Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
336
изученное. Мы с вами изучили только аксиомы стереометрии,
значит, опираться пока можно только на них. В аксиомах стерео
метрии речь идет об основных фигурах и их взаимном располо
жении. Давайте вспомним, какие фигуры в пространстве являют
ся основными?
— Точка, прямая, плоскость.
— Каким может быть взаимное расположение точки и прямой?
— Точка может принадлежать прямой, а также может не
принадлежать прямой.
— Какая аксиома определяет это расположение?
— Аксиома I
1
. Какова бы ни была прямая, существуют точки,
принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
— Каким может быть взаимное расположение точки и плос
кости?
— Точка может принадлежать плоскости, а также может не
принадлежать плоскости.
— Сформулируйте аксиому, позволяющую нам говорить о взаимном расположении точки и плоскости.
— Аксиома С
1
. Какова бы ни была плоскость, существуют точки,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
— О взаимном расположении каких фигур идет речь в аксиоме С
2
?
— О взаимном расположении двух плоскостей.
— Сформулируйте эту аксиому.
— Аксиома С
2
. Если две различные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту
точку.
— Итак, какой вывод можно сделать о взаимном расположе
нии двух плоскостей, если будет известно, что две различные плоскости имеют общую точку?
— Плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту
точку.
— О каких фигурах идет речь в аксиоме С
3
?
— О двух прямых, имеющих общую точку, и плоскости, проходя
щей через эти прямые.
— Сформулируйте эту аксиому.
— Аксиома С
3
. Если две различные прямые имеют общую точку,
то через них можно провести плоскость и притом только одну.
— Известно, что прямые а и b — различные прямые. Можно ли через них провести плоскость?
— Неизвестно, имеют ли эти прямые общую точку.
— Известно, что прямые АВ и АС различные прямые. Можно ли через них провести плоскость?

337
— Можно. Прямые АВ и АС различны и имеют общую точку А.
— Итак, в аксиоме С
3
есть слова «Через них можно провести плоскость». Каково в этом случае взаимное расположение пря
мых и плоскости?
— Прямые лежат в плоскости.
Введение теоремы
— Итак, по аксиоме С
3
плоскость определяется (или задается)
двумя пересекающимися прямыми. Можно ли задать (опреде
лить) плоскость иначе? Можно ли провести плоскость, зная другие ее элементы?
— Ученики высказывают свое мнение. (Хорошо, если будут пред
ложены разные варианты, тем самым будет задел на будущее.)
— Сегодня на уроке мы будем работать с прямой и точкой
(демонстрируются модели). Можно ли провести плоскость через прямую и точку, например, не лежащую на этой прямой. (Ис
пользуя модели, учащиеся находят ответ на этот вопрос.)
— Итак, с помощью моделей вы получили новый факт стерео
метрии. Но как принято в стереометрии, факты надо обосновы
вать. Попробуйте обосновать свой ответ.
— (У учащихся появляются сложности.)
— Итак, мы хотим обосновать, что через прямую и точку, не лежащую на ней, можно построить плоскость. В стереометрии при доказательстве утверждений или решении задач вида «Мож
но ли построить (провести) плоскость (прямую)…» поступают следующим образом. Подобные задачи относятся к задачам, ре
шаемым методом «воображаемого» построения (на самом деле мы строить не будем, а будем указывать, что могли построить сначала, потом и т. д.), т. е. выделяется такая цепочка логических
рассуждений, которые обосновывают возможность каждого шага построения.
— Итак, попробуем обосновать, можно ли через прямую а
и точку А, не лежащую на ней, провести плоскость.
— Что дано в условии?
— Прямая а и точка А, не лежащая на ней.
— Что требуется доказать?
— Можно построить плоскость через прямую а и точку А.
— Запишем, что дано, что требуется доказать, сделаем чертеж.
— (Делаются записи в тетрадях и на доске.)

