Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
40 3. Пропедевтика измерения величин в 5—6 классах.
4. Математические и методические идеи вывода основных формул вычисления площадей фигур.
Литература: [11], [23], [54], [90]; [69, Гл. XVIII, § 1—3].
Планы практических занятий
Часть 1. Методика изучения алгебры
Цели:Освоить базовые методики обучения математике на ал
гебраическом материале. Раскрыть методику изучения основных
содержательных линий школьного курса алгебры (тождественные
преобразования, уравнения и неравенства, функции и их графики)
и характер системы упражнений по этим содержательным линиям.
Познакомиться с особенностями работы при изучении алгебры
в основной школе: алгебраический подход к исследованию проблем
(решение задач в общем виде, сведение к алгебраическим методам),
использование математических тождеств и формул, использование
алгебраических теорем, применение алгебраических методов (метод
уравнений и неравенств, метод использования свойств функций,
графический метод, метод замены переменных, метод разложения
на множители, метод математического моделирования и т. д.).
Познакомиться с изучением нового материала разными метода
ми, с технологией проведения урока обобщения.
Освоить методику работы с некоторыми видами алгебраических
заданий: «Доказать тождество», «Решить уравнение или неравен
ство», «Упростить выражение», «Построить график функции
и, используя график, провести исследование свойств функции».
Тема 1. Алгебраический материал
в курсе математики 5—6 классов
План:
Задание 1. Изучаем структурные связи алгебраического материа
ла в 5—6 классах
1. Определите, какие содержательные линии, изучаемые ал
геброй, находят отражение в курсе математики 5—6 классов.
2. Составьте математические карты реализации каждой содер
жательной линии в учебниках математики [77], [78]. Сравните их с математическими картами по учебникам [20].

41
Задание 2. Осваиваем методику изучения алгебраического мате
риала в 5—6 классах
1. Раскройте методику изучения числовых и буквенных выра
жений. Охарактеризуйте виды заданий по теме. Покажите мето
дику работы с заданием на доказательство:
Докажите, что при любом значении буквы значение выражения:
5 · (7у – 2) – 7 · (5у + 2) равно –24 [20].
2. Раскройте методику изучения уравнений в курсе математи
ки 5—6 классов. Выделите пути введения определения понятия уравнения в 5 классе. Охарактеризуйте виды уравнений и методы их решения. Разработайте методику выполнения задания:
Решите уравнение: (8,3 – х) · 4,7 = 5,64 [20].
3. Охарактеризуйте функциональную пропедевтику в курсе математики 5—6 классов.
Литература: [20]; [69]; [71]; [77]; [78]; [25]—[27]; [10, № 76, 77].
Видеофильм: «Решение уравнений в 6 классе».
Тема 2. Математические выражения
и тождественные преобразования в основной школе
План:
Задание 1. «Изучаем теорию тождественных преобразований»
1. Охарактеризуйте виды алгебраических выражений в курсе алгебры основной школы (последовательность изучения видов,
мотивацию каждого вида, основы выполнения операций).
2. Раскройте схему изучения тождеств (Приложение 5).
3. Раскройте схему изучения тождественных преобразований.
Задание 2. Осваиваем виды тождественных преобразований
1. Раскройте методику изучения тождественных преобразова
ний целых выражений. Разработайте методику введения опреде
ления тождества.
2. По теме «Тождественные преобразования рациональных выражений»:
• Покажите методику изучения теоремы о сумме алгебраиче
ских дробей с одинаковыми знаменателями методами: объ
яснительноиллюстративной беседы (Приложение 21), лекции
(Приложение 22), проблемной беседы (Приложение 23),
работы по учебнику (Приложение 24).
• Охарактеризуйте систему упражнений на сложение и вычита
ние алгебраических дробей с разными знаменателями. Под
берите упражнения на отработку отдельных шагов сложения
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
42
алгебраических дробей и продемонстрируйте их с помощью кодоскопа (компьютера).
• Покажите методику работы с заданием:
Упростите выражение:
2 2
2 2
2 2
4 2
1
:
2 2
4 4
4
a
a
a
a b
b
a
a
ab b
a
b
⎛
⎞ ⎛
⎞
−
+
⎜
⎟ ⎜
⎟
+
−
+
+
−
⎝
⎠
⎝
⎠
[2].
Изменится ли методика, если работать с заданием 2 [33, С. 169]?
3. Подготовьтесь к опросу по листу взаимоконтроля по теме
«Квадратные корни» в 8 классе (Приложение 27). Какие вопросы по теме «Тождественные преобразования иррациональных выра
жений» Вы бы составили по материалам курса алгебры 9 класса?
4. Охарактеризуйте методику формирования умения работать с тождествами сокращенного умножения (Приложение 5). Разра
ботайте методику введения формулы (a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
Проанализируйте виды упражнений на применение формул со
кращенного умножения.
5. Выделите типичные ошибки учащихся, связанные с тожде
ственными преобразованиями и причины их появления.
Литература: [1]; [2]; [3]; [14];[32]; [33]; [34]; [31]; [69]; [71]; [4];
[5]; [6]; [75].
Видеофильм: «Действия со степенями».
Тема 3. Уравнения в курсе математики основной школы
План:
Задание 1. Изучаем теорию уравнений
1. Перечислите основные определения, связанные с уравне
ниями, свойства равносильности уравнений и их систем.
2. Составьте математические карты изучения уравнений и их систем в курсе математики 7—9 классов (виды уравнений и их систем). Охарактеризуйте систему упражнений, связанную с урав
нениями.
Задание 2. Осваиваем виды уравнений
1. Изучите методическую карту «Квадратные уравнения» (При
ложение 36). Перечислите отличия изучения квадратных уравне
ний в учебниках [2], [35].
2. Раскройте методику изучения дробнорациональных урав
нений. Разработайте методику введения определения дробно

43
рационального уравнения. Покажите образцы записи решения уравнения:
3 2
10 1
1 1
y
y
y
y
y
+
=
+
−
−
,используя:
• условие равенства дроби нулю;
• условие равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями;
• критерий равенства двух дробей;
• свойство равенства.
3. Покажите методику работы с текстовой задачей, решаемой методом составления системы уравнений:
Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 280 км,
выходят одновременно два автомобиля. Если автомобили будут
двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдет через 2 ч.
Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль,
вышедший из А, догонит автомобиль, вышедший из В, через 14 ч.
Какова скорость каждого автомобиля?
Охарактеризуйте систему обучающих заданий по решению текстовых задач с использованием систем уравнений [94, С. 62—
64, № 17—22].
4. Выделите типичные ошибки учащихся, связанные с реше
нием уравнений и их систем.
5. Познакомьтесь со статьей «Математическое моделирование —
необходимый компонент современной подготовки школьников»
[48, 1984, № 3]; описанием математических моделей в учебном пособии [94] и учебнике [75].
Литература: [1]; [2]; [3]; [33]; [35]; [69]; [71]; [94]; [75]; [48,
2001, № 3, С. 36].
Тема 4. Неравенства в курсе математики основной школы
План:
Задание 1. Изучаем теорию неравенств
1. Перечислите основные определения, связанные с неравен
ствами, и свойства равносильности неравенств.
2. Составьте математические карты изучения неравенств и их систем в основной школе (виды неравенств и их систем). Охарак
теризуйте систему упражнений, связанную с неравенствами.
3. Ознакомьтесь с логикодидактическим анализом темы «Не
равенства» [62, С. 179—190].
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
44
⎧
⎨
⎩
4. Раскройте методику изучения числовых неравенств и дока
зательства свойства об умножении обеих частей неравенства на одно и то же отличное от нуля число.
Задание 2. Осваиваем виды неравенств
1. Разработайте методику изучения неравенств с одной пере
менной, сводящихся к линейным.
2. Покажите методику работы с заданием:
Решите систему неравенств:
2у – (у – 4) < 6,
у > 3 · (2у – 1) + 18. [2].
3. Покажите образцы решения дробнорационального нера
венства:
1 1
2 1
x
x
x
x
−
+
−
≤
−
двумя способами:
а) путем использования системы;
б) методом интервалов.
4. Раскройте методику работы с текстовой задачей, решаемой методом неравенств:
Туристы отправились на моторной лодке по течению реки
и должны вернуться обратно к стоянке не позднее, чем через 3 ч. На
какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения
реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч [2].
5. Ответьте на вопрос: «Каковы на Ваш взгляд, пути обучения учащихся решению текстовых задач?»
Литература: [1]; [2]; [3]; [69]; [71]; [4]; [5]; [6]; [75].
Тема 5. Изучение функциональной зависимости
в курсе математики основной школы
План:
Задание 1. Изучаем теорию функций
1. Перечислите основные определения, связанные с функция
ми и способы их задания.
2. Составьте математическую карту изучения функций в учеб
никах [1]; [2]; [3]. Сравните реализацию содержательной линии функций в учебниках [1]; [2] и [36]. Ответьте на вопрос: «Какие преимущества дает введение понятия функции только в 9 классе основной школы?» (Приложение 32).

45 3. Подготовьте фрагмент урока в 7 классе по введению поня
тия функции. Выделите вопросы, которые останутся для учащихся не раскрытыми.
