Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

51
план обобщающего урока по теме «Признаки равенства треуголь
ников».
3. Покажите методику применения признаков равенства тре
угольников для доказательства равенства фигур на примере ре
шения задачи:
На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ.
Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам
угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссек
триса угла О.
Продумайте использование трафарета:
Рассмотрим
Δ... и
Δ... В них:
а)
б)
Δ... = Δ... (по ... признаку),
в)
значит,
углу
⎡
⎤
⎡
⎤
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
отрезок
отрезку
угол
Предложенную задачу можно преобразовать, сделав откры
тым заключение. Например, так: «Что еще можно доказать по данному условию?». Преобразуйте задачу так, чтобы сделать открытым условие. Какие преимущества дает использование «от
крытых» задач? Преобразуйте задачу в вычислительную (Прило
жение 15).
Литература: [11]; [90]; [71]; [48, 1993, № 2, С. 17—18]; [68,
гл. IV, § 5]; [63, задача 2]; [67, С. 41]; [48, 2001, № 2, С. 23; 2001,
№ 8, С. 36—38, 44—46].
Тема 11. Геометрические преобразования (движение и подобие)
План:
Задание 1. Осваиваем методику изучения движений
1. Составьте математическую карту изучения движений в кур
се планиметрии.
2. Раскройте методику изучения параллельного переноса как одного из видов движения в учебнике [90]. Изменится ли эта методика, если работать по учебнику [11]?
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⇒
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
52 3. Покажите методику применения движений:
а) Для доказательства равенства фигур на примере задачи:
Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные сто
роны и угол между ними одного параллелограмма соответственного
равны смежным сторонам и углу между ними другого параллело
грамма [11, № 1157].
б) Для решения задач на построение на примере задачи:
Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок,
концы которого лежат соответственно на данных окружностях,
а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных
окружностей [11, № 1227].
Задание 2. Осваиваем методику изучения подобия
1. Составьте математические карты изучения подобных фигур в учебниках [11] и [90].
2. Охарактеризуйте методику введения определения подобных фигур (предусмотрите использование наглядности).
3. Охарактеризуйте применение подобия для решения задач:
• на доказательство;
• на вычисление;
• на построение.
Приведите примеры.
Контрольное задание. Раскройте методику изучения 2го при
знака подобия треугольников по учебнику [90]. Изменится ли эта методика, если работать по учебнику [11]?
Литература: [11]; [90]; [71]; [69]; [74]; [48, 2001, № 8обложка,
С. 3—5].
Тема 12. Четырехугольники и многоугольники
План:
Задание 1. Осваиваем методику изучения четырехугольников
1. Проведите сравнительный анализ изучения четырехуголь
ников по учебникам [11], [90] и составьте математическую карту
«Изучение четырехугольников».
2. Охарактеризуйте теоремысвойства и теоремыпризнаки в школьном курсе планиметрии. Покажите методику формиро
вания этих понятий при изучении темы «Параллелограмм».
3. Проанализируйте теоремы по теме «Четырехугольники»
и определите, какие из них можно рассмотреть совместно с классом, какие можно предложить для работы по учебнику,
а какие для самостоятельного «открытия». Охарактеризуйте ме
тодику работы в каждом случае.

53 4. Разработайте планконспект урока лекции на тему «Виды параллелограмма».
5. Подготовьте обобщающий урок по теме «Четырехугольни
ки» (рассмотрите различные формы работы, используйте нагляд
ность). Предусмотрите единый план ответа учащихся по каждому виду четырехугольников.
6. Охарактеризуйте задачи по теме: «Вписанные и описанные четырехугольники» и покажите методику работы с одной из них
(по учебнику [11]).
Задание 2. Осваиваем методику изучения многоугольников
1. Приведите сравнительный анализ изучения многоугольни
ков по учебникам [11], [90], составьте математическую карту
«Изучение многоугольников».
2. Охарактеризуйте задачи по теме: «Многоугольники» (по учебнику [90]), «Правильные многоугольники» (по учебнику [11]).
Литература: [11]; [90]; [48, 1985, № 1, С. 32—39; 1986, № 2,
С. 44—47; 1993, № 2, С. 14—17, С. 56—57]; [71, § 46]; [63, С. 13—18,
24—30]; [56, С. 92—94].
Тема 13. Методика изучения площадей
План:
Задание 1. Изучаем аксиоматический подход к измерению гео
метрических величин
1. Определите последовательность изучения и место темы
«Площади» в курсе планиметрии, составьте математические кар
ты по учебникам [11], [90].
2. Раскройте изучение понятия «Площадь плоских фигур».
Проведите сравнительный анализ с изучением понятия «Длина».
Охарактеризуйте аксиоматический подход к измерению площа
дей в школьном курсе планиметрии.
3. Раскройте методику работы с учебником при изучении площади:
а) прямоугольника (по учебнику [90]);
б) квадрата (по учебнику [11]).
Задание 2. Осваиваем методику вывода формул вычисления пло
щадей и их использования
1. Определите, при выводе каких формул вычисления площа
дей используются следующие приемы:
• прием достраивания до изученной фигуры;
• прием реконструкции фигуры;
• прием разбиения на изученные фигуры.
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
54
Составьте планы доказательства выделенных теорем.
2. Оформите вид доски при выводе формулы площади круга:
а) по учебнику [90];
б) по учебнику [11].
3. Определите, при доказательстве каких теорем школьного курса планиметрии площадь фигуры используется как вспомога
тельная величина.
4. Составьте эскиз справочной таблицы всех формул площа
дей геометрических фигур, изучаемых в курсе планиметрии. Оха
рактеризуйте варианты использования такой таблицы.
5. Разработайте математический диктант по теме «Площади фигур» по двум учебникам (2 подгруппы).
6. Используя Приложение 14, опишите урок решения задач по теме «Площади». Продумайте возможности использования план
шетов (прозрачных папок для бумаг) в процессе обучения реше
нию задач по теме «Площади фигур».
7. Составьте вариативную самостоятельную работу по теме
«Площади фигур».
Литература: [11]; [90]; [54]; [23]; [69, Гл. XVIII, § 1—3]; [67];
[48, 1994, № 4, С. 20—22].
Тема 14. Обсуждение домашней контрольной работы
«Методика изучения темы»
Разделы контрольной работы:
• математическая карта темы;
• планирование темы;
• развернутые планы уроков различных видов и с применени
ем различных методов.
Развернутый план урока — это планконспект, в котором:
1) указаны ключевые вопросы диалога на каждом этапе урока;
2) выполнены основные рисунки, включая краткую запись условий рассматриваемых задач;
3) оформлены доказательства и решения (вид доски и тетра
дей);
4) выделены названия этапов доказательства (для этапа усвое
ния теоремы);
5) указаны варианты организации работы учащихся на уроке:
• описание дидактических средств по теме;
• аннотированный список методической литературы по теме.

55
Планы лабораторных работ
Часть 1. Методика обучения решению
планиметрических задач
Эта методика включает в себя:
• овладение этапами анализа условия с одновременным по
строением чертежа, поиска, оформления и исследования решения;
• овладение различными методами решения геометрических задач;
• овладение способами решения задач различных видов;
• анализ задач пункта учебника геометрии с целью выделения групп задач и создания их комплексов;
• выделение задач с разной целевой установкой (опорные задачи, задачи обязательного уровня, тренажные задачи,
познавательные задачи и т. д.).
Лабораторная работа № 1
Методика решения планиметрических задач
Цели: Повторить этапы деятельности при решении матема
тических задач, выделить методы решения геометрических задач
(метод от противного, алгебраический метод, метод доказатель
ства равенства фигур с использованием признаков равенства тре
угольников), познакомиться с методикой создания комплексов задач,
раскрыть организацию обучения решению геометрических задач.
Замечание: К занятию решить упражнения № 18—51, § 4 [90].
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем отдельные этапы работы над задачей
и методы решения планиметрических задач
1. Познакомьтесь с методикой работы с геометрической за
дачей (Приложение 12).
2. Выясните, при решении какой из предложенных задач могут возникнуть трудности при построении чертежа? Проду
майте серию предварительных вопросов, чтобы избежать воз
можных трудностей при решении задачи № 32:
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 70°.
Найдите углы треугольника.
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
56 3. Верно ли, что оформление решения задачи № 35 (В тре
угольнике АВС проведена высота СD. Какая из трех точек А, В, D
лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника ост
рые?) вызывает затруднение у учащихся? Каким методом решает
ся эта задача? Назовите этапы этого метода. Какова методика поиска пути решения задачи, если метод учащимся известен?
Проведите этап поиска решения задачи № 35. Какие задачи § 4
решаются тем же методом?
4. Верно ли, что задача № 27 (В равнобедренном треугольнике
АВС с основанием АС проведена биссектриса СD. Найдите углы
треугольника АВС, если угол АDС равен 60°) решается алгебраиче
ским методом? Назовите этапы этого метода. Проведите к задаче
№ 27 этапы анализа условия и поиска решения. Приведите пример задачи § 4, решаемой алгебраическим методом.
5. Верно ли, что в задаче № 49 (Отрезок ВС пересекает прямую
а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны.
Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС) требуется доказать равенство фигур через равенство треугольников? Назо
вите этапы этого доказательства. Составьте основные вопросы,
используемые в задачах рассматриваемого типа. Разработайте методику решения задачи № 49. Приведите примеры задач § 4 на доказательство равенства фигур и раскройте методику их совме
стного решения.
6. Верно ли, что задачу № 37 (Докажите, что биссектриса
внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника парал
лельна основанию) удобно решить методом введения вспомога
тельной величины? Назовите этапы этого метода. Оформите этапы анализа условия и поиска решения задачи № 37. Приведи
те пример задачи § 4, решаемой методом вспомогательной ве
личины.
Задание 3. Осваиваем создание комплексов задач по единому
требованию
1. Рассмотрите задачи: № 18, 22, 23, 24, 25, 26, 30, 44, 41.Что общего в требованиях этих задач? Составьте альбом следующих рисунков:
а) произвольного треугольника с двумя известными углами
(№ 18);
б) равнобедренного треугольника:
• с известным углом при основании треугольника (№ 22);
• известным углом при вершине треугольника (№ 23);
• точно не указанным расположением угла (№ 24; 25);
в) прямоугольного треугольника (№ 41);

57
г) прямоугольного равнобедренного треугольника (№ 44);
д) равностороннего треугольника (№ 26; 30).
Продумайте варианты использования альбома при работе с указанным комплексом задач.
2. Составьте аналогичный альбом рисунков для комплекса задач на нахождение внешних углов треугольника.
3. Раскройте варианты организации обучения решению гео
метрических задач § 4.
Литература: [90]; [63, задача 2]; [70, Гл. V, § 4, 5]; [68, Гл. IV, § 6].
Лабораторная работа № 2
Методика решения геометрических задач на построение методом
геометрических мест и методом вспомогательного треугольника
Цели: Ознакомиться со схемой решения геометрических задач на
построение; выделить основные задачи на построение и описать
методику их решения; раскрыть методику обучения поиску решения
геометрических задач на построение методом геометрических мест
и методом вспомогательного треугольника.
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем схему решения задач на построение
и метод геометрических мест
1. Ответьте на вопросы:
а) Какова общая схема решения задач на построение и в чем сущность каждого этапа этой схемы?
б) Какие основные геометрические места точек используются в школьном курсе планиметрии?
в) Какие построения можно назвать основными? В чем состо
ит методика обучения учащихся решению основных задач на построение (на примере построения биссектрисы угла)
(Приложение 4)?
г) В чем сущность метода геометрических мест?
2. Определите, какую роль в формировании метода геомет
рических мест играет следующее задание:
Используя слова: «точка равноудалена от ...», «точка находится
на расстоянии ... от ...» расскажите:
а) о точке В, если А и Р заданы, и АВ = ВР;
б) о точке Р, если А и В заданы, и АВ = РР;
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
58
в) о точке А, если В и С заданы, и АВ = АС;
г) о точке А, если АВ = АС, точки В и С не заданы, но есть
дополнительное условие: АВ
⊥DE, АС⊥МК, где DE и МК — заданные
прямые.
3. О каких геометрических местах точек идет речь в следую
щих задачах:
• Дан треугольник АВС. На биссектрисе угла А найти точку Х,
равноудаленную от вершин В и С.
• Даны угол А и точки В и С, расположенные одна на одной
стороне угла, другая на другой. Найти точку Р, такую, чтобы
каждая из точек В и С одинаково отстояла бы от А и Р.
4. Предложите схему оформления анализа следующей задачи:
Даны четыре точки А, В, С, D. Найти точку Х, которая одина
ково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D.
Составьте диалог с учащимися, в результате которого могла возникнуть предложенная вами запись.
5. Разработайте поиск решения следующей задачи:
Дан треугольник АВС с прямым углом А. На стороне АВ построй
те точку М, находящуюся на расстоянии АМ от прямой ВС [11,
№ 321].
Задание 3. Осваиваем метод вспомогательного треугольника
1. Ответьте на вопросы:
а) В чем сущность решения задач на построение с помощью вспомогательного треугольника (Приложение 13)?
б) Сколько и каких данных достаточно, чтобы построить:
— треугольник;
— прямоугольный треугольник?
в) Какой треугольник можно построить, если все данные эле
менты отмечены на рисунке:
Как, используя эти чертежи, ввести метод вспомогательного треугольника?
A
B
C
O
c
n
m
k
a
A
B
C
c
m
a

59 2. Оформите этап анализа следующих задач: § 5 № 37, 39, 47;
§ 6, № 71 [90].
3. Разработайте методику решения задачи [11, № 287].
Используя Приложение 6, проанализируйте свою методику с учетом типичных ошибок.
Литература: [11]; [74]; [63, С. 90]; [90].
Лабораторная работа № 3
Методика решения геометрических задач на построение
методом геометрических преобразований и методом подобия
Цели: Раскрыть методику обучения решению геометрических
задач методом геометрических преобразований и методом подобия.
Задание 1. В соответствии с указанными целями сформули
руйте вопросы, на которые хотели бы получить ответ в ходе выполнения лабораторной работы, и вернитесь к ним после ее завершения.
Задание 2. Осваиваем метод геометрических преобразований
1. Определите, какие геометрические преобразования перево
дят точку А в точку В, если:
а) точка О является серединой отрезка АВ;
б) прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку АВ;
в) АО = ОВ и
∠АОВ = α?
2. Выполните лабораторную работу и определите ее роль в формировании метода геометрических преобразований:
Часть I. Цели:
1) повторить построение образов точек при заданном движении;
2) составить алгоритм построения фигуры при заданном дви
жении.
Задание.
Дана фигура F; четыре модели фигур, равных фигуре F;
точки О и М; прямая l и вектор
a
G
. Постройте фигуру: а) симмет
ричную фигуре F относительно точки О; б) симметричную фигуре F
относительно прямой l; в) полученную из фигуры F поворотом вокруг точки М на угол 90° против часовой стрелки; г) полученную из фигуры F параллельным переносом на вектор
a
G
O
M
l
F
a
G
II семестр

Программа по теории и методике обучения математике в основной школе
60
Алгоритм построения фигуры при заданном движении:
1)
2)
3)
Часть II. Цели: Обнаружить свойство точек, связанных друг
с другом некоторым движением.
Задание.
Даны две линии l и m (представьте, что это тонкие линии под микроскопом с многократным увеличением); модели равных им фигур и вектор МК. Известно, что точка А лежит на линии l, точка В — на линии m; точка А переходит в точку В при параллельном переносе на вектор МК. Постройте точки А и В.
m
l
MK
Оформление построения:
Дано:
Способ 1
Способ 2
А — ? В — ?
Формулировка свойства:
3. Разработайте поиск решения задачи:
Даны три попарно пересекающиеся прямые: а, b, с. Постройте
отрезок, перпендикулярный прямой b, с серединой на прямой b
и концами на прямых а и с [90, § 9, № 2].
4. Разработайте поиск решения задачи:
Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них. По
стройте квадрат АВСD так, чтобы вершина В лежала на данной
прямой, а вершина D — на данной окружности [11, № 1231].