Приложения
338
— К чему сводится доказательство утверждения «Можно по
строить плоскость?»
— Необходимо выделить цепочку шагов и обосновать каждый
шаг построения.
— Начнем рассуждать с последнего шага, где нам надо обосно
вать построение плоскости. Какие фигуры к этому моменту надо иметь, чтобы можно было построить плоскость согласно аксиомам?
— Две пересекающиеся прямые.
— Есть ли прямая, которую можем взять, исходя из условия?
— Прямая а.
— Каким условиям должна удовлетворять вторая прямая?
— Вторая прямая должна проходить через точку А и пересекать
прямую а.
— Итак, нам нужно будет обосновать, что такую прямую можно провести. Какая аксиома говорит о том, что можно про
вести прямую?
— Аксиома I
2
.
— Чего не хватает, чтобы можно было воспользоваться этой аксиомой?
— Еще одной точки.
— Где возьмем другую точку?
— На прямой а.
— Почему и какая аксиома говорит о том, что это можно сделать?
— Аксиома I
1
точку выбираем на прямой а, поскольку вторая
прямая должна ее пересекать.
а
Вид доски № 1
1) Можно ли через пря
мую а и точку А, не ле
жащую на ней, постро
ить плоскость?
Дано:
а — прямая,
А
∉ а.
Доказать:
Можно по
строить
α,
A
∈ α, A ⊂ α.
А
Доказательство:

339
— Можно ли теперь построить другую прямую и почему?
— Да. По аксиоме I
2
через две различные точки можно провести
прямую и притом только одну.
— Можно ли теперь построить плоскость и почему?
— Да. По аксиоме С
3
.
— Какова цепочка логических рассуждений, позволяющих нам обосновать построение плоскости
α?
— Возьмем точку В, принадлежащую прямой а. Построим пря
мую АВ. Построим плоскость
α.
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
— Итак, плоскость
α мы построили. Удовлетворяет ли плос
кость
α условиям?
— Да.
— Молодцы. Вспомним, каким методом мы проводили дока
зательство?
— Методом «воображаемого» построения.
— Что надо помнить при доказательстве этим методом?
— Главное – обосновать каждый шаг построения.
— В стереометрии провести (построить) плоскость, провести
(построить) прямую означает доказать существование плоскости
(прямой). Таким образом, мы с вами доказали существование плоскости
α, проходящей через прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой (над словами «можно провести» другим цветом делается запись «существование»). Итак, мы показали, что можно построить плоскость по заданной прямой и точке, не лежащей на этой прямой. Но в подобных задачах полезно задавать вопрос:
Вид доски № 2
1) Можно ли через пря
мую а и точку А, не
лежащую на ней, по
строить плоскость?
а
А
B 1 2
3
α
Дано:
а — прямая,
А
∉ а.
Доказать:
Можно построить
α,
A
∈ α, A ⊂ α.
Доказательство:
1) B
∈ a (I
1
);
2) AB (I
2
);
3) через AB и a прово
дим
α (C
3
)

Приложения
340
«Сколько плоскостей можно построить по заданным элемен
там?» Как вы думаете, сколько плоскостей можно провести через прямую а и не лежащую на ней точку А?
— Можно провести единственную плоскость.
— Ответ верен, но опятьтаки он требует доказательства. Сначала давайте проанализируем каждый шаг построения и подумаем, един
ственным ли образом он выполняется, чтобы знать, нужно ли доказывать единственность или она вытекает из построения.
— На первом шаге мы выбирали точку на прямой, но таких точек —
бесчисленное множество.
— Итак, из построения не следует единственность. Значит,
требуется иное доказательство. Начнем разбираться. Что дано в условии?
— Прямая а, точка А, не лежащая на прямой а, плоскость
α,
проходящая через а и А.
— Что надо доказать?
— Плоскость
α — единственная.
— Сделаем записи, что дано и что требуется доказать. Единст
венность в большинстве случаев доказывается методом от про
тивного. Каков первый шаг этого метода?
— Предполагаем противоположное тому, что требуется доказать.
— Сформулируйте первый шаг метода от противного для нашего доказательства.
— Пусть
α — не единственная.
— Что это значит?
— Существует еще некоторая плоскость
β, которая проходит
через прямую а и точку А.
— Итак, у нас появилась новая фигура — плоскость
β. Рас
смотрим ее взаимное расположение с плоскостью
α. Что извест
но о плоскостях
α и β?
— Они имеют общую прямую а.
— Какой вывод можно сделать об их взаимном расположении?
— Плоскости
α и β пересекаются по прямой а.
— Что еще известно о плоскостях
α и β?
— Они имеют общую точку А.
— Какой вывод можно из этого сделать о расположении точки А?
— Точка А принадлежит прямой пересечения плоскостей, т. е.
прямой а.
— Какова цель второго шага доказательства от метода против
ного?
— Получить противоречие.
— Получили ли мы противоречие?

341
— Да, по условию А
∉ а.
— Какой третий шаг доказательства?
— Сделать выводы.
— Пожалуйста, сделайте.
— Поскольку получили противоречие, значит, наше предположение
было неверно, поэтому верно то, что требовалось доказать, т. е. через
прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
(Делается запись на доске (см. Вид доски № 3) и в тетрадях.)
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Вид доски № 3
Существование
Единственность
1) Можно ли через пря
мую а и точку А, не
лежащую на ней, по
строить плоскость?
а
А
B 1 2
3
α
Дано:
а — прямая,
А
∉ а.
Доказать:
Можно построить
α,
A
∈ α, A ⊂ α.
Доказательство:
1) B
∈ a (I
1
);
2) AB (I
2
);
3) через AB и a прово
дим
α (C
3
)
2) Сколько плоскостей
можно провести через
прямую а и точку А, не
лежащую на ней?
Дано: а — прямая, A
∉ a;
α: A ∈ α, A ⊂ α.
Доказать:
α — единственная.
Доказательство: (метод от противного)
1) Пусть
β ≠ α, A ∈ β,
a
⊂ β.
2) а)
β ≠ α
a — общая
⇒
β ∩ α = a
б)
β ≠ α
A — общая
⇒ A ∈ a
Получили противо
речие с условием, так как A
∉ a.
3)
α — единственная
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
— Итак, мы рассмотрели новый способ задания плоскости.
Доказали, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и что такая плоскость единственная. В сте
реометрии эти две части объединены в одну теорему, поскольку имеют общее условие. Попробуйте ее сформулировать.
— Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести
плоскость, и притом только одну.
— Переформулируйте теорему на язык «если..., то...».
— Если дана прямая и не лежащая на ней точка, то через них
можно провести плоскость и притом только одну.
— Что дано в теореме?
— Прямая и точка, на ней не лежащая.

Приложения
342
— Что надо доказать?
— Можно провести плоскость и притом одну.
— Доказали мы существование такой плоскости?
— Да, в начале урока.
— Доказали ли мы единственность такой плоскости?
— Да, только что.
— Поэтому можно перенести все записи в доказательство теоремы (см. Вид доски № 4).
Вид доски № 4
Существование
Единственность
Общая теорема
1) Можно ли через пря
мую а и точку А, не
лежащую на ней, по
строить плоскость?
а
А
B 1 2
3
α
Дано:
а — прямая,
А
∉ а.
Доказать:
Можно построить
α,
A
∈ α, a ⊂ α.
Доказательство:
1) B
∈ a (I
1
);
2) AB (I
2
);
3) через AB и a прово
дим
α (C
3
)
2) Сколько плоскостей
можно преовести через
прямую а и точку А, не
лежащую на ней?
Дано: а — прямая, A
∉ a;
α: A ∈ α, a ⊂ α.
Доказать:
α — единственная.
Доказательство: (метод от противного)
1) Пусть
β ≠ α, A ∈ β,
a
⊂ β.
2) а)
β ≠ α
a — общая
⇒
β ∩ α = a
б)
β ≠ α
A — общая
⇒ A ∈ a
Получили противо
речие с условием, так как A
∉ a.
3)
α — единственная
Через прямую и не ле
жащую на ней точку
можно провести плос
кость и притом только
одну.
А
а
Дано:
а — прямая, А
∉ а.
Доказать:
1) существует
α, такая что A
∈ α, a ⊂ α;
2)
α — единственная
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
Усвоение теоремы
— В стереометрии очень часто бывает полезно строить плоскость.
По каким данным мы могли строить плоскость до изучения теоремы?
— По двум пересекающимся прямым.
— Какие данные можно использовать, исходя из доказанной теоремы?
— Можно использовать прямую и не лежащую на ней точку.
— Напомните методы, которые использовали при доказательстве.
— Метод «воображаемого» построения и метод от противного.
— В чем суть метода «воображаемого» построения?

343
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
— Необходимо выделить цепочку логических рассуждений, позво
ляющих обосновать каждый шаг построения.
— При доказательстве единственности мы предположили, что есть еще одна плоскость
β. Какой вопрос мы рассматривали в связи с этой плоскостью?
— Каково взаимное расположение этой плоскости с плоскостью
α.
— Постарайтесь на будущее запомнить: как только в стерео
метрии появляется новая фигура, полезно сразу выяснить ее взаимное расположение с уже заданными фигурами.
— Существенно ли в условии теоремы, что точка не лежит на прямой?
— Да.
— Какое утверждение становится неверным, если точка лежит на прямой?
— Утверждение о единственности плоскости. Утверждение о
существовании плоскости остается справедливым.
Для непосредственного усвоения теоремы можно предложить учащимся следующие упражнения:
Задание 1. Докажите, что через любую прямую можно провес
ти плоскость.
Задание 2. Докажите, что через любую прямую можно провес
ти, по крайней мере, две различные плоскости.
Задание 3. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какиенибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.
Приложение 46
Схемы нанесения на стереометрический чертеж данных
об углах и расстояниях
Схемы построения линейного угла между плоскостями
1. Выделить линию пересечения плоскостей и определить, есть ли плос
кость ей перпендикулярная.
(использовать определение)
(использовать теорему о 3х перпендикулярах)
(использовать опреде
ление линейного угла)
2. Выделить или построить пря
мые пересечения этой плоскости с данными плоско
стями.
2. Выделить или построить
1й (главный) перпендику
ляр — перпендикуляр к од
ной из данных плоскостей,
проведенный из точки дру
гой плоскости.
2. Выделить или по
строить в одной из дан
ных плоскостей пер
пендикуляр к линии пересечения плоско
стей.
да нет

Приложения
344
Схема построения угла между прямой и плоскостью
1. Выделить или построить главный перпендикуляр — перпенди
куляр к данной плоскости, проведенный из точки данной прямой.
2. Выделить или построить проекцию данной прямой на дан
ную плоскость.
3. Сделать вывод, что угол между прямой и ее проекцией является углом между прямой и плоскостью.
Схема построения угла между скрещивающимися прямыми
1. Выбрать, для какой из 2х данных прямых удобнее строить параллельную ей прямую.
2. На другой прямой выбрать удобную точку и через нее построить прямую, параллельную второй прямой.
3. Сделать вывод, что угол между пересекающимися прямыми
(построенной и данной) является углом между скрещивающими
ся прямыми.
Схема построения перпендикуляра из точки пространства
на прямую для указания расстояния от точки до прямой
1. Выделить или построить 1й (главный) перпендикуляр —
перпендикуляр из данной точки к плоскости, в которой лежит данная прямая.
2. Построить 2й перпендикуляр – перпендикуляр к прямой
(проекцию некоторой наклонной). Для этого проанализировать
3. Сделать вывод,
что угол между этими прямыми является линей
ным углом
3. Определить 2й перпен
дикуляр — перпендикуляр к линии пересечения плос
костей (наклонную или ее проекцию). Для этого про
анализировать условие за
дачи и определить, какие условия позволяют его по
строить (или выделить).
4. Построить 3й перпен
дикуляр.
5. Сделать вывод, что угол между построенными на
клонной и ее проекцией яв
ляется линейным углом
3. Выделить или по
строить перпендикуляр к линии пересечения плоскостей, лежащий в другой плоскости и проходящий через ос
нование перпендикуля
ра из п. 2.
4. Сделать вывод, что угол между построен
ными перпендикуляра
ми является линейным углом между двумя плоскостями
Окончание табл.

345
условие задачи и определить, какие условия позволяют его по
строить (или выделить).
3. Построить 3й перпендикуляр — наклонную по построен
ной проекции.
4. Сделать вывод, что длина этой наклонной является расстоя
нием от данной точки до данной прямой.
Схемы для указания расстояния
между двумя скрещивающимися прямыми
1. Определить, есть ли плоскость, перпендикулярная каждой из данных прямых, перпендикулярно другой.
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
2. Определить точку пересечения этой плос
кости с данной прямой.
3. Из этой точки опустить перпендикуляр на другую данную прямую.
4. Сделать вывод, что длина этого перепен
дикуляра является расстоянием между скре
щивающимися прямыми.
2. Определить, есть ли параллельные плоскости,
в которых лежат данные прямые.
5. На одной из этих плоскостей выбрать точку и построить (или выделить) перпендикуляр из этой точки на другую плоскость.
6. Сделать вывод, что длина этого перпенди
куляра является расстоянием между скрещи
вающимися прямыми.
3. Определить, есть ли плоскость, в которой ле
жит одна из данных пря
мых и которая параллель
на другой данной прямой.
7. Построить (или выде
лить) перпендикуляр из точки заданной прямой на эту плоскость.
8. Сделать вывод, что дли
на этого перпендикуляра является расстоянием между скрещивающимися прямыми.
4. Построить такую плоскость. Для этого по
строить прямую, которая параллельна одной из данных прямых и пересекает другую дан
ную прямую, и через две пересекающиеся прямые провести плоскость.
5. Построить (или выделить) перпендикуляр из точки заданной прямой на эту плоскость.
6. Сделать вывод, что длина этого перпенди
куляра является расстоянием между скрещи
вающимися прямыми.
да нет да нет да нет