Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 851
Скачиваний: 14
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Приложения
346
Приложение 47
Методика работы с вычислительной
стереометрической задачей
Задача.
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды,
сторона основания которой равна а и угол наклона боковой грани
к плоскости основания равен 60°.
I этап. Анализ условия задачи и построение чертежа
Деятельность учителя
Деятельность ученика
1. Какая геометрическая фи
гура рассматривается в за
даче?
1. Пирамида.
О какой пирамиде идет речь?
Пирамида правильная четырехугольная.
2. Как выполняем построе
ние пирамиды?
2. а) Строим основание; б) определяем проекцию вершины пирамиды; в) отме
чаем вершину; г) соединяем ее с вершина
ми основания, т. е. строим боковые ребра пирамиды.
3. Куда проектируется вер
шина данной пирамиды?
3. Вершина данной пирамиды проектиру
ется в центр основания, так как пирамида правильная, центром квадрата является точка пересечения его диагоналей.
4. Выполните построение пирамиды.
4.
A
B
C
D
O
S
5. Что известно о пирамиде?
(Какие данные надо нанести на чертеж?)
5. В основании — квадрат со стороной а,
боковая грань наклонена к плоскости ос
нования под углом 60°.
6. Какую боковую грань вы
бираем?
6. Так как пирамида правильная, можно выбрать любую боковую грань. Возьмем грань SCD.
7. Как построить угол накло
на этой грани к плоскости основания?
7. Надо построить линейный угол, для это
го надо выделить линию пересечения этой грани с плоскостью основания (это ребро
347
Схематическая запись условия задачи
1 ... 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 35
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Окончание табл.
СD), выделить главный перпендикуляр (это
SО), затем построить или наклонную, или ее проекцию, перпендикулярную линии пере
сечения боковой грани с плоскостью осно
вания.
В данном случае можно построить наклон
ную, перпендикулярную СD, так как
ΔSCD —
равнобедренный. Пусть К — середина CD.
Тогда SК
⊥СD. Соединим точку К с цен
тром основания О.
Тогда по теореме о трех перпендикулярах можно утверждать, что ОК
⊥CD, значит,
∠SKO — линейный, по условию ∠SK = 60°.
8. Было предложено построе
ние линейного угла, когда строилась наклонная, пер
пендикулярная линии пере
сечения плоскостей. Можно ли было иначе строить ли
нейный угол?
8. Можно сначала построить проекцию не
которой наклонной, перпендикулярную линии пересечения плоскостей, для чего провести перпендикуляр из основания вы
соты пирамиды (точки О) на сторону CD,
этот перпендикуляр строится параллельно
АD, так как ABCD — квадрат. Затем получен
ную точку К соединить с вершиной S.
9. Что требуется найти?
9. Объем пирамиды
Дано: SABCD — правильная четы
рехугольная пирамида. AD = a,
α = 60°.
Найти: V.
A
B
C
D
O
S
K
a
α
II этап. Поиск способа решения задачи
1. Что нужно найти в задаче?
1. Объем пирамиды.
2. По какой формуле находится объ
ем пирамиды?
2. осн.
1 3
V
S
H
=
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Приложения
348
Оформление поиска способа решения задачи
V — ?
осн.
1 3
V
S
H
=
S
осн.
= a
2
SO — ?
ΔSOK, ∠O = 90°
∠SKO = 60°
OK =
2
a
Окончание табл.
3. Что нужно знать, чтобы найти V?
3. Площадь основания и высоту. Ос
нование — это квадрат, значит нуж
но найти площадь квадрата со сто
роной а.
4. Из какой фигуры можно найти высоту пирамиды?
4. Высоту можно найти из треуголь
ника SOK.
5. Что известно об этом треуголь
нике?
5. Треугольник прямоугольный,
∠SKO = 60°.
6. Что еще нужно знать, чтобы най
ти высоту?
6. Какойнибудь линейный элемент треугольника.
7. Сможем ли найти какойнибудь элемент?
7. Сможем найти катет ОК.
8. Чему он равен?
8.Он равен половине стороны квад
рата, т. е.
1 2
а.
9. Итак, наметим план решения
9. 1) Найдем S
осн.
2) Вычислим высоту пирамиды SO.
3) Вычислим объем пирамиды
Деятельность учителя
Деятельность ученика
349
План решения задачи может быть отражен в схеме поиска ее решения:
3) V — ?
осн.
1 3
V
S
H
=
1) S
осн.
= a
2 2) SO — ?
ΔSOK, ∠O = 90°
∠SKO = 60°
OK =
2
a
III этап. Оформление решения задачи
осн.
1 3
V
S
H
=
1. S
осн.
= а
2
, так как ABCD — квадрат со стороной а.
2. Рассмотрим
ΔSOK, где К — середина СD. ∠О = 90°, так как
SO — высота пирамиды.
AD = a, OK =
1 2
AD =
2
a
OS = OKtg60° =
2
a
3 3. Вычислим объем пирамиды: осн.
1 3
V
S
H
=
,
3 2
1 3
3 3
2 6
a
a
V
a
=
=
IV этап. Проверка решения и запись ответа
Осуществим проверку задачи, решив ее другим способом.
Высоту пирамиды можно найти из
ΔSOK по теореме Пифаго
ра. Если
∠SKO = 60°, то ∠ОSK = 30°, тогда SК = 2 ОК = а.
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Приложения
350 2
3 2
2 2
3 3
4 4
2
a
a
a
SO
SK
OK
a
=
−
=
−
=
=
Вычисления соответствуют первому способу, значит, задача решена верно.
Ответ:
3 3
6
a
V этап. Исследование задачи
Можно ли задачу решить другим способом?
В проверке был показан иной способ вычисления высоты.
Кроме того, высоту пирамиды можно вычислить из
ΔSOD, пред
варительно вычислив SD из
ΔSDK и ОD из квадрата АВСD.
На будущее полезно запомнить: 1) как отмечается угол наклона боковой грани в правильной четырехугольной пирамиде; 2) что поиску способа решения задачи помогают вопросы: «Что нужно знать, чтобы найти ...?», «По какой формуле вычисляется ...?», «Из какой фигуры можно найти ...?»; 3) что поиск способа решения задачи и план ее решения удобно демонстрировать в графсхеме.
Приложение 48
Опорные задачи стереометрии
Задача называется опорной, если на теоретический факт, в ней рассматриваемый, опирается решение других задач. В приложении рассмотрены некоторые опорные задачи и приведены примеры их использования. Список применений опорных задач может быть учителем самостоятельно продолжен. Полезно также составлять специальные методические тетради таких подборок задач.
I. Задача о точке пересечения прямой и плоскости.
Задача 1. Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся
плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает и их
линию пересечения.
Задача доказывается в § 15 [90] и используется при доказатель
стве параллельности в стереометрии и при построении сечений.
II. Задачи, связанные с параллельным проектированием.
Задача 2. Если через три точки данного отрезка проведены
параллельные прямые, пересекающие данную плоскость, то точки
их пересечения лежат на одной прямой.
351
Задача используется при решении следующих задач: § 16
№ 5—7, § 17 № 33—39 [90].
Задача 3. Если параллельные прямые пересекают параллельные
плоскости, то точки их пересечения образуют в этих плоскостях
равные между собой фигуры.
Задача используется при решении задач § 16 № 29, 32 [90]
и при решении задач, связанных с призмой и цилиндром.
III. Задача, связанная с центральным проектированием.
Задача 4. Если прямые, проходящие через одну точку простран
ства, пересекают параллельные плоскости, то точки их пере
сечения образуют в этих плоскостях подобные фигуры.
Задача используется при решении задач § 16 № 30, 31, 33 [90]
и при решении задач, связанных с пирамидой.
IV. Задачи, связанные с перпендикулярным проектированием.
Задача 5. Равные наклонные, проведенные из одной точки к одной
и той же плоскости, имеют равные проекции.
Замечание. Верно и обратное утверждение.
Задача используется при решении задач § 17 № 43, 44 [90]
и при доказательстве некоторых опорных задач из ниже приве
денного списка.
Задача 6. Если точка равноудалена от вершин некоторого много
угольника, то она проектируется в центр описанной около этого
многоугольника окружности.
Замечание. Верно и обратное утверждение.
Задача используется при решении задач § 17 № 21, 45—47, 52 [90].
Задача 7. Если точка равноудалена от сторон некоторого много
угольника, то она проектируется в центр вписанной в этот много
угольник окружности.
Замечание. Верно и обратное утверждение.
Задача используется при решении задач § 17 № 17, 19—22 [90].
Задача 8. Если в пирамиде все боковые ребра равны или наклонены
к основанию под одним и тем же углом, то вершина пирамиды
проектируются в центр описанной около основания окружности.
Замечание. Верно и обратное утверждение.
Задача 9. Если в пирамиде все боковые грани наклонены к основа
нию под одним и тем же углом, или вершина равноудалена от сторон
основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основа
ние окружности.
Замечание. Верно и обратное утверждение.
Задача 10. Если в пирамиде одна грань перпендикулярна плоско
сти основания, то вершина пирамиды проектируется на сторону
основания.
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Приложения
352
Задача 11. Если точка пространства равноудалена от сторон
угла, то она проектируется на биссектрису этого угла.
Задача 12. Если прямая, проведенная через вершину угла, состав
ляет с его сторонами равные острые углы, то она проектируется на
биссектрису этого угла.
Замечание. Верно и обратное утверждение.
Задача используется при решении задач § 21 № 15, 16, 18 [90].
Задача 13. Если две пересекающиеся плоскости наклонены
к третьей плоскости под одним и тем же углом, то линия их
пересечения проектируется на биссектрису угла, образованного ли
ниями пересечения этих плоскостей с третьей плоскостью.
Иная формулировка этой задачи: Если две грани трехгранного
угла наклонены к третьей под одним и тем же углом, то линия их
пересечения проектируется на биссектрису линейного угла третьей
грани.
Задача используется при решении задачи § 19 № 43.
∠K = ∠M, ∠K и ∠M — углы наклона двух граней к третьей.
SO — перпендикуляр к третьей грани.
В этом случае AO — биссектриса угла BAC.
V. Задачи, связанные с трехгранным углом.
Задача 14 (теорема косинусов для трех
гранного угла). Для трехгранного угла, пло
ские углы которого равны
α, β, γ и двугран
ный угол при ребре, противолежащему плос
кому углу
γ, равен ϕ, имеет место следую
щая зависимость:
cos cos cos cos sin sin
γ −
α⋅
β
ϕ =
α⋅
β
.
Задача 15. Для трехгранного угла, плоские углы которого равны
α, β, γ и двугранный угол при ребре, противолежащему плоскому
углу
γ, равен 90°, имеет место следующая зависимость: cosγ =
= cos
α·cosβ.
A
B
C
S
K
O
M
S
α
β
γ
ϕ
353
Иная формулировка этой задачи: Пусть
α — величина угла
наклона прямой АВ к плоскости
τ, β— величина угла между проек
цией ВО — наклонной АВ и прямой ВD, проведенной через точку В —
основание наклонной в плоскости проекции и
γ— величина угла
между наклонной АВ и прямой ВD. Тогда cos
γ = cosα·cosβ.
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Приложение 49
Примерная схема анализа задачного материала
по определенной теме
1. Выделить задачи, которые соответствуют обязательным ре
зультатам обучения.
2. Выделить задачи, в которых формулируется важное теоре
тическое утверждение (назовем такие задачи особыми).
3. Выделить задачи повышенной сложности.
4. Выделить группы взаимосвязанных задач. Такое выделение помогает устанавливать связи между задачами, что ведет не толь
ко к укреплению знаний, развитию умения решать математиче
ские задачи, но и экономии времени на уроке. Основой выделе
ния групп задач может быть:
• единая геометрическая конструкция,
• общее требование задач,
• единая опорная задача,
• общий метод решения и др.
5. На базе выделенных групп задач создать укрупненные ди
дактические единицы (комплексы), используя различные спосо
бы преобразования задач ([]).!!!!
6. Подобрать или составить задачи, решаемые несколькими способами, поскольку в математике важна не только взаимосвязь задач, но и взаимосвязь методов их решения.
А
B
D
O
α
β
γ
τ