Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 885
Скачиваний: 14
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Приложения
374
Пример решения задачи координатным методом.
Задача.
Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от
стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы. (А.В. По
горелов. § 19, № 19.)
Решение:
1. Выбираем систему координат. За единичный отрезок возьмем еди
ницу измерения ребер призмы.
2. Расстоянием между скрещиваю
щимися прямыми является рас
стояние между одной из них и па
раллельной ей плоскостью, в кото
рой лежит вторая прямая. Значит, нужны координаты любой точки, лежащей на прямой АD, и уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, А
1
: А (15, 0, 0); В (0, 0, 0), С (0, 15, 0), А
1
(15, 0, 20).
Составим уравнение плоскости проходящей через точки В, С, А
1
:
а) запишем общий вид уравнения плоскости: Ах + Ву + Сz + D = 0,
б) точки В, С, А
1
лежат на этой плоскости, значит, их коорди
наты удовлетворяют уравнению плоскости. Составляем и решаем систему:
D = 0,
D = 0,
15В + D = 0,
B = 0,
15А + 20С + D = 0.
A = –
4 3
C,
в) найденные коэффициенты подставляем в уравнение плос
кости и упрощаем его:
–
4 3
Сх + Сz = 0;
–4х + 3z = 0;
4х – 3z = 0.
3. Найдем расстояние от точки А(15, 0, 0) до плоскости 4х — 3z = 0
по формуле:
0 0
0 2
2 2
Ax
By
Cz
D
A
B
C
+
+
+
ρ =
+
+
2 2
2 4 15 0 0 0 60 12 5
4 0
( 3)
⋅ + + +
ρ =
=
=
+ + −
z
x
y
A
A
1
B
B
1
C
C
1
D
D
1
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
375
Приложение 55
Схема решения задач векторным методом
1. Ввести основные векторы. Если задача планиметрическая, то выбирают два неколлинеарных вектора, а если задача стереомет
рическая, то – три некомпланарных вектора, поскольку в этом случае любой вектор можно будет выразить через них, кроме этого стараются так выбрать основные векторы, чтобы о них по условию задачи было чтото известно. Иногда берут один допол
нительный вектор.
2. Нужные векторы выразить через основные. Для этого выби
рают «обходной путь» из начала вектора в его конец, а затем каждый участок пути стараются выразить через основные, поль
зуясь следующими правилами:
• вектор, противоположный вектору
a
— это вектор –
a
,
• вектор, коллинеарный вектору
a
— вектор
λ
a
,
• любой ненулевой вектор можно представить в виде суммы неколлинеарных (некомпланарных) векторов.
3. Сформулировать задачу с помощью векторов, решить ее,
сделать вывод без использования векторов.
Пример.
Дана ломаная АВСDА, у которой АС = ВD, АС
⊥ВD.
Точки M, N, P, Q делят звенья АВ, ВС, СD, DА по обходу ломаной
в одном и том же отношении 2:1. Докажите, что MP = NQ
и MP
⊥NQ.
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Решение.
1. Выбираем основные векторы. Больше всего данных о AC
и BD, значит, их можно выбрать за основные векторы. Третий вектор не должен быть компланарным с ними. Выберем вектор по звену ломаной AD.
2. Пусть
AC
a
→
=
G
,
DB
b
→
=
G
,
AD
c
→
=
G
. Выразим векторы
MP
→
и
NQ
→
через основные.
a
A
B
C
D
Q
P
N
M
c
b
Приложения
376 3. а) Докажем, что |
MP
→
| = |
NQ
→
|.
2 2
2 2
1 2
1 4
4 3
3 9
9 9
MP
a
c
a
ac
c
→
⎛
⎞
=
−
=
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
G
G
G
GG
G
= (по условию АС = ВD,
АС
⊥ВD, значит, |
a
| = |
c
| и
a
·
c
= 0 =
2 2
2 2
1 4
5 5
0 9
9 9
9
a
a
a
AC
− +
=
=
;
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 4
4 3
3 9
9 9
1 4
5 5
0 9
9 9
9
NQ
c
a
c
ac
a
a
a
a
AC
→
⎛
⎞
= −
−
=
−
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
=
+ +
=
=
Значит, MP = NQ.
б) Докажем, что MP
⊥NQ, т. е.
MP
→
·
NQ
→
= 0.
1 3
2 3
1 3
2 3
1 9
2 9
2 9
4 9
2 2
a
c
c
a
ac
c
a
ac
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
+
−
+
==
= +
−
+ =
0 2
9 2
9 0
0 2
2
a
a
Значит, MP
⊥NQ.
NQ
NC CA AQ
BC a
b
BD DC
a
b
→
→
→
→
→
→
→
→
=
+
+
=
− +
=
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − +
= −
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
c
b
a
a
b
c
b
a a
b
c
a
− +
(
)
− +
=
= −
− +
= −
−
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
2 3
MP
MA AD DB DP
BA b
DC
BD DA
b
D
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=
+
+
+
=
+ +
=
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + +
2 3
1 3
2 3
1 3
A
A AC
c b
b
b a
c
b b
b
→
→
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − −
(
)
+ + − +
(
)
=
= −
−
+ −
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
++
=
−
1 3
1 3
2 3
a
a
c.
377
Приложение 56
Тест по методике обучения учащихся решению задач
Тест связан с методикой обучения учащихся решению матема
тических задач. Вы знаете, что это одна из базовых методик, вместе с тем наиболее сложная по сравнению с другими базовыми методи
ками: методикой формирования понятий, методикой формирова
ния умений и методикой изучения теорем. Тест состоит из трех частей, в каждой – серия вопросов. После каждого вопроса Вам рекомендуется записать ответ, а затем осуществить проверку и оценить свой ответ в баллах, после чего переходить к следующему вопросу.
Итак, начинаем!
1. Овладение методикой обучения учащихся решению матема
тических задач осуществляется на задачах определенных типов.
Укажите, с какими задачами был связан первый этап овладения
методикой обучения учащихся решению математических задач
(_______________)? Второй этап (_____________)? Третий этап
(____________________)?
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Проверка. 1 этап — методика обучения учащихся решению текстовых задач.
2 этап — методика обучения учащихся решению планимет
рических задач.
3 этап — методика обучения учащихся решению стереомет
рических задач.
Каждый правильный ответ — 1 балл. Максимум — 3 балла.
Баллы: _______
Переходим к методике обучения учащихся
решению текстовых задач
2. Укажите ключевыми словами, что является главным для учителя
в связи с методикой обучения учащихся решению текстовых задач.
___________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
________________________________________________________________
Приложения
378
Баллы: _______
3. Перечислите этапы работы над задачей.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
_____________________________________________________________
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие ключевые слова:
этапы работы над конкретной задачей (да, нет), методы реше
ния текстовых задач (да, нет), виды текстовых задач (да, нет).
(На доске под текстовой задачей записать эти ключевые слова.)
Каждое «да» — 1 балл, каждое «нет» — 0 баллов. Максимум —
3 балла.
Проверка. Анализ условия, краткая запись условия, поиск решения, оформление решения, проверка решения, исследо
вание.
Каждый правильный ответ — 1 балл, пропуск этапа — 0 баллов.
Максимум — 6 баллов.
Баллы: _______
4. Сформулируйте основные вопросы, которые задаются на этапе
анализа условия текстовой задачи.
______________________________________________________
______________________________________________________
__________________________________________________________
Проверка. 1. О чем идет речь в задаче (или о каком процессе,
или какого вида задача)? 2. Какие объекты участвуют в задаче
(или на какие части можно разбить условие задачи, или что происходит по условию задачи)? 3. Какие величины участвуют в задаче (или какими словами можно описать происходящее в задаче)? 4. Что известно? 5. Что требуется найти?
Каждый правильный ответ — 1 балл, пропуск вопроса —
0 баллов. Максимум — 5 баллов.
Баллы: _______
379
Баллы: _______
6. Укажите основные методы решения текстовых задач.
______________________________________________________
1 ... 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие способы: схема условия (да, нет), таблица (да, нет), рисунок (да, нет), чертеж
(да, нет).
Каждый правильный ответ — 1 балл, пропуск способа —
0 баллов. Максимум — 4 балла.
Проверка. Арифметический, алгебраический.
Каждый правильный ответ — 1 балл, пропуск метода —
0 баллов. Максимум — 2 балла.
5. Перечислите способы краткой записи условия задачи.
______________________________________________________
Баллы: _______
7. Укажите методы осуществления поиска решения задач.
______________________________________________________
Проверка. Синтетический, аналитический.
Каждый правильный ответ — 1 балл, пропуск метода —
0 баллов. Максимум — 2 балла.
Баллы: _______
8. Укажите, какой вопрос учителя является ключевым при про
ведении поиска синтетическим методом.
______________________________________________________
Проверка. Что можно найти, зная..?
Правильный ответ — 1 балл.
Баллы: _______
Приложения
380
Баллы: _______
11. Перечислите способы оформления решения текстовых задач
алгебраическим методом.
______________________________________________________
Баллы: _______
9. Укажите, какой вопрос учителя является ключевым при прове
дении поиска аналитическим методом.
______________________________________________________
Проверка. Что нужно знать, чтобы найти..?
Правильный ответ — 1 балл.
Баллы: _______
10. Перечислите способы оформления решения текстовых задач
арифметическим методом.
______________________________________________________
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие способы:
с помощью действий с пояснениями (да, нет), с помощью выражения (да, нет), с помощью вопросов с последующими действиями (да, нет).
Каждое «да» — 1 балл, каждое «нет» — 0 баллов. Максимум —
3 балла.
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие способы: под
робное описание, начинающееся со слова «пусть» (да, нет),
краткое, например, с помощью таблицы с обоснованием урав
нения (да, нет).
Каждое «да» — 1 балл, каждое «нет» — 0 баллов. Максимум —
2 балла.
381 12. Сформулируйте схему решения текстовых задач алгебраичес
ким методом.
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Баллы: _______
13. Какие вопросы задает учитель на этапе исследования задачи?
______________________________________________________
Проверка. 1. Выбрать условие для составления уравнения.
2. Одну из неизвестных обозначить за переменную. 3. Выра
зить остальные неизвестные через эту переменную. 4. Соста
вить уравнение. 5. Решить уравнение. 6. Сделать проверку задачи. 7. Ответить на вопросы задачи.
Наличие указанного этапа — 1 балл, отсутствие — 0 баллов.
В случае, если выбор условия для составления уравнения стоит не на первом месте, снимается 1 балл. Максимум — 7 баллов.
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие вопросы: есть ли другие способы решения (да, нет), что полезного из работы над задачей можно учесть в будущем (да, нет)?
Каждое «да» — 1 балл, каждое «нет» — 0 баллов. Максимум —
2 балла.
Баллы: _______
14. Перечислите, какие виды текстовых задач требуют специ
альной отработки.
______________________________________________________
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие виды: задачи на движение (да, нет), задачи на работу (да, нет), задачи на части
(да, нет), задачи на проценты (да, нет)?
Каждое «да» — 1 балл, каждое «нет» — 0 баллов. Максимум —
4 балла.
Баллы: _______
За текстовые задачи ______ баллов
Максимум 45 баллов
Приложения
382
Переходим к методике обучения учащихся
решению планиметрических задач
1. Укажите ключевыми словами, что является главным для
учителя в связи с методикой обучения учащихся решению планимет
рических задач.
______________________________________________________
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие ключевые слова:
этапы работы над конкретной задачей (да, нет), методы реше
ния планиметрических задач (да, нет), виды планиметриче
ских задач (да, нет), анализ задачного материала (да, нет),
создание комплексов задач, организация деятельности учащих
ся (да, нет).
Каждое «да» — 1 балл, каждое «нет» — 0 баллов. Максимум —
6 баллов.
Баллы: _______
2. Совпадают ли этапы работы над текстовой задачей и над
планиметрической (да, нет)?
______________________________________________________
Проверка. «Да» — 1 балл, «нет» — 0 баллов.
Каждый правильный ответ — 1 балл, пропуск способа —
0 баллов. Максимум — 4 балла.
Баллы: _______
3. Сформулируйте основные вопросы, которые задаются на эта
пе анализа условия планиметрической задачи.
______________________________________________________
______________________________________________________
Проверка. 1. О какой фигуре (фигурах) идет речь в задаче?
2. Что известно об этой фигуре (фигурах)? 3. Что требуется?
Каждый правильный ответ — 1 балл, пропуск вопроса —
0 баллов. Максимум — 3 балла.
Баллы: _______
383 4. Укажите методы решения планиметрических задач.
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
Часть IX. Методика обучения учащихся решению стереометрических задач
Баллы: _______
5. Какой вид планиметрических задач требует особого внимания,
так как вызывает большие трудности у учащихся?
______________________________________________________
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие методы: метод от проитвного (да, нет), алгебраический метод (да, нет), метод доказательства равенства фигур с использованием признаков равенства треугольников (да, нет), метод введения вспомога
тельной величины (да, нет), векторный метод (да, нет), коор
динатный метод (да, нет), метод подобия (да, нет), метод геометрических преобразований (да, нет), метод площадей
(да, нет).
Каждое «да» — 1 балл, каждое «нет» — 0 баллов. Максимум —
9 баллов.
Проверка. Задачи на построение.
Правильный ответ — 1 балл.
Баллы: _______
6. Перечислите методы задач на построение.
______________________________________________________
______________________________________________________
Проверка. Есть ли в вашем списке следующие методы: метод геометрических мест (да, нет), метод вспомогательного тре
угольника (да, нет), метод геометрических преобразований (да,
нет), метод подобия (да, нет).
Каждое «да» — 1 балл, каждое «нет» — 0 баллов. Максимум —
4 балла.
Баллы: _______