ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 114
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Глава 6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
6.1. Магнитное поле тока. Индукция магнитного поля
В 1820 г. Эрстед обнаружил, что магнитная стрел- ка, расположенная рядом с проводником отклоняется, когда по проводнику течет ток (рис. 6.1). Магнитная стрелка, как известно, отклоняется в магнитном поле.
Следовательно, вокруг проводника с током образуется магнитное поле.
Магнитное поле – это форма материи, которая создается движущимися зарядами или токами.
Силовой характеристикой магнитного поля является векторная величина
– магнитная индукция
B
Индукция магнитного поля
B
определяется по действию поля на контур с током (рис. 6.2). За направление вектора магнитной индукции принимается направление положительной нормали
n
к плоскости контура с током, находя- щегося в равновесии в магнитном поле. Контур должен быть достаточно малых размеров, чтобы поле в его пределах можно было считать однородным.
Положительной нормалью
n
контура называется перпендикуляр, проведенный к его плоскости так, что- бы направление тока в контуре было связано с направ- лением нормали правилом правого винта.
Произведение силы тока I и площади контура S называется магнитным моментом контура p
m
. Направление вектора
m
p
связа- но с направлением тока в контуре правилом правого винта, т.е. совпадает с на- правлением положительной нормали контура (рис. 3.2). Единицей магнитного момента является ампер-квадратный метр (Ам
2
).
Если контур отклонить от положения равновесия, то на него будет дейст- вовать вращающий момент M, стремящийся вернуть контур в положение рав- новесия. Вращающий момент максимален, когда нормаль к плоскости контура
S
N
I
Рис. 6.1. Влияние про- водника с током на магнитную стрелку
I
n
p
m
B
Рис. 6.2. Контур с током в магнитном поле
Магнитное поле в вакууме
2
перпендикулярна вектору индукции. Модуль индукции магнитного поля определяют как отношение максимального вращающего момента к магнитному моменту контура:
m
p
M
IS
M
B
max max
Итак, магнитная индукция – это векторная величина, численно равная
отношению максимального механического момента, действующего на контур
с током в магнитном поле, к его магнитному моменту. Единицей магнитной индукции в СИ является тесла (Тл). 1 Тл – это магнитная индукция такого поля, в котором на контур малых размеров с магнитным моментом 1 Ам
2
действует максимальный вращающий момент 1 Нм.
Магнитное поле можно изобразить графически с помощью линий маг- нитной индукции. Линией магнитной индукции (силовой линией магнитного поля) называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с на- правлением вектора индукции
B
. Линии магнитной индукции всегда замкнуты.
6.2. Закон Био-Савара-Лапласа. Поле прямого и кругового токов
Согласно закону Био-Савара-Лапласа индукция магнитного поля
B
d , созданная элементом тока l
d , в точке A, радиус-вектор которой r
, равна
3 0
d
4
d
r
r
l
I
B
, (6.1) где
0
410
-7
Гн/м – магнитная постоянная.
Направлен вектор B
d перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы l
d и r
, причем так, что враще- ние вокруг
l
d в направлении
B
d связано с
l
d правилом правого винта (рис. 6.3).
Полную индукцию в точке A можно найти по прин- ципу суперпозиции – векторным суммированием по всем элементам тока:
B
B
d
I
dl
r
Рис. 6.3. Закон Био-
Савара-Лапласа dB
A
Магнитное поле в вакууме
3
Для модуля B
d , в соответствии с формулой (6.1), получим выражение
2 0
sin d
4
d
r
l
I
B
. (6.2)
Применим формулу (6.2) для вычисле- ния полей простейших токов. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (рис. 6.4,
а). Точка, в которой мы вычисляем магнит- ную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рис. 6.4, а видно, что
2
sin d
sin d
d
,
sin
b
r
l
b
r
Подставим эти значения в формулу (6.2):
d sin
4
sin sin sin d
4
d
0 2
2 2
0
b
I
b
Ib
B
Угол для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пре- делах от 0 до . Все B
d в данной точке имеют одинаковое направление (в на- шем случае за чертеж). Поэтому сложение векторов B
d можно заменить сложе- нием их модулей. Следовательно,
0 0
0 0
2
d sin
4
d
b
I
b
I
B
B
Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой
b
I
B
2 0
. (6.3)
Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой сис- тему концентрических окружностей, охватывающих провод (рис. 6.4, б).
Рассмотрим поле, создаваемое током, текущему по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговой ток). Найдем магнитную индукцию в центре тока (рис. 6.5). Каждый элемент тока создает в центре ин-
I
б)
Рис. 6.4. Магнитное поле прямого проводника с током: а) вычисление индукции; б) линии вектора B
I
r
rd
b
d
а)
r
dl
Магнитное поле в вакууме
4
дукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение B
d сводится к сложению их модулей. По формуле (6.2)
2 0
d
4
d
R
l
I
B
( /2). Проинтегрируем это выражение по всему кон- туру:
R
I
R
R
I
l
R
I
B
B
2 2
4
d
4
d
0 2
0 2
0
Итак, магнитная индукция в центре кругового тока равна
R
I
B
2 0
6.3. Магнитное поле движущегося заряда
Чтобы найти магнитную индукцию поля, создаваемого одним движу- щимся зарядом, преобразуем формулу (6.1), заменив силу тока произведением плотности тока на площадь сечение проводника, т.е. I jS. Векторы
j
и l
d имеют одинаковое направление. Поэтому можно написать, что
l
j
S
l
I
d d
, (6.4)
Вектор плотности тока можно представить в виде
v
n
e
j
, (6.5) где n – число носителей в единице объема,
v
– скорость упорядоченного дви- жения носителей, e – положительный заряд.
Подставим в формулу (6.1) выражение (6.4) и заменим в нем
j
согласно
(6.5):
3 0
d
4
d
r
r
v
e
n
l
S
B
. (6.6)
Произведение Sdln – это число носителей заряда, заключенных в элемен- те провода dl. Разделив (6.6) на это число получим магнитную индукцию поля, создаваемого одним зарядом, движущимся со скоростью
v
dl
I
dB
n
R
Рис. 6.5. Магнитное поле кругового тока
Магнитное поле в вакууме
5 3
0 4
r
r
v
e
B
. (6.7)
Формула (6.7) справедлива при условии, что v << c.
Вывод формулы (6.5). Пусть проводник имеет поперечное сечение пло- щадью S (рис.6.6). Заряд каждой частицы равен e. В объеме проводника, огра- ниченном сечениями 1 и 2 содержится nSdl частиц, где n – концентрация час- тиц. Их общий заряд равен dq enSdl. Если частицы движутся слева направо со средней скоростью v, то за время dt dl/v все частицы заключенные в рассматри- ваемом объеме, пройдут через сечение 2. Поэтому сила тока равна
nvS
e
t
l
nS
e
t
q
I
d d
d d
, откуда следует, что
nv
e
S
I
j
. Для положительно заряженных частиц
v
n
e
j
, т.к. направление вектора плотности тока
j
совпадает с направлением вектора скорости
v
. Таким образом, мы пришли к формуле (6.5).
6.4. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора B)
Магнитное поле создается электрическим током. Следовательно, пара- метры магнитного поля зависят от тока.
Циркуляцией вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру
l называется выражение, определяемое формулой
l
B
l
d
, где dl – малый участок контура, B
l
– проекция век- тора
B
на направление dl.
Возьмем контур, охватывающий прямой ток, и вычислим для него циркуляцию. Рассмотрим слу- чай, когда контур перпендикулярен к току (рис. 6.7). Ток перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен за чертеж. Пунктирной линией показана линия dl
j
v
S
Рис. 6.6. К выводу формулы (6.5)
1 2
I
R
B
d
Рис. 6.7. Закон полного тока dl
Магнитное поле в вакууме
6
индукции магнитного поля. В каждой точке контура вектор
B
направлен по ка- сательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим B
l
dl на Bdl
B
, где dl
B
– проекция перемещения l
d на направление
B
. Но dl
B
можно представить в виде Rd, где R – расстояние от прямого тока до l
d , d – угол, на который по- ворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок
l
d . Поэтому, учтя выражение (6.3), можно написать
d
2
d
2
d d
0 0
I
R
R
I
l
B
l
B
B
l
Таким образом, выражение для циркуляции имеет вид
d
2
d
0
I
l
B
l
При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все вре- мя поворачивается в одном направлении, поэтому
2
d
. Если ток не охва- тывается контуром, то при обходе по контуру радиальная прямая поворачива- ется сначала в одном направлении, а затем в противоположном. Поэтому
0
d
. Учитывая этот результат, можно написать
I
l
B
l
0
d
, (6.8) где I – ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, то цирку- ляция вектора
B
равна нулю. Формула (6.8) справедлива и для тока, текущего по проводнику произвольной формы. При этом контур не обязательно должен лежать в плоскости, перпендикулярной к току.
Если контур охватывает несколько токов, то циркуляция вектора
B
равна их алгебраической сумме:
I
l
B
l
0
d
. (6.9)
Формула (6.9) является математическим выражением закона полного то- ка, который читается: циркуляция вектора индукции магнитного поля по замк-
нутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим
контуром, умноженной на магнитную постоянную.
Магнитное поле в вакууме
7
Вычисляя сумму токов, положительным нужно считать такой ток, на- правление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным.
6.5. Магнитное поле соленоида и тороида
Соленоид представляет собой провод, навитый на цилиндрический кар- кас. Если длина соленоида намного больше его диаметра, то соленоид называ- ют длинным (в пределе – бесконечно длинным).
В отношении создаваемого им магнитного поля со- леноид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей осью. Витки соленоида создают поле, индукция ко- торого в каждой точке внутри соленоида направлена па- раллельно его оси.
Применим закон полного тока для расчета индукции поля бесконечно длинного соленоида (рис. 6.8).
В качестве замкнутого контура возьмем прямоугольник 1–2–3–4. По формуле (6.9) запишем:
NI
l
B
l
B
l
B
l
B
l
B
l
l
l
l
l
0 1
4 4
3 3
2 2
1
d d
d d
d
, где I – ток в витке, N – число витков, охватываемых контуром. Из четырех ин- тегралов первый и третий равны нулю, так как вектор
B
перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся. Четвертым интегралом также мож- но пренебречь, поскольку индукция магнитного поля вне соленоида очень мала.
Таким образом,
NI
Bl
l
B
l
B
l
l
0 3
2
d d
Если обозначить n N/l число витков, приходящееся на единицу длины, то индукция магнитного поля внутри соленоида
nI
B
0
. (6.10)
Полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) находится отрезок 2–3. Если этот отрезок находится
Рис. 6.8. Соленоид
2 3
1 4
l
Магнитное поле в вакууме
8
вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, откуда B 0. Таким образом, вне бесконечно длинного соленоида индукция магнитного поля равна нулю, а внутри соленоида поле однородное и имеет величину, определяемую формулой (6.10).
Тороид (кольцевая катушка с током) представляет собой соленоид, свернутый в кольцо (рис. 6.9). Пусть
R(r
1
+r
2
)/2 – радиус средней линии тороида, а r – радиус произвольного замкнутого контура, охватывающего витки тороида. Вектор
B
направлен в каждой точке по касатель- ной к контуру. В соответствии с формулой (6.9) можно написать:
I
l
B
l
B
r
l
0 2
0
d d
Сумма токов, охватываемых контуром
RnI
I
2
, тогда
RnI
rB
l
B
l
2 2
d
0
, откуда находим индукция магнитного поля внутри тороида:
r
R
nI
B
0
Если радиус средней линии тороида много больше радиуса его витка, то
R/r 1 и получается формула, совпадающая с (6.10):
nI
B
0
. (6.11)
В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений то- роида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому поле в пределах всего тороида можно считать однородным только условно, имея вви- ду модуль вектора
B
R
r
r
1
r
2
Рис. 6.9. Тороид
Глава 7. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОКИ И ЗАРЯДЫ
7.1. Сила, действующая на ток в магнитном поле. Закон Ампера
Согласно закону, установленному Ампером, на элемент тока l
d действу- ет в магнитном поле сила
B
l
I
F
d d
, (7.1) где
B
– магнитная индукция в том месте, где находится элемент l
d .
Величина силы (7.1) вычисляется по формуле
sin d
d
lB
I
F
, (7.2) где – угол между векторами l
d и
B
(рис. 7.1). Направлена сила перпендику- лярно к плоскости, в которой лежат векторы l
d и
B
Направление силы, действующей на ток, удобно определять с помощью правила левой руки. Если рас- положить левую руку так, чтобы вектор
B
«вонзался» в ладонь, а четыре сложенные вместе пальца были на- правлены вдоль тока, то отставленный в сторону большой палец покажет направление силы.
Пользуясь законом Ампера, найдем силу взаимодействия двух бесконеч- но длинных прямых токов. Если расстояние между токами b (рис. 7.2), то каж- дый элемент тока I
2
будет находиться в магнитном поле, индукция которого, в соответствии с формулой (6.3), равна
b
I
B
2 1
0 1
. Угол между элементами то- ка I
2
и вектором
1
B
равен 90
. Следова- тельно, согласно (7.2) на единицу длины тока I
2
действует сила
b
I
I
f
2 1
0 21 2
4
. (7.3)
Для силы f
12
, действующей на единицу длины тока I
1
, получается анало- гичное выражение. С помощью правила левой руки можно установить, что при
I
1
B
2
b
f
12
Рис. 7.2. Взаимодействие бесконечно длинных проводников с током
I
2
f
21
B
1
I
dl
dF
Рис. 7.1. Закон Ампера
B
Действие магнитного поля на токи и заряды 2 одинаковом направлении токов проводники притягивают друг друга, а при раз- личном – отталкивают.
На основании закона взаимодействия токов (7.3) устанавливается едини- ца силы тока в СИ – ампер. Ампер – сила тока, который, проходя по двум длин-
ным прямолинейным параллельным проводникам, расположенным на расстоя-
нии 1 м один от другого в вакууме, вызывает силу взаимодействия между
этими проводниками, равную 2
10
-7
ньютон на каждый метр длины.
7.2. Сила Лоренца
Электрический ток представляет собой совокупность упорядоченного движения заряженных частиц. Поэтому действие магнитного поля на провод- ник с током есть результат действия поля на движущиеся заряженные частицы внутри проводника.
Силу, действующую на заряженную частицу со стороны магнитного по- ля, называют силой Лоренца. Эту силу можно найти с помощью закона Ампера.
Заменив в формуле (7.1) произведение
l
I
d на
l
j
S d
, выражению закона Ам- пера можно придать вид
V
B
j
B
j
l
S
F
d d
d
, где dV – объем проводника, к которому приложена сила F
d .
Сила, действующая на единицу объема проводника, равна
B
j
V
F
F
d d
ед.об
Учитывая, что
v
n
e
j
, где e
–
положительный заряд, получим
B
v
n
e
F
ед.об
Эта сила равна сумме сил, приложенных к носителям заряда, заключен- ным в единице объема. Таких носителей n, следовательно, на один заряд дейст- вует сила
B
v
e
F
Л
. (7.4)
Сила (7.4) и есть сила Лоренца. Направлена сила Лоренца перпендику- лярно к плоскости, в которой лежат векторы
v
и
B
. Для положительного
6.1. Магнитное поле тока. Индукция магнитного поля
В 1820 г. Эрстед обнаружил, что магнитная стрел- ка, расположенная рядом с проводником отклоняется, когда по проводнику течет ток (рис. 6.1). Магнитная стрелка, как известно, отклоняется в магнитном поле.
Следовательно, вокруг проводника с током образуется магнитное поле.
Магнитное поле – это форма материи, которая создается движущимися зарядами или токами.
Силовой характеристикой магнитного поля является векторная величина
– магнитная индукция
B
Индукция магнитного поля
B
определяется по действию поля на контур с током (рис. 6.2). За направление вектора магнитной индукции принимается направление положительной нормали
n
к плоскости контура с током, находя- щегося в равновесии в магнитном поле. Контур должен быть достаточно малых размеров, чтобы поле в его пределах можно было считать однородным.
Положительной нормалью
n
контура называется перпендикуляр, проведенный к его плоскости так, что- бы направление тока в контуре было связано с направ- лением нормали правилом правого винта.
Произведение силы тока I и площади контура S называется магнитным моментом контура p
m
. Направление вектора
m
p
связа- но с направлением тока в контуре правилом правого винта, т.е. совпадает с на- правлением положительной нормали контура (рис. 3.2). Единицей магнитного момента является ампер-квадратный метр (Ам
2
).
Если контур отклонить от положения равновесия, то на него будет дейст- вовать вращающий момент M, стремящийся вернуть контур в положение рав- новесия. Вращающий момент максимален, когда нормаль к плоскости контура
S
N
I
Рис. 6.1. Влияние про- водника с током на магнитную стрелку
I
n
p
m
B
Рис. 6.2. Контур с током в магнитном поле
Магнитное поле в вакууме
2
перпендикулярна вектору индукции. Модуль индукции магнитного поля определяют как отношение максимального вращающего момента к магнитному моменту контура:
m
p
M
IS
M
B
max max
Итак, магнитная индукция – это векторная величина, численно равная
отношению максимального механического момента, действующего на контур
с током в магнитном поле, к его магнитному моменту. Единицей магнитной индукции в СИ является тесла (Тл). 1 Тл – это магнитная индукция такого поля, в котором на контур малых размеров с магнитным моментом 1 Ам
2
действует максимальный вращающий момент 1 Нм.
Магнитное поле можно изобразить графически с помощью линий маг- нитной индукции. Линией магнитной индукции (силовой линией магнитного поля) называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с на- правлением вектора индукции
B
. Линии магнитной индукции всегда замкнуты.
6.2. Закон Био-Савара-Лапласа. Поле прямого и кругового токов
Согласно закону Био-Савара-Лапласа индукция магнитного поля
B
d , созданная элементом тока l
d , в точке A, радиус-вектор которой r
, равна
3 0
d
4
d
r
r
l
I
B
, (6.1) где
0
410
-7
Гн/м – магнитная постоянная.
Направлен вектор B
d перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы l
d и r
, причем так, что враще- ние вокруг
l
d в направлении
B
d связано с
l
d правилом правого винта (рис. 6.3).
Полную индукцию в точке A можно найти по прин- ципу суперпозиции – векторным суммированием по всем элементам тока:
B
B
d
I
dl
r
Рис. 6.3. Закон Био-
Савара-Лапласа dB
A
Магнитное поле в вакууме
3
Для модуля B
d , в соответствии с формулой (6.1), получим выражение
2 0
sin d
4
d
r
l
I
B
. (6.2)
Применим формулу (6.2) для вычисле- ния полей простейших токов. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (рис. 6.4,
а). Точка, в которой мы вычисляем магнит- ную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рис. 6.4, а видно, что
2
sin d
sin d
d
,
sin
b
r
l
b
r
Подставим эти значения в формулу (6.2):
d sin
4
sin sin sin d
4
d
0 2
2 2
0
b
I
b
Ib
B
Угол для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пре- делах от 0 до . Все B
d в данной точке имеют одинаковое направление (в на- шем случае за чертеж). Поэтому сложение векторов B
d можно заменить сложе- нием их модулей. Следовательно,
0 0
0 0
2
d sin
4
d
b
I
b
I
B
B
Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой
b
I
B
2 0
. (6.3)
Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой сис- тему концентрических окружностей, охватывающих провод (рис. 6.4, б).
Рассмотрим поле, создаваемое током, текущему по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговой ток). Найдем магнитную индукцию в центре тока (рис. 6.5). Каждый элемент тока создает в центре ин-
I
б)
Рис. 6.4. Магнитное поле прямого проводника с током: а) вычисление индукции; б) линии вектора B
I
r
rd
b
d
а)
r
dl
Магнитное поле в вакууме
4
дукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение B
d сводится к сложению их модулей. По формуле (6.2)
2 0
d
4
d
R
l
I
B
( /2). Проинтегрируем это выражение по всему кон- туру:
R
I
R
R
I
l
R
I
B
B
2 2
4
d
4
d
0 2
0 2
0
Итак, магнитная индукция в центре кругового тока равна
R
I
B
2 0
6.3. Магнитное поле движущегося заряда
Чтобы найти магнитную индукцию поля, создаваемого одним движу- щимся зарядом, преобразуем формулу (6.1), заменив силу тока произведением плотности тока на площадь сечение проводника, т.е. I jS. Векторы
j
и l
d имеют одинаковое направление. Поэтому можно написать, что
l
j
S
l
I
d d
, (6.4)
Вектор плотности тока можно представить в виде
v
n
e
j
, (6.5) где n – число носителей в единице объема,
v
– скорость упорядоченного дви- жения носителей, e – положительный заряд.
Подставим в формулу (6.1) выражение (6.4) и заменим в нем
j
согласно
(6.5):
3 0
d
4
d
r
r
v
e
n
l
S
B
. (6.6)
Произведение Sdln – это число носителей заряда, заключенных в элемен- те провода dl. Разделив (6.6) на это число получим магнитную индукцию поля, создаваемого одним зарядом, движущимся со скоростью
v
dl
I
dB
n
R
Рис. 6.5. Магнитное поле кругового тока
Магнитное поле в вакууме
5 3
0 4
r
r
v
e
B
. (6.7)
Формула (6.7) справедлива при условии, что v << c.
Вывод формулы (6.5). Пусть проводник имеет поперечное сечение пло- щадью S (рис.6.6). Заряд каждой частицы равен e. В объеме проводника, огра- ниченном сечениями 1 и 2 содержится nSdl частиц, где n – концентрация час- тиц. Их общий заряд равен dq enSdl. Если частицы движутся слева направо со средней скоростью v, то за время dt dl/v все частицы заключенные в рассматри- ваемом объеме, пройдут через сечение 2. Поэтому сила тока равна
nvS
e
t
l
nS
e
t
q
I
d d
d d
, откуда следует, что
nv
e
S
I
j
. Для положительно заряженных частиц
v
n
e
j
, т.к. направление вектора плотности тока
j
совпадает с направлением вектора скорости
v
. Таким образом, мы пришли к формуле (6.5).
6.4. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора B)
Магнитное поле создается электрическим током. Следовательно, пара- метры магнитного поля зависят от тока.
Циркуляцией вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру
l называется выражение, определяемое формулой
l
B
l
d
, где dl – малый участок контура, B
l
– проекция век- тора
B
на направление dl.
Возьмем контур, охватывающий прямой ток, и вычислим для него циркуляцию. Рассмотрим слу- чай, когда контур перпендикулярен к току (рис. 6.7). Ток перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен за чертеж. Пунктирной линией показана линия dl
j
v
S
Рис. 6.6. К выводу формулы (6.5)
1 2
I
R
B
d
Рис. 6.7. Закон полного тока dl
Магнитное поле в вакууме
6
индукции магнитного поля. В каждой точке контура вектор
B
направлен по ка- сательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим B
l
dl на Bdl
B
, где dl
B
– проекция перемещения l
d на направление
B
. Но dl
B
можно представить в виде Rd, где R – расстояние от прямого тока до l
d , d – угол, на который по- ворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок
l
d . Поэтому, учтя выражение (6.3), можно написать
d
2
d
2
d d
0 0
I
R
R
I
l
B
l
B
B
l
Таким образом, выражение для циркуляции имеет вид
d
2
d
0
I
l
B
l
При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все вре- мя поворачивается в одном направлении, поэтому
2
d
. Если ток не охва- тывается контуром, то при обходе по контуру радиальная прямая поворачива- ется сначала в одном направлении, а затем в противоположном. Поэтому
0
d
. Учитывая этот результат, можно написать
I
l
B
l
0
d
, (6.8) где I – ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, то цирку- ляция вектора
B
равна нулю. Формула (6.8) справедлива и для тока, текущего по проводнику произвольной формы. При этом контур не обязательно должен лежать в плоскости, перпендикулярной к току.
Если контур охватывает несколько токов, то циркуляция вектора
B
равна их алгебраической сумме:
I
l
B
l
0
d
. (6.9)
Формула (6.9) является математическим выражением закона полного то- ка, который читается: циркуляция вектора индукции магнитного поля по замк-
нутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим
контуром, умноженной на магнитную постоянную.
Магнитное поле в вакууме
7
Вычисляя сумму токов, положительным нужно считать такой ток, на- правление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным.
6.5. Магнитное поле соленоида и тороида
Соленоид представляет собой провод, навитый на цилиндрический кар- кас. Если длина соленоида намного больше его диаметра, то соленоид называ- ют длинным (в пределе – бесконечно длинным).
В отношении создаваемого им магнитного поля со- леноид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей осью. Витки соленоида создают поле, индукция ко- торого в каждой точке внутри соленоида направлена па- раллельно его оси.
Применим закон полного тока для расчета индукции поля бесконечно длинного соленоида (рис. 6.8).
В качестве замкнутого контура возьмем прямоугольник 1–2–3–4. По формуле (6.9) запишем:
NI
l
B
l
B
l
B
l
B
l
B
l
l
l
l
l
0 1
4 4
3 3
2 2
1
d d
d d
d
, где I – ток в витке, N – число витков, охватываемых контуром. Из четырех ин- тегралов первый и третий равны нулю, так как вектор
B
перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся. Четвертым интегралом также мож- но пренебречь, поскольку индукция магнитного поля вне соленоида очень мала.
Таким образом,
NI
Bl
l
B
l
B
l
l
0 3
2
d d
Если обозначить n N/l число витков, приходящееся на единицу длины, то индукция магнитного поля внутри соленоида
nI
B
0
. (6.10)
Полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) находится отрезок 2–3. Если этот отрезок находится
Рис. 6.8. Соленоид
2 3
1 4
l
Магнитное поле в вакууме
8
вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, откуда B 0. Таким образом, вне бесконечно длинного соленоида индукция магнитного поля равна нулю, а внутри соленоида поле однородное и имеет величину, определяемую формулой (6.10).
Тороид (кольцевая катушка с током) представляет собой соленоид, свернутый в кольцо (рис. 6.9). Пусть
R(r
1
+r
2
)/2 – радиус средней линии тороида, а r – радиус произвольного замкнутого контура, охватывающего витки тороида. Вектор
B
направлен в каждой точке по касатель- ной к контуру. В соответствии с формулой (6.9) можно написать:
I
l
B
l
B
r
l
0 2
0
d d
Сумма токов, охватываемых контуром
RnI
I
2
, тогда
RnI
rB
l
B
l
2 2
d
0
, откуда находим индукция магнитного поля внутри тороида:
r
R
nI
B
0
Если радиус средней линии тороида много больше радиуса его витка, то
R/r 1 и получается формула, совпадающая с (6.10):
nI
B
0
. (6.11)
В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений то- роида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому поле в пределах всего тороида можно считать однородным только условно, имея вви- ду модуль вектора
B
R
r
r
1
r
2
Рис. 6.9. Тороид
Глава 7. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОКИ И ЗАРЯДЫ
7.1. Сила, действующая на ток в магнитном поле. Закон Ампера
Согласно закону, установленному Ампером, на элемент тока l
d действу- ет в магнитном поле сила
B
l
I
F
d d
, (7.1) где
B
– магнитная индукция в том месте, где находится элемент l
d .
Величина силы (7.1) вычисляется по формуле
sin d
d
lB
I
F
, (7.2) где – угол между векторами l
d и
B
(рис. 7.1). Направлена сила перпендику- лярно к плоскости, в которой лежат векторы l
d и
B
Направление силы, действующей на ток, удобно определять с помощью правила левой руки. Если рас- положить левую руку так, чтобы вектор
B
«вонзался» в ладонь, а четыре сложенные вместе пальца были на- правлены вдоль тока, то отставленный в сторону большой палец покажет направление силы.
Пользуясь законом Ампера, найдем силу взаимодействия двух бесконеч- но длинных прямых токов. Если расстояние между токами b (рис. 7.2), то каж- дый элемент тока I
2
будет находиться в магнитном поле, индукция которого, в соответствии с формулой (6.3), равна
b
I
B
2 1
0 1
. Угол между элементами то- ка I
2
и вектором
1
B
равен 90
. Следова- тельно, согласно (7.2) на единицу длины тока I
2
действует сила
b
I
I
f
2 1
0 21 2
4
. (7.3)
Для силы f
12
, действующей на единицу длины тока I
1
, получается анало- гичное выражение. С помощью правила левой руки можно установить, что при
I
1
B
2
b
f
12
Рис. 7.2. Взаимодействие бесконечно длинных проводников с током
I
2
f
21
B
1
I
dl
dF
Рис. 7.1. Закон Ампера
B
Действие магнитного поля на токи и заряды 2 одинаковом направлении токов проводники притягивают друг друга, а при раз- личном – отталкивают.
На основании закона взаимодействия токов (7.3) устанавливается едини- ца силы тока в СИ – ампер. Ампер – сила тока, который, проходя по двум длин-
ным прямолинейным параллельным проводникам, расположенным на расстоя-
нии 1 м один от другого в вакууме, вызывает силу взаимодействия между
этими проводниками, равную 2
10
-7
ньютон на каждый метр длины.
7.2. Сила Лоренца
Электрический ток представляет собой совокупность упорядоченного движения заряженