись делает
ся на доске и в тетради].
Опр.: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерыв
ной и не меняющей знак на отрезке [a, b]
функции f, отрезком [a, b] оси 0x и прямыми
x = a и x = b.
3. Усвоение определения.
Наша цель: научиться определять по чертежу криволинейные трапеции.
Скажите, по каким признакам будем опреде
лять, является ли фигура криволинейной тра
пецией или нет?
1) Функция, ограничи
вающая фигуру, должна быть непрерывной и не меняющей знак на отрез
ке [a, b].
2) Фигура должна быть ог
раничена отрезком [a, b]
оси 0x и прямыми x = a
и x = b
Часть VIII. Методика изучения функций в старших классах

Приложения
334
Итак, с определением криволинейной трапеции мы разобрались.
Надеюсь, каждый сможет его сформулировать и привести свои примеры и контрпримеры.
y
x
0
a
b
f(x)
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
y
x
0 a
b
f(x)
y
x
0
a
b
f(x)
y
x
0 a
b
f(x)
y
x
0
a
b
f(x)
y
x
0
a
b
f(x)
y
x
0 a
b
f(x)
y
x
0
a
b
f(x)
y
x
0
a
b
f(x)

335
Часть IX. Методика обучения учащихся
решению стереометрических задач
Методика обучения учащихся решению стереометрических задач включает следующие вопросы:
1) этапы деятельности учителя и учащихся при решении сте
реометрических задач;
2) виды стереометрических задач и методика обучения их решению;
3) методы решения стереометрических задач;
4) преобразование стереометрических задач в комплексы;
5) анализ задачного материала учебной темы;
6) организация урока обучения учащихся решению стереомет
рических задач.
Особое место занимают задачи, решение которых основывает
ся на применении аксиом и следствий из них.
Приложение 45
Методика изучения теоремы существования плоскости,
проходящей через данную прямую и данную точку
Первые теоремы — следствия из аксиом представляют особую значимость для построения курса стереометрии. Дидактическое назначение этих теорем состоит в закреплении аксиом стерео
метрии на этапе их применения. Математическая роль — в даль
нейшем дедуктивном построении учебного курса, выявлении способов задания плоскостей. При изучении доказательств пер
вых теорем стереометрии учащиеся используют два метода (от противного и воображаемого построения) и два приема, помо
гающих в решении задач (как дополнительное построение ис
пользуется построение плоскости по заданным данным; в случае построения новой фигуры рассматривается ее взаимное располо
жение с имеющимися).
Рассмотрим фрагмент конспекта урока, посвященный изуче
нию теоремы «Через прямую и не лежащую на ней точку можно
провести плоскость, и притом только одну».
Подготовительный этап
— В стереометрии, которую мы начали с вами изучать, как и в планиметрии, принято все доказывать, опираясь на ранее
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач