Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
354
Приложение 50
Урок одной задачи
В практике школы встречается два вида уроков одной задачи.
В одном случае на базе некоторой задачи рассматриваются дру
гие задачи, полученные преобразованием первой. Основной це
лью урока в этом случае является установление связей между построенными задачами, что позволяет лучше освоить сущность математической ситуации, связанной с ними. В другом случае урок одной задачи имеет цель рассмотреть несколько способов ее решения, выделить общие подходы к решению задач, что расши
ряет математический потенциал школьников.
Пример 1.
Урок одной задачи на базе геометрической конструк
ции. (Урок разработан З.В. Евсиковой — учителем г. Брянска.)
Рассматривается следующая геометрическая конструкция:
Квадрат АВСD и равносторонний треугольник АВМ имеют об
щую сторону АВ, а их плоскости перпендикулярны. Сторона квадра
та равна а.
A
B
C
D
M
Задание 1. Определить вид
ΔАDМ, ΔМВС, ΔDМС. (Ученики определяют, какие из них являются прямоугольными и почему;
какие длины сторон в этих треугольниках и величины углов.)
Задание 2. Выяснить расположение прямых АМ и ВС и найти расстояние между ними. Выяснить расположение прямых МD
и ВС и найти расстояние между ними.
Задание 3. Найти линейный угол при ребре АD, при ребре ВС,
при ребре МD.
Задание 4. Познакомиться с теоремой косинусов для трехгран
ного угла и выяснить преимущества ее использования.
Задание 5. Применить теорему косинусов для вычисления угла при ребре МD.
Задание на дом: 1) найти двумя способами угол при ребре
СD,
2) найти угол между DМ и плоскостью АВСD, угол между DМ
и плоскостью ВСМ, 3) составить свою задачу на основе рассмот
ренной конструкции.

355
Пример 2.
Урок одной задачи с использованием различных спосо
бов ее решения. (Урок предложен Н.И. Зильбербергом — учителем г. Пскова.)
Задача: Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника параллельна основанию (А.В. Пого
релов, § 4, № 37).
1й способ. Применяются признаки параллельности прямых,
связанные с пересечением двух прямых секущей.
2й способ. Высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой, угол между биссектрисами двух смежных углов является прямым, значит, биссектриса внешнего угла при верши
не равнобедренного треугольника перпендикулярна высоте этого треугольника, проведенной к основанию, поэтому параллельна основанию.
3й способ. На продолжении боковой стороны за вершину равнобедренного треугольника отложить отрезок, равный этой стороне (рис.)
1. BE
⊥KC.
2.
∠BKE = ∠BCE; ∠BAC = ∠ACB,
значит,
∠ACK = 90°.
Следовательно, BE || AC.
4й способ. На продолжении боковой стороны АВ за вершину равнобедренного треугольника В отложит отрезок ВК, равный этой стороне. Тогда точки А, С, К будут равноудалены от точки В,
поэтому лежат на окружности с центром в точке В и радиусом АВ.
А вписанный угол АСК, опирающийся на диаметр, является пря
мым. Следовательно, прямая ВЕ параллельна АС как два перпен
дикуляра к одной прямой КС.
Приложение 51
Методика обучения учащихся решению задач
на построение сечений
В школьном курсе геометрии выделяют несколько видов задач на построение сечений многогранников плоскостью в зависимо
сти от данных задачи. В одном случае секущая плоскость задается тремя точками (прямой и не лежащей на ней точкой), в другом
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
A
B
C
E
K

Приложения
356
известно, что секущая плоскость должна проходить через одну из данных прямых параллельно другой прямой (или плоскости).
Если секущая плоскость задается тремя точками, то возможно два случая:
• среди трех данных точек есть две, лежащие в одном грани многогранника (для этого случая предложена схема 1),
• среди трех данных точек нет двух, лежащих в одном грани многогранника (для этого случая предложена схема 2).
Основными теоретическими положениями при построении сечений являются следующие:
1) если две плоскости имеют общую точку, то они пересекают
ся по прямой, проходящей через эту точку,
2) если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости,
3) если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоско
стей, пересекает другую плоскость, то она пересекает и линию пересечения плоскостей.
Покажем реализацию этих положений на фрагменте задачи на построение секущей плоскости. Пусть плоскости
α и β, в которых
лежат грани параллелепипеда, пересекаются по прямой а. Извест
но, что секущая плоскость проходит через точки А и В, лежащие
в плоскости
α, и через точку С, лежащую в плоскости β. Построить
линии пересечения секущей плоскости с плоскостями
α и β (рис. 1).
Рис. 1, а
A
B
C
a
α
β
Точки А и В лежат в плоскости
α, значит, прямая АВ лежит в плоскости
α (положение 2), таким образом, секущая плоскость пересекает плоскость
α по прямой АВ (рис. 1, а).
Прямая АВ, лежащая в плоскости
α, пересекает плоскость β
в точке, лежащей на линии пересечения плоскостей — прямой а
(положение 3). Построим эту точку — точку М (рис. 1, б).
Рис. 1
A
B
C
a
α
β

357
Секущая плоскость и плоскость
β имеют общие точки С и М,
значит, они пересекаются по прямой, проходящей через них
(положение 1). Строим прямую МС, лежащую (положение 2)
в плоскости
β (рис. 1, в).
Схема 1. Построение сечений многогранников плоскостью, про
ходящей через три заданные точки, среди которых есть две, лежа
щие в одной грани.
1. Провести прямую через точки секущей плоскости, лежащие в одной грани (плоскости) и выделить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Если две данные точки сечения лежат на ребрах многогранника и в одной грани, то их соединяют отрезком.
2. Построить точки пересечения прямой секущей плоскости с плоскостями (с плоскостью) граней многогранника. Для этого:
а) выбрать прямую и точку секущей плоскости, причем вы
бранные точка и прямая должны лежать в плоскостях разных граней (плоскостях);
б) найти линию пересечения этих граней (плоскостей);
в) построить точку пересечения этой линии с выбранной прямой.
3. Вернуться к первому шагу.
Схема 2. Построение сечений многогранников плоскостью, про
ходящей через три заданные точки, среди которых нет двух, лежа
щих в одной грани.
1. Через две данные точки провести дополнительную плос
кость. (Из трех данных точек оставляют ту, которая лежит на основании. Если задана призма, то дополнительная плоскость строится параллельно боковым ребрам. Если задана пирамида, то дополнительная плоскость строится через ее вершину.)
2. Выполнить схему 1.

Приложения
358
Задача
. Построить сечение пирамиды SАВСD плоскостью, про
ходящей через точки М, Р, К, где М
∈ SD, Р ∈ SС, К ∈ АВСD (смотри рис. 2, а).
1й этап. Анализ условия и поиск решения.
1. Какого типа эта задача?
— Эта задача на построение сечений многогранника плоско
стью, проходящей через три заданные точки.
2. Есть ли среди заданных точек две, лежащие в одной грани?
— Да, точки М и Р лежат в передней грани.
3. Как поступаем в таком случае?
— Соединяем их и выясняем, будет ли прямая МР пересекать плоскость основания, в которой расположена точка К.
4. Каков ответ и что это дает для дальнейшего построения
(поможет ли он в построении следа секущей плоскости на плос
кость основания)?
— Мы видим, что прямая МР пересекает плоскость основания пирамиды, значит, мы сможем найти их точку пересечения, тогда в плоскости основания сможем построить прямую, проходящую через эту точку и данную точку К.
5. Поможет ли эта прямая (след секущей плоскости на плоско
сти основания) дальнейшему построению?
— Мы сможем построить пересечение этой прямой с плоско
стями других граней, поскольку плоскость основания их пересе
кает.
2й этап. Осуществление построения с элементами рассуждений.
Возможно использование трафарета:
Точка
Грань
Прямая
Плоскость
Линия пересечения
Рис. 2, а
A
B
C
D
S
M
P
K

359
Точка пересечения
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Построение
1. Строим МР (рис. 2, б).
2. Построим точку пересечения прямой МР с плоскостью,
в которой лежит точка К. Рассуждаем:
Точка К
Грань нижняя
Прямая МР
Плоскость передняя Линия пересечения CD
Точка пересечения
Е
Итак, Е = МР
∩ DС (рис. 2, в).
3. Строим прямую ЕК и выделяем точки ее пересечения с ребрами пирамиды:
F = ЕК
∩ СВ,
О = ЕК
∩ АВ (рис. 2, г).
4. Строим РF, точки Р и F лежат в правой грани (рис. 2, д).
Рис. 2, б
Рис. 2, в
A
B
C
D
S
M
P
K
E
A
B
C
D
S
M
P
K
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
Рис. 2, г
Рис. 2, д
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
S
S

Приложения
360 5. Построим точку пересечения прямой ЕК с плоскостью левой грани, в которой лежит точка М сечения. Рассуждаем:
Точка M
Грань левая
Прямая EK
Плоскость нижняя
Линия пересечения
AD
Точка пересечения
Х
Итак, Х = ЕК
∩ АD (рис. 2, е).
6. Строим прямую ХМ, поскольку эти точки лежат в плоскости левой грани, и выделяем точки ее пересечения с ребрами пира
миды:
R = ХМ
∩ АS (рис. 2, ж).
7. Строим RО, точки R и O лежат в задней грани (рис. 2, з).
8. OFPMR – искомое сечение (рис. 2, и).
Рис. 2, е
Рис. 2, ж
Рис. 2, з
Рис. 2, и
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
X
R
X
R
X
R
X
S
S
S
S

361
3й этап. Исследование решения.
1. Что полезного из решения задачи можно взять на будущее?
(Выслушиваются все ответы учащихся. Важно выделить, какие затруднения были у учащихся, и что помогло их преодолеть.
Возможно, вопросы учителя, возможно, использование трафаре
та и т. д.)
2. На каком шаге построения можно было предложить иной способ?
— Четыре первых шага мы могли выполнить единственным способом, а вот пятый шаг можно было выполнить иначе.
3. Перечислите возможные варианты и наметьте пути даль
нейшего построения.
— Сечение к этому моменту «оборвалось» на точках О и М,
которые лежат соответственно в задней и левой гранях.
— Чтобы найти еще одну точку в плоскости задней грани,
можно использовать либо прямую РF, либо прямую МР,
принадлежащие секущей плоскости.
— Возьмем прямую РF. Она лежит в плоскости правой грани,
которая пересекает заднюю по SВ. Мы видим, что прямые
PF и SВ пересекаются далеко за пределами рисунка. Значит,
этот способ построения не очень удобный.
— Возьмем прямую МР. Она лежит в плоскости передней грани, которая пересекает плоскость задней грани пока только в одной точке S. Значит, для дальнейшего построе
ния еще необходимо построить линию пересечения плоско
стей передней и задней граней, значит, этот путь построе
ния не очень удобен.
— Чтобы найти еще одну точку в левой грани, можно исполь
зовать либо прямую OF, либо прямую PF. Прямая OF исполь
зовалась в выполненном уже построении.
— Возьмем прямую PF. Она лежит в плоскости правой грани,
которая пересекает плоскость задней грани пока только в одной точке S. Значит, для дальнейшего построения еще необходимо построить линию пересечения плоскостей пра
вой и левой граней, значит, этот путь построения не очень удобен.
Приложения'>Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач

Приложения
362 4. Давайте последний случай попробуем выполнить, посколь
ку есть задачи, когда необходимо уметь строить линию пере
сечения двух плоскостей.
Ученики, имея построение, изображенное на рисунке 2, г,
выполняют построение линии пересечения плоскостей правой и левой граней – SY (рис. 2, к), затем находят точку пересечения прямой PF с плоскостью левой грани – точку Z (рис. 2, л)
и завершают построение (рис. 2, м).
Все представленные рассуждения учащихся можно сопровож
дать схемой:
О
М
задняя грань левая грань прямая PF
прямая MP
прямая OF
прямая PF
правая грань
(SB)
передняя грань (S)
нижняя грань
(AD)
правая грань
(S)
не удобно не удобно построено не удобно
Рис. 2, к
Рис. 2, л
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
S
Y
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
S
Y
Z

363
Приложение 52
Урок коррекции по теме «Построение сечений многогранника
плоскостью, параллельной заданной прямой»
Цели:
1. Выяснить, ясны ли учащимся основные идеи построения плоскости, параллельной данной прямой, и правило: параллель
ные прямые в пространстве можно проводить либо в одной плоско
сти, либо в двух параллельных.
2. Скорректировать умения построения сечений, проходящих через заданную прямую (точку) параллельно данной прямой.
Ход урока
1. Разбор основных идей.
Напоминаются правило (параллельные прямые в пространст
ве можно проводить либо в одной плоскости, либо в двух парал
лельных) и основные идеи построения плоскости, проходящей через одну заданную прямую параллельно другой.
Идея 1 (вспомогательная плоскость содержит одну из задан
ных прямых).
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Рис. 2, м
A
B
C
D
O
P
M
E
F
K
R
Y
S
Z
a
b
1 2
3
a
b
a
b
a
b
Даны две прямые.
Через одну из них стро
ится плоскость, пересе
кающая другую прямую
(вспомогательная плос
кость), и выделяется точка пересечения.
Через точку пере
сечения строится прямая, парал
лельная данной.
Через две пересе
кающиеся прямые строится плос
кость.