Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
364
2. Диагностика умения использовать основные идеи построения
сечений, параллельных данной прямой, и коррекция знаний по по
строению сечений с использованием теорем о параллельности.
Предлагается задача № 1. Учащиеся диагностируют умение использовать основные идеи построения плоскости, параллель
ной данной прямой, следующим образом. Им предлагается начать с выбора вспомогательной плоскости и построения в ней прямой,
параллельной заданной. Сравнивая свое построение с каждым шагом, выделенном на первом этапе урока, ученики отмечают,
смогли ли они их выполнить. Затем они сверяют себя с готовыми рисунками (рис. 3, б или 4, б). Дальнейшее построение ученики пробуют выполнить самостоятельно.
Задача № 1.
Построить сечение параллелепипе
да ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плоскостью, про
ходящей через данную прямую KM
параллельно прямой AA
1
. (Здесь и в дальнейшем нижняя грань па
раллелепипеда — ABCD, верхняя —
A
1
B
1
C
1
D
1
, передняя — AA
1
B
1
B.)
a
b
1 2
3
a
b
a
b
a
b
Обоснованием правильности построения является признак параллельности прямой и плоскости.
Идея 2 (вспомогательная плоскость параллельна одной из данных прямых).
Даны две пря
мые.
Выбирается плоскость,
параллельная одной из них и пересекающая другую прямую (вспо
могательная плос
кость), и выделяется точка пересечения.
Через точку пе
ресечения стро
ится прямая, па
раллельная дан
ной.
Через две пере
секающиеся пря
мые строится плоскость.
A
A
1
M
K
Рис. 3, а

365
Способ 1
1. Выбирается вспомогательная плоскость. За вспомогатель
ную плоскость, в которой лежит прямая AA
1
и которая пересекает прямую КМ можно взять плоскость передней грани, плоскость диагонального сечения и др.
Выбирается плоскость передней грани.
2. Во вспомогательной плоскости строится прямая, парал
лельная данной и принадлежащая секущей плоскости: прямая
МЕ (рис. 3, б).
4. Через две пересекающиеся прямые КМ и МЕ строится плоскость сечения.
Для этого используется свойство параллельных плоскостей:
если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии
пересечения параллельны (рис. 3, в).
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Способ 2
1. Выбирается вспомогательная плоскость, параллельная од
ной из данных прямых и пересекающая другую. За вспомогатель
ную плоскость, параллельную прямой AA
1
и которая пересекает прямую КМ, можно взять плоскость задней грани, плоскость сечения параллельного ей.
Выбирается плоскость задней грани.
2. Во вспомогательной плоскости строится прямая, парал
лельная данной и принадлежащая секущей плоскости: прямая КР
(рис. 4, а).
3. Через две пересекающиеся прямые КМ и КР строится плос
кость сечения.
Для этого используется свойство параллельных плоскостей:
если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии
пересечения параллельны (рис. 4, б).
A
A
1
M
K
A
A
1
M
K
Рис. 3, б
Рис. 3, в
E
E

Приложения
366
Замечание. Если ученики успешно прошли диагностику, а даль
нейшее построение вызвало проблемы, то им могут помочь во
просы: «В каких гранях уже построено сечение? В каких гранях нет? Как эти грани связаны?». Поскольку речь будет идти о параллельных гранях, вспоминается свойство параллельных плоскостей.
Возможно и использование трафарета:
Точка
Грань
(на которой «оборвалось» сечение) (в которой надо строить сечение)
параллельны
Прямая
Плоскость
(которая принадлежит
(в которой лежит секущей плоскости и не выбранная прямая)
проходит через выбранную точку)
Через точку строится прямая, параллельная выбранной.
(«обрыва»)
Например, для построения рисунка 3, в трафарет может быть заполнен следующим образом:
Точка Е
Грань нижняя
Прямая КМ
Плоскость верхняя параллельны
Через точку Е строится прямая, параллельная выбранной — КМ.
P
P
Рис. 4, а
Рис. 4, б
A
A
1
M
K
A
A
1
M
K
При обсуждении вопроса «Что полезного возьмем на будущее из решения этой задачи?» хорошо бы отметить, что одновременное
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

367
использование двух вспомогательных плоскостей позволило бы сразу иметь сечение в двух гранях (передней и задней).
3. Самопроверка решения задачи № 2 и обогащение собственного
опыта за счет обсуждения различных вариантов решения.
Задача № 2.
Построить сечение параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плоскостью, проходящей через прямую KM параллельно прямой С
1
B.
В решении этой задачи удобно использовать две вспомога
тельные плоскости. Первая плоскость — плоскость правой грани,
содержащая прямую С
1
B и пересекающая прямую КМ. Вторая плоскость — плоскость сечения, параллельная этой грани и пере
секающая прямую КМ. Первая вспомогательная плоскость по
зволяет построить прямую МЕ (рис. 5, б), вторая – прямую КР
(рис. 5, в). КМЕРХY — искомое сечение (рис. 5, г).
Задачу самостоятельно решает на доске один из учеников
(желательно, не самый сильный в классе), предварительно рас
сказавший ход построения.
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
K
M
B
C
1
Рис. 5, а
K
M
E
B
C
1
X
Рис. 5, б
Рис. 5, в
Рис. 5, г
K
M
B
C
1
Y
P
K
M
E
B
C
1
P
На этой задаче можно повторить и основной способ построе
ния сечений, когда рассуждения ведутся по схеме:
• выбираются прямая и точка, принадлежащие секущей плос
кости,
• выясняется, в каких гранях (плоскостях) они лежат,
• находится их линия пересечения,
• строится точка пересечения этой линии с выбранной прямой.

Приложения
368
Возможно использование трафарета:
Точка
Грань
Прямая
Плоскость
Линия пересечения
Точка пересечения
Так, построение, выполненное на рисунке 5, б, может быть продолжено следующими рассуждениями:
Точка Е
Грань передняя
Прямая КМ
Плоскость верхняя
Линия пересечения
A
1
B
1
Точка пересечения О
Дальнейшее построение показано на рисунках 5, д и 5, е.
A
1
B
1
K
M
E
P
O
B
A
1
B
1
K
M
E
P
O
B
X
Рис. 5, д
Y
Рис. 5, е
Аналогично может быть продолжено построение, показанное на рисунке 5, в.
4. Совершенствование умения выбора вспомогательной плоскости.
На следующих задачах выясняется только расположение вспо
могательной плоскости. Рисунки удобно проецировать через кодо
скоп (проектор) на доску, тогда удобно делать эскизы построений.
Ученики могут использовать прозрачные папкипланшеты.

369
Задача № 3.
Построить сечение параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плоскостью, проходящей через прямую KM параллельно прямой A
1
B.
(Вспомогательная плоскость — плоскость задней грани, поскольку она параллельная прямой A
1
B и пересекает прямую КМ. Мож
но взять любую плоскость, параллельную пе
редней грани и пересекающую прямую КМ.)
Задача № 4.
Построить сечение тетраэдра SABC плос
костью, проходящей через точку P и L парал
лельно прямой AB.
(Вспомогательная плоскость — плоскость левой грани, поскольку она содержит пря
мую АВ и пересекает PL. Можно взять лю
бую плоскость, проходящую через прямую
АВ и пересекающую прямую PL.)
Задача № 5.
Построить сечение тетраэдра SABC плос
костью, проходящей через прямую KM па
раллельно прямой SL.
(Вспомогательная плоскость — плоскость
АSL, поскольку она содержит прямую SL
и пересекает КМ. Можно взять любую плос
кость, проходящую через прямую SL и пере
секающую прямую КМ.)
Задача № 6.
Построить сечение параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плоскостью, проходящей через данную точку M в верхнем основании парал
лельно прямой A
1
B.
(Вспомогательная плоскость — плоскость передней грани или любая, ей парал
лельная.)

Приложения
370
Задача № 7.
Построить сечение тетраэдра SABC плос
костью, проходящей через точку M, принад
лежащую плоскости SAB,параллельно плос
кости основания ABC.
(Задача сводится к построению плоско
сти, параллельной двум пересекающимся прямым, например, АВ и АС.)
A
B
M
С
Задание на дом.
I.
Построить сечение параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плоскостью, проходящей через точки D
1
, P
∈ ABB
1
A
1
, Q
∈ BCC
1
B
1
II.
Построить сечение тетраэдра DABC плос
костью, проходящей через точки P и Q па
раллельно прямой BD.
III.
Построить сечение тетраэдра SABC плос
костью, проходящей через прямую KL и точку
M
∈ SAC, зная, что KL параллельно прямой AS.
L
M
A
S
C
B
K
A
D
C
Q
B
P
P
Приложение 53
Комбинации разных тел
При решении задач на комбинации шара с другими телами рекомендуется строить только сечение шара, так как строгое выполнение чертежа занимает, как правило, много времени. Ино
гда достаточно указать только положение центра шара. Для этого приведем некоторые сведения.
S

371
I. Геометрические места точек в пространстве:
1. Г.М.Т., равноудаленных от двух данных точек, есть плос
кость, перпендикулярная к отрезку с концами в данных точках и проходящая через его середину.
2. Г.М.Т., равноудаленных от двух параллельных между собой плоскостей, есть плоскость, параллельная данным и проходящая через середину расстояния между ними.
3. Г.М.Т., равноудаленных от граней двугранного угла, есть плоскость, делящая этот двугранный угол пополам и называемая биссекторной.
4. Г.М.Т., равноудаленных от всех точек окружности, есть прямая, перпендикулярная плоскости этой окружности и прохо
дящая через ее центр.
5. Г.М.Т., равноудаленных от вершин многоугольника, впи
санного в окружность, есть прямая, перпендикулярная плоско
сти многоугольника и проходящая через центр окружности.
II. Положение центра шара,
вписанного в многогранник и описанного около многогранника:
1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника.
2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам мно
гогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.
III. Положение центра шара, вписанного
в пирамиду и описанного около пирамиды:
1. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар (условие достаточно, но не является необходимым).
Центр шара лежит в точке пересечения высоты с биссектри
сой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, одной из сторон которого служит высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.
В правильную пирамиду всегда можно вписать шар.
2. Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда,
когда около ее основания можно описать окружность. В частности,
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач

Приложения
372
шар можно описать около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов основания 180°.
3. Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды и проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру и проведенной через середину этого ребра.
4. Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равнонаклонены к плоскости основания), то около такой пира
миды можно описать шар.
Центр шара в этом случае лежит в точке пересечения высоты
(или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежа
щей в плоскости бокового ребра и высоты.
Замечание. Шар, вписанный в призму, должен касаться всех ее граней. В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окруж
ность, а высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение. Если при этом призма прямая,
то ортогональная проекция шара на плоскость основания приз
мы является кругом, вписанным в многоугольник основания.
Для наклонной призмы проекция шара на плоскость основания является кругом, выходящим за пределы основания.
Приложение 54
Схема решения задач координатным
и координатно%векторным методами
3. Сформулировать задачу с помощью координат, решить ее и сделать вывод без использования координат
Координатный метод
Координатновекторный метод
1. Выбрать систему координат
2. Найти координаты нужных точек и (или) составить уравнения нуж
ных фигур
2. Найти координаты нужных точек и векторов
Пример решения задачи координатновекторным методом.
Задача.
Пусть АВСDА
1
В
1
С
1
D
1
– куб. Точка К – середина ребра
АА
1
, точка L – середина ребра А
1
D
1
, точка М – середина ребра А
1
В
1
,
точка N – середина ребра В
1
С
1
, точка Р – середина ребра ВВ
1
,

373
точка Q – середина ребра ВС, точка R – середина ребра С
1
D
1
, точка
S – середина ребра DD
1
. Вычислите углы между прямыми: а) КL
и МN, б) КL и РQ, в) МР и NQ, г) КL и RS, д) RS и РQ. Возьмите сами
любую пару прямых, определенную этими точками, и попытайтесь
вычислить угол между ними. (А.Д. Александров и др. § 34, № 28.)
Решим задачу для случая а).
Решение:
1. Введем систему координам.
Поскольку дан куб, то систему координат удобно выбрать, взяв за начало одну из вершин куба,
а оси направив по ребрам, выхо
дящим из этой вершины. Изо
бразим на рисунке выбранную систему координат. За единич
ный отрезок возьмем половину ребра куба.
2. Найдем координаты нужных точек и векторов.
К(0, 0, 1); L(1, 0, 2); М(0, 1, 2); N(1, 2, 2);
KL
→
(1, 0, 1);
MN
→
(1, 1, 0).
3. Найдем угол между векторами
KL
→
и
MN
→
Пусть угол между векторами
KL
→
и
MN
→
равен
α.
·
cos
·
KL MN
KL MN
→
→
→
→
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
α =
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
KL
→
·
MN
→
= 1 + 0 +0 = 1.
|
KL
→
|
2
= 2, значит, |
KL
→
| =
2
,
|
MN
→
|
2
= 2, значит, |
MN
→
| =
2
cos
α =
1 2
>0, значит,
α = 60°.
Замечание. Если косинус угла между векторами оказывается отрицательным числом, т. е. угол между векторами является тупым, то следует рассматривать модуль косинуса, поскольку угол между прямыми не может быть тупым по определению.
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
z
x
y
A
A
1
B
B
1
C
C
1
M
N
L
D
D
1
K