Файл: Электрическое поле в вакууме.pdf

Действие магнитного поля на токи и заряды 3 заряда e направление силы Лоренца совпадает с направлением векторного про- изведения
B
v



. В случае отрицательного заряда направления векторов
Л
F

и
B
v



противоположны (рис. 7.3).
Модуль силы Лоренца равен




sin
Л
vB
e
F
, (7.5) где  - угол между векторами
v

и
B

Поскольку сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости частицы, она работы над заряженной частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя.
Если на заряженную частицу кроме магнитной силы действует и элек- трическая сила, то сумма сил будет равна
B
v
e
E
e
F









Л
. (7.6)
Силу, определяемую уравнением (7.6), называют обобщенной силой Ло-
ренца.
7.3. Движение заряженных частиц в магнитном поле
Рассмотрим движение частицы с зарядом e в однородном магнитном по- ле с индукцией
B

, направленном перпендикулярно начальной скорости части- цы (рис. 7.4, а). Сила Лоренца, согласно формуле (7.5) равна
vB
e
F


Л
. Эта сила направлена перпендикулярно к скорости частицы и сообщает ей центростреми- тельное ускорение a  v
2
/R, где R – радиус окружности, по которой движется частица. Согласно 2 закону Ньютона
vB
e
R
v
m


2
, откуда следует, что
v
B
F
Л
а)
б)
F
Л
v
B
Рис. 7.3. Направление силы Лоренца:
а) положительный заряд; б) отрицательный заряд

Действие магнитного поля на токи и заряды 4
B
e
mv
R


, (7.7) где m – масса частицы.
Итак, в случае, когда вектор скорости
v

перпендикулярен вектору маг- нитной индукции
B

, заряженная частица движется по окружности, радиус ко- торой зависит от скорости частицы, индукции магнитного поля и отношения заряда частицы к ее массе. Отношение заряда частицы к ее массе





 
m
e
называ- ют удельным зарядом частицы.
Чтобы найти период обращения частицы T по окружности, разделим дли- ну окружности l  2R на скорость частицы
m
BR
e
v


:
B
e
m
T
1 2



. (7.8)
Как видно из формулы (7.8), период обращения частицы не зависит от ее скорости, он определяется только удельным зарядом частицы и величиной ин- дукции магнитного поля.
Выясним характер движения частицы в том случае, когда ее скорость об- разует с направлением магнитного поля угол   90. Разложим вектор скоро- сти
v

на две составляющие: составляющую, перпендикулярную линиям векто- ра магнитной индукции




sin
v
v
и составляющую, параллельную линиям индукции



cos
||
v
v
v
F
Л
B
a)
R
h
B

v
v
||
v

б)
Рис. 7.4. Движение заряженной частицы в магнитном поле:
а) вектор скорости перпендикулярен вектору индукции,
б) вектор скорости составляет угол  с вектором индукции

Действие магнитного поля на токи и заряды 5
Сила Лоренца перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы
v

и
B

, следовательно, ее составляющая в направлении вектора
B

равна нулю и по- этому составляющая скорости
||
v
не изменяется. Таким образом, движение час- тицы можно представить как наложение двух движений: 1) перемещения вдоль линий вектора
B

с постоянной скоростью



cos
||
v
v
и 2) вращения в плоско- сти, перпендикулярной вектору
B

Радиус вращения равен
B
e
mv
R




sin
. (7.9)
Траектория движения представляет собой спираль, ось которой совпа- дает с направлением вектора
B

(рис. 7.4, б). Шаг спирали равен h  v
||
T, т.е.





cos
1 2
v
B
e
m
h
. (7.10)
Формулы (7.9) и (7.10) описывают параметры спирали: радиус витка спи- рали R и ее шаг h.
Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы. Если e>0, то спираль закручивается против часовой стрелки, если за- ряд отрицательный, то спираль закручивается по часовой стрелки. Предполага- ется, что мы смотрим на спираль вдоль направления вектора
B

; частица при этом летит от нас, если  < 90, и на нас, если  > 90.
7.4. Эффект Холла
Эффектом Холла называется возникновение поперечного электрического поля в проводнике (или полупроводнике) с током при помещении его в магнит- ное поле. Это явление было обнаружено Холлом в 1880 г. для металлической пластины.
Пусть носителями тока являются положительные заряды (рис. 7.5). Под действием силы Ампера у задней грани пластины будут скапливаться положи- тельные носители, а у передней грани – отрицательные носители. Перераспре-

Действие магнитного поля на токи и заряды 6 деление зарядов будет происходить до тех пор, пока сила со стороны возник- шего электрического поля F
e
не уравновесит силу Лоренца, т.е. F
e
 F
Л
, или
B
v
E
vB
e
E
e






Холловская разность потенциалов равна   vBb. Из соотношения для плот- ности тока j  env выразим скорость носи- телей:
n
e
j
v


, тогда получим выражение для холловской разности потенциалов:
RbjB
bB
n
e
j





, (7.11) где
n
e
R


1
–
постоянная Холла.
Как видно из формулы (7.11) холловская разность потенциалов пропор- циональна магнитной индукции, что позволяет на основе эффекта Холла созда- вать датчики для измерения магнитного поля.
Если носители заряда имеют отрицательный знак, то направление силы
Лоренца не изменится т.к. одновременно меняются направление вектора скоро- сти
v

и знак заряда. Поэтому у задней грани будут скапливаться отрицательные заряды, а у передней – положительные заряды. Таким образом, по знаку эффек- та Холла можно определять знак носителей тока.
7.5. Рамка с током в магнитном поле
Рассмотрим прямоугольную рамку со сторонами a и b, по которой течет ток I. Рамка находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной ин- дукции
B

которого составляет угол  с нормалью
n

к плоскости рамки. Рамка может вращаться относительно вертикальной оси OO (рис. 7.6). Силы Ампера, действующие на горизонтальные стороны рамки, равны по величине, противо- положны по направлению и уравновешиваются:
+ + + + + + + + +
        
v
+
F
Л

1

2
j
b
B
Рис. 7.5. Эффект Холла
F
e

Действие магнитного поля на токи и заряды 7
IBb
F
F


4 2


Силы, действующие на вертикальные стороны рамки, также по модулю равны друг другу
IBa
F
F


3 1


, противоположно направлены и образуют пару сил. Как известно из механики, пара сил создает вращающий момент






sin sin sin m
B
p
IBS
IaBb
M
, (7.12) где S  ab – площадь рамки, p
m
 IS – магнитный момент рамки.
Формулу (7.12) можно записать в векторной форме:
B
p
M





m
. (7.13)
Под действием момента (7.13) рамка будет пово- рачиваться относительно оси OO и установится в поло- жение равновесия. При этом магнитный момент рамки будет ориентирован в направлении магнитного поля, т.е. в направлении вектора
B

. В положении равновесия на стороны рамки будут действовать силы Ампера, стре- мящиеся растянуть или сжать рамку.
Вычислим потенциальную энергию, которой обладает рамка с током в однородном магнитном поле. Для этого найдем работу, которую нужно совер- шить против сил поля, чтобы увеличить угол между векторами
m
p

и
B

на d:





d sin d
d m
B
p
M
A
Поскольку работа dA идет на увеличение потенциальной энергии рамки, то можно написать



d sin d
m
B
p
W
, или






const cos d
B
p
W
W
m
Если const  0, то потенциальная энергия рамки равна
B
p
B
p
W
m
m








cos
. (7.14)
F
1
F
2
F
3
F
4
B
p
m
n

I
O
O
a
b
Рис. 7.6. Рамка с током в магнитном поле

Действие магнитного поля на токи и заряды 8
Согласно (7.14) потенциальная энергия рамки с током минимальна и рав- на W
min
 p
m
B тогда, когда ее магнитный момент рамки направлен по направ- лению поля, W
min
 p
m
B. Максимальной энергией, равной W
max
 p
m
B, рамка обладает тогда, когда ее магнитный момент направлен против направления по- ля. Когда угол между векторами
m
p

и
B

равен 90, рамка имеет нулевое значе- ние потенциальной энергии.
В неоднородном магнитном поле силы, действующие на стороны рамки попарно не равны друг другу. Кроме вращательного момента возникает резуль- тирующая сила, способная сообщить ей поступательное движение. Рамка будет либо втягиваться в область более сильного поля (если векторы
m
p

и
B

направ- лены в одну сторону), либо выталкиваться из поля (если векторы
m
p

и
B

на- правлены в противоположные стороны).
7.6. Работа, совершаемая при перемещении проводника и контура с током
в магнитном поле
Элементарным магнитным потоком через площадку dS называется фи- зическая величина d, равная



cos d
d
S
B
, где  – угол между нормалью к площадке
n

и вектором
B

(рис. 7.7).
Магнитный поток 
через всю поверхность S определяется суммированием (интегрированием) эле- ментарных потоков:








S
S
S
S
B
S
B
S
B
d d
cos d
n


, где B
n
– нормальная составляющая вектора
B

В системе СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб). 1 Вб – это магнитный поток в однородном поле с индукцией 1 Тл через площадку 1м
2
, перпендикулярную вектору индукции поля.

n
B
dS
Рис. 7.7. Элементарный магнитный поток

Действие магнитного поля на токи и заряды 9
Пусть проводник с током перемещается в однородном магнитном поле, линии которого перпендикулярны проводнику (рис. 7.8, а). На проводник дей- ствует сила Ампера
IBl
F 
, где l – длина проводника. На пути dx эта сила совершит работу





d d
d d
d
I
S
IB
x
IBl
x
F
A
, где dS  ldx, d  BdS – поток магнитной индукции, пересекаемый проводни- ком при его движении.
Следовательно,





d
пересеч
I
I
A
. (7.15) т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна про-
изведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся про-
водником.
Формула (7.15) будет справедливой и в том случае, когда линии магнитной ин- дукции не перпендикулярны проводнику, а также при движении проводника в неод- нородном магнитном поле.
Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с током I в магнитном поле. Предположим, что контур пе- ремещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемеще- ния займет положение, изображенное на рис. 7.8, б пунктирной линией. Эле- ментарная работа при этом будет равна
)
d d
(
d
1 2



 I
A
, где d
1
и d
2
– магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и ко- нечном положении соответственно. Обозначим d  d
2
 d
1
– изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом,

 d d
I
A
. (7.16)
B
F
dx
l
I
I
B
d
1 d
2
а)
б)
Рис. 7.8. Проводник (а) и контур (б) с током в магнитном поле

Действие магнитного поля на токи и заряды 10
Проинтегрировав выражение (7.16), определим работу, совершаемую силами
Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:











2 1
)
(
d
1 2
I
I
I
A
, (7.17) т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле
равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока,
сцепленного с контуром. Формула (7.17) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.
Отметим, что работа (7.17) совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля (это поле остается неизменным), а за счет источника тока, поддерживающего постоянной силу тока I.
7.7. Теорема Гаусса для магнитного поля
Как показывает опыт, линии вектора
B

не имеют начала или конца, они всегда замкнуты.
Если мы рассмотрим поток вектора
B

че- рез произвольную замкнутую поверхность, то за- метим, что сколько раз линии вектора
B

входят в поверхность, то столько же раз и выходят из нее
(рис. 7.9). Поэтому
0
d d
n




S
S
S
B
S
B


. (7.18)
Соотношение (7.18) выражает теорему Гаусса для магнитного поля: по-
ток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен
нулю.
n
n
n
n
n
n
B
Рис. 7.9. Магнитный поток через замкнутую поверхность