Задание 2. Осваиваем виды функций
1. Раскройте реализацию методической схемы изучения функ
ций: y = kx + b, y = kx,
k
y
x
=
,
y
x
=
, y = x
n
, n
∈ Z (Приложение 31,
Приложение 10). Охарактеризуйте систему упражнений, связан
ную с функциями.
2. Определите роль и место свойств функций, изучаемых в основной школе, и раскройте алгоритмы исследования свойств функций элементарными способами, используя «Примеры вы
полнения заданий по свойствам функций» [36, С. 312—322].
Литература: [1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [14]; [69]; [71]; [36];
[37]; [75].
Тема 6. Квадратичная функция
План:
1. Составьте математическую карту изучения квадратичной функции и ее частных случаев. Сравните с Приложением 34.
2. Раскройте методику изучения доказательств свойств функ
ции y = ax
2 3. Опираясь на записи, сделанные учителем на доске, по теме
«Функция y = ax
2
+ п» (Приложение 35), сформулируйте задания,
которые предлагались учащимся, и определите их назначение.
4. Охарактеризуйте способы построения графика квадратичной функции и их алгоритмы:
а) по характерным точкам;
б) по шаблонам;
в) с помощью преобразований.
5. Покажите методику работы с заданием:
Постройте график функции у= –х
2
+ 2х + 8 и найдите, исполь
зуя график:
а) значение функции при х = 2,5; –0,5; –3;
б) значения аргумента, при которых у = 6; 0; –2;
в) нули функции, промежутки, в которых у > 0, у < 0;
г) промежутки возрастания и убывания функции, область зна
чений функции.
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
46 6. Выполните задания [37]:
1. Графики каких из функций изображены на рисунке:
а)
2 5
6
y
x
x
=
−
−
;
б)
2 5
6
y
x
x
=
−
−
;
в)
2 5
6
y
x
x
=
−
−
;
г)
3 2
6 6
1
x
x
x
y
x
−
− −
=
−
y
x
0 1
–6
–10
y
x
0
–1 6
10 6
2. На каком из рисунков расположен фрагмент графика
11,3 47 1001
y
x
x
=
+
+
?
x
y
0
x
y
0
x
y
0
Верно ли, что график данной функции:
а) «идет вверх» на промежутках [100; 1000] и [–1; 1];
б) пересекает ось абсцисс;

47
в) лежит выше прямой у = 100;
г) лежит левее прямой х = 2000;
д) имеет ось симметрии?
3. Запишите неравенство второй степени, имеющее множест
во решений:
а)
б)
в)
г)
–a
a
x
a
a + 3
x
a
b
x
a
x
Контрольное задание. Разработайте методику обучения учащих
ся решению квадратных неравенств и составьте конспект первого урока.
Литература: [3]; [5]; [71]; [37]; [75], [48, 2001, № 7, С. 39, № 7,
С. 34; 2001, № 6, С. 21].
Видеофильм: «Решение квадратных неравенств».
Тема 7. Подготовка к экзамену
по алгебре за курс основной школы
План:
1. Раскройте систему работы учителя по подготовке учащихся к экзамену по алгебре за курс основной школы, опираясь на практику работы школы.
2. Выделите темы, выносимые на экзамен по алгебре за курс основной школы, и составьте план заключительного повторения по выделенным темам курса (20 ч).
3. Раскройте методику итогового повторения темы «Функция»
за курс основной школы (3 ч). Покажите первый урок (урок
лекцию) по этой теме. Предусмотрите:
• обобщение теоретического материала;
• выделение основных видов заданий по теме и алгоритмов их решения (Приложение 26).
4. Выполните и правильно оформите экзаменационную рабо
ту по алгебре за курс основной школы и предложите коллеге проверить ее:
1) Упростите выражение: 4аb + 2 · (а – b)
2
.
2) Решите систему уравнений:
4х – 2у = –6,
6х + у = 11.
3) Решите неравенство: 6 — 3х < 19 – (х – 7).
⎧
⎨
⎩
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
48
4) Решите уравнение: 6 +
7
x
= х.
5) а) Постройте график функции у = –х
2
– 2х + 3.
б) Найдите значения х, при которых у = 3.
6) На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил
круг на 2 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг.
За сколько минут каждый лыжник проходил круг?
Найдите cos
α, если
12
sin
13
α = −
и
3 2
π
π < α <
.
Литература: [6]; [36]; [37]; [59]; [48, 1999, № 4, С. 80; 1994,
№1, С. 24; 2001, № 3, С. 14; 2001, № 8, С. 12].
Часть 2. Методика изучения планиметрии
Цели:Освоить базовые методики обучения математике на пла
ниметрическом материале. Раскрыть методику изучения основных
содержательных линий школьного курса планиметрии (геометриче
ские фигуры и их свойства, геометрические построения, измерения
геометрических величин, равенство геометрических фигур, геомет
рические преобразования) и характер системы задач по этим содер
жательным линиям.
Познакомиться с особенностями работы при изучении плани
метрии (дедуктивный характер изложения, использование аксио
матического метода, метода от противного, методов доказатель
ства равенства фигур на основе признаков равенства треугольников
и на основе движения, метода подобия, алгебраического метода
и др.). Познакомиться с методикой преобразования задач по схеме:
стандартная — обучающая — поисковая.

49 2. Охарактеризуйте цели, содержательные геометрические ли
нии и методические особенности пропедевтического курса гео
метрии 5—6 классов, реализованные в учебниках [20], [82]—[84];
[107]. Приведите примеры типовых заданий.
3. Раскройте изучение измерения величин в 5—6 классах (дли
на, площадь, объем, мера угла).
Задание 2. Осваиваем методику изучения геометрического мате
риала в пропедевтическом курсе
1. Разработайте методику изучения в пропедевтическом курсе понятий:
а) окружность;
б) биссектриса угла.
2. Покажите фрагмент урока по изучению объема прямоуголь
ного параллелепипеда.
3. Раскройте методику формирования умения пользоваться транспортиром.
Литература: [20]; [65]; [77]; [78]; [93]; [10, № 126—136]; [82]—
[84]; [107].
Видеофильм: «Урок геометрии в начальной школе».
Тема 9. Изучение аксиом в курсе планиметрии
План:
Задание 1. Знакомимся со структурой курса планиметрии
1. Охарактеризуйте сущность аксиоматического метода. Про
демонстрируйте логическое строение геометрии на одном из понятий, на одном из утверждений.
2. Составьте перечень математических карт реализации содер
жательных линий школьного курса планиметрии. Разработайте математическую карту изучения треугольников в учебнике [90]
и сравните с изучением треугольников в учебниках [11] и [8].
3. Сделайте сообщение:
• о совместном изучении планиметрии и стереометрии [44],
• о дискуссии на тему раннего введения аксиом [71].
Задание 2. Осваиваем методику изучения первых разделов пла
ниметрии
1. Подготовьте конспект первого урока планиметрии (включить вводную беседу и методику изучения I группы аксиом — аксиом принадлежности по учебнику [90]). Изменится ли содержание первого урока, если работать по учебнику [11]?
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
50 2. Раскройте методику формирования понятий:
а) отрезка; треугольника;
б) луча; угла.
3. Охарактеризуйте первые теоремы учебника геометрии (до изучения признаков равенства треугольников). Раскройте изуче
ние понятия «теорема». Составьте беседу о необходимости изу
чения теорем и их доказательств. Покажите методику доказатель
ства теоремы о пересечении сторон треугольника в учебнике [90]
на рисунках без письменного оформления этапов доказательства.
4. Раскройте методику работы с задачами, разобранными в тексте § 1 учебника [90].
5. Укажите отличия в формулировке аксиомы параллельности прямых в учебниках [11] и [90]. Охарактеризуйте метод от про
тивного и покажите методику его использования при доказатель
стве транзитивности параллельности прямых.
6. Решите задачу:
Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка В
1
, а на
стороне ВС — точка А
1
. Докажите, что отрезки АА
1
и ВВ
1
пересе
каются [90, № 47, § 1].
Литература: [11]; [90]; [54]; [23]; [71, С. 260—263 и гл. 16]; [8];
[69, гл. XIX]; [56, С. 6—7]; [44]; [48, 2001, № 8, С. 35—36, 42—44].
Тема 10. Равенство фигур в школьном курсе планиметрии
План:
Задание 1. Изучаем математические основы равенства фигур
1. Составьте карты реализации линии равенства фигур в школь
ном курсе планиметрии в учебниках [11] и [90].
2. Раскройте методику изучения аксиомы существования тре
угольника, равного данному, и определите ее роль в доказательст
ве признаков равенства треугольников в учебнике [90].
3. Определите математические основы доказательства призна
ков равенства треугольников в учебнике [11].
Задание 2. Осваиваем методику изучения признаков равенства
треугольников
1. Разработайте методику изучения третьего признака равен
ства треугольников по двум учебникам. Охарактеризуйте содер
жание математического диктанта по теме «Третий признак равен
ства треугольников» [67].
2. Сделайте эскиз таблицы «Признаки равенства треугольников».
Предложите различные варианты ее использования. Разработайте