Файл: Электрическое поле в вакууме.pdf

Проводники в электрическом поле
5
Электрическое поле внутри цилиндрического конденсатора подобно по- лю длинной заряженной нити:
Hr
q
r
r
E
0 0
2 1
2
)
(





, где  - заряд, приходящийся на единицу длины цилиндров, r – расстояние от оси цилиндра до точки, находящейся в промежутке между обкладками конден- сатора (R
1
< r < R
2
).
Так как поле внутри цилиндрического конденсатора неоднородное, то разность потенциалов между его обкладками найдем по формуле:
1 2
0 0
2 1
ln
2
d
2
d
)
(
2 1
2 1
R
R
H
q
r
r
H
q
r
r
E
R
R
R
R










, откуда получается формула емкости цилиндрического конденсатора
1 2
0
ln
2
R
R
H
C


. (3.6)
Как следует из формулы (3.6), емкость цилиндрического конденсатора зависит от величины его обкладок и расстояния между ними.
Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металли- ческих сфер радиусами R
1
и R
2
, между которыми находится диэлектрик (рис.
3.4). Поле внутри сферического конденсатора подобно полю точечного заряда или заряженного шара и сферы:
2 0
4 1
)
(
r
q
r
E


, где q – заряд конденсатора, r – расстояние от центра сферического конденсато- ра до точки, находящейся в промежутке между сферами (R
1
< r < R
2
).
Разность потенциалов между обкладками равна
2 1
1 2
0 2
1 0
2 0
2 1
4 1
1 4
d
4
d
)
(
2 1
2 1
R
R
R
R
q
R
R
q
r
r
q
r
r
E
R
R
R
R




















, откуда получается формула емкости сферического конденсатора

Проводники в электрическом поле
6 1
2 2
1 0
4
R
R
R
R
C



. (3.7)
Из формулы (3.7) видно, что емкость сферического конденсатора, также как плоского и цилиндрического, зависит от размера его обкладок и расстояния между ними.
Отметим, что емкости конденсаторов, в зависимости от их назначения и конструкции, лежат в пределах 1 пФ – 10000 мкФ.
3.4. Соединения конденсаторов
Располагая набором конденсаторов, можно расширить число возможных значений емкости и рабочего напряжения, если применить соединение конден- саторов в батареи.
Параллельное соединение конденсаторов (рис. 3.5). При параллельном соединении одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал 
1
, а другая 
2
. Следовательно, суммарный заряд конденсаторов















N
i
i
N
i
i
N
i
i
C
C
q
q
1 2
1 1
2 1
1
)
(
)
(
Так как
2 1




q
C
, то емкость батареи конденсато- ров равна



N
i
i
пар
C
C
1
Следовательно, при параллельном соединении конденсаторов емкости складываются. Предельное напряжение батареи равно наименьшему из значе- ний U
max для конденсаторов, включенных в батарею.
Последовательное соединение конденсаторов (рис. 3.6). При последо- вательном соединении все конденсаторы имеют одинаковый заряд q. Поэтому напряжение на каждом из конденсаторов
i
i
C
q
U 

1

2
C
1
C
2
C
N
Рис. 3.5. Параллельное со- единение конденсаторов

Проводники в электрическом поле
7
Сумма напряжений на конденсаторах равна разности потенциалов, приложен- ной к батареи












N
i
i
N
i
i
N
i
i
C
q
C
q
U
1 1
1 2
1 1
, откуда получается, что



N
i
i
посл
C
C
1 1
1
При последовательном соединении кон- денсаторов складываются величины, обратные емкостям. Напряжение на каждом конденсаторе не должно превышать указанное для него U
max
. Если C
1
 C
2
 C
N
, то емкость батареи равна C  C
1
/N, а максимальное допустимое напряжение, которое можно подать на батарею равно (U
max
)
бат
 NU
max
+q q
q
+q
+q q

1

2
C
1
C
2
C
N
Рис. 3.6. Последовательное соединение конденсаторов

Глава 4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
4.1. Энергия системы зарядов
Найдем выражение для потенциальной энергии системы точечных заря- дов. Рассмотрим два заряда q
1
и q
2
. Обозначим 
12
– потенциал, создаваемый зарядом q
1
в точке, где находится заряд q
2
; 
21
– потенциал, создаваемый заря- дом q
2
в точке, где находится заряд q
1
Потенциальная энергия заряда q
1
равна
12 0
2 1
21 1
1 4
r
q
q
q
W




, потенци- альная энергия заряда q
2
равна
12 0
1 2
12 2
2 4
r
q
q
q
W




, где r
12
– расстояние меж- ду зарядами.
Тогда энергия системы двух зарядов будет
12 2
21 1
2 1





q
q
W
W
, или
12 2
21 1
2




q
q
W
, откуда следует
)
(
2 1
12 2
21 1




q
q
W
Для трех зарядов путем аналогичных рассуждений, получается формула
)].
(
)
(
)
(
[
2 1
)
(
)
(
)
[(
2 1
23 13 3
32 12 2
31 21 1
23 3
32 2
13 2
31 1
12 2
21 1

























q
q
q
q
q
q
q
q
q
W
Обозначим потенциалы в тех точках, где находятся заряды q
1
, q
2
, q
3
через
,
,
23 13 3
32 12 2
31 21 1















соответственно.
Тогда получим формулу для энергии трех зарядов:
)
(
2 1
3 3
2 2
1 1






q
q
q
W
Для системы n зарядов:




n
i
i
i
q
W
1 2
1
, (4.1)

Энергия электрического поля
2
где 
i
– потенциал, создаваемый в точке, где находится заряд q
i
всеми зарядами, кроме q
i
4.2. Энергия заряженного проводника
Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов q. Поверхность проводника является эквипотенциальной, поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды q, оди- наковы и равны потенциалу  проводника. Применяя к системе зарядов q формулу (4.1), находим










q
q
q
W
2 1
2 1
2 1
. (4.2)
4.3. Энергия заряженного конденсатора
Каждый из элементарных зарядов, на которые можно мысленно разде- лить заряд положительно заряженной обкладки конденсатора (+q), находится в точке с потенциалом 
1
, а каждый из зарядов, на которые можно разделить за- ряд отрицательно заряженной обкладки (q) – в точке с потенциалом 
2
. Со- гласно (4.1) энергия такой системы зарядов равна
qU
q
q
q
W
2 1
)
(
2 1
]
)
(
)
[(
2 1
2 1
2 1











. (4.3)
Формулу (4.3) можно переписать в виде
C
q
CU
qU
W
2 2
2 1
2 2



, (4.4) где C – емкость конденсатора, U – напряжение между его обкладками.
4.4. Энергия электрического поля
Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, ха- рактеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками.
Подставим в формулу (4.4) выражение для емкости плоского конденсато- ра, тогда
2 0
2 0
2 2
1 2
1 2
1
E
Sd
U
d
S
CU
W






Энергия электрического поля
3
Произведение Sd представляет собой объем V, занимаемый полем. Таким обра- зом, можно написать
V
E
W
2 2
0


Объемной плотностью энергии  электрического поля называется энер- гия, приходящаяся на единицу объема, занимаемого полем. Единица объемной плотности энергии в СИ []  Дж/м
3
Следовательно, для объемной плотности энергии поля плоского конден- сатора получим формулу
2 2
0
E
V
W




. (4.5)
Отметим, что формула (4.5) дает энергию электрического поля и в общем слу- чае, независимо от того, где сосредоточено поле.
Учитывая, что
E
D
0


, формулу (4.5) можно представить в виде
0 2
2 2




D
DE
Ранее мы показали, что
)
(
0
P
E
D



, поэтому
2 2
2
)
(
2 0
0
EP
E
P
E
E







. (4.6)
Первое слагаемое в формуле (4.6) представляет собой объемную плот- ность энергии электрического поля в вакууме, а второе представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.
Таким образом, объемная плотность энергии поля определяется плотно- стью энергии поля в вакууме и плотностью энергии, затрачиваемой на поляри- зацию диэлектрика.

Глава 5. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
5.1. Основные характеристики постоянного тока
Электрический ток – направленное движение заряженных частиц под действием электрического поля.
Носители тока в проводниках – электроны. В проводящих растворах ток образуют ионы, в газах – ионы и электроны.
За направление тока принимают направление движения положительных зарядов, поэтому направление тока в металлах противоположно движению электронов. Линиями тока называют линии, вдоль которых движутся заряды.
Сила тока – величина, равная заряду, переносимому носителями тока че- рез поперечное сечение проводника в единицу времени.
Единица силы тока в СИ – ампер [А].
Ток, не меняющийся со временем по направлению и величине, называет- ся постоянным током. Сила постоянного тока I равна
t
q
I 
Если сила тока зависит от времени, то мгновенное значение силы тока i определяют по формуле:
t
q
i
d d

, где dq – бесконечно малый заряд, проходящий через проводник за бесконечно малый промежуток времени dt.
Плотностью тока j называется отношение силы тока через расположен- ную в данной точке перпендикулярную к направлению движения носителей площадку S

к величине этой площадки


S
I
j
d d
Плотность тока – векторная величина. За направление вектора плотности тока принимают направление движения положительных зарядов.

Постоянный электрический ток
2
Единицей плотности тока в СИ является A/м
2
. На практике плотность то- ка чаще измеряют в A/мм
2
Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно найти си- лу тока I через любую поверхность S (рис. 5.1):







S
n
S
S
S
j
S
j
S
j
I
d d
cos d


, где  - угол между вектором
j

и нормалью
n

к dS, j
n
– составляющая вектора
j

по направлению нормали к dS.
Если проводники имеют различное сечение, то плотность тока по всей длине проводника будет различ- ной, а сила тока на всем протяжении проводника будет одинакова.
5.2. Электродвижущая сила и напряжение
Если к заряженному конденсатору подключить лампочку, то она через небольшой промежуток времени погаснет. Это произойдет потому, что за счет движения зарядов во внешней цепи потенциалы обкладок сравняются, и раз- ность потенциалов между обкладками будет равна нулю.
Чтобы в цепи длительное время существовал ток, необходимо на опреде- ленном участке цепи поддерживать разность потенциалов, т.е. совершать рабо- ту против сил электрического поля. Так как работа электростатических сил на замкнутом пути равна нулю, то необходимы сторонние силы. Роль сторонних сил могут играть силы любой природы, кроме электростатических сил. Напри- мер, в гальваническом элементе роль сторонней силы играет энергия химиче- ской реакции.
Электродвижущей силой (ЭДС)  называется работа сторонних сил A
ст по перемещению единичного положительного заряда q вдоль замкнутой цепи:
q
A
ст


Единицей ЭДС является вольт:
n
J
 dS
Рис. 5.1. Вектор плотности тока

Постоянный электрический ток
3
В
Кл
Дж
]
[



Работа сторонних сил по перемещению заряда q вдоль замкнутой цепи равна




l
E
q
l
F
A




d d
ст ст ст
, где ст
F

– сторонняя сила, l

d – перемещение заряда, ст
E

– напряженность поля сторонних сил.
ЭДС, действующая в цепи:




l
E
q
A


d ст ст
Иными словами, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, равна циркуляции вектора напряженности поля сторонних сил.
Участок 1 – 2 электрической цепи (рис. 5.2), содержа- щий ЭДС, называется неоднородным участком цепи.
На заряд q на данном участке цепи действуют как сто- ронние силы F
ст
, так и силы электростатического поля F
е
:
)
(
ст е
ст
E
E
q
F
F
F









Работа результирующей силы
F

на участке 1–2 равна
)
(
d d
2 1
12 2
1 2
1
ст
12










q
q
l
E
q
l
E
q
A




где 
12
– ЭДС, действующая на участке 1–2.
Напряжением (падением напряжения) U
12
на участке цепи 1–2 называет- ся физическая величина, численно равная сумме работ электростатических и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда:
12 2
1 12






U
. (5.1)
Итак, ЭДС представляет собой работу сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, разность потенциалов равна работе элек- тростатических сил, а напряжение является их суммой.

1

2

1 2
R
r
Рис. 5.2

Постоянный электрический ток
4
Однородным называется участок цепи, на котором не действует ЭДС.
Напряжение U
12
на однородном участке цепи совпадает с разностью потенциа- лов на концах участка:
2 1
12




U
5.3. Закон Ома для однородного участка цепи
Согласно закону, установленному Омом, сила тока, текущего по провод-
нику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике и обратно про-
порционально сопротивлению проводника R:
R
U
I 
. (5.2)
Сопротивление измеряется в омах (Ом). Сопротивление 1 Ом имеет такой проводник, в котором при напряжении 1 В течет ток силой 1 А.
Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала, из ко- торого он изготовлен:
S
l
R


, где l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения;  – удельное со- противление.
Удельное сопротивление – это сопротивление проводника единичной длины и единичного сечения. Удельное сопротивление зависит от материала проводника и его температуры. Единицей удельного сопротивления проводни- ка в СИ является (Омм).
Для большинства металлов удельное сопротивление растет с температу- рой приблизительно по линейному закону:
)
1
(
0
t





, где 
0
– удельное сопротивление при 0С, t – температура по шкале Цельсия,
1/273 К
-1
– температурный коэффициент сопротивления. Переходя к абсо- лютной температуре, получаем
T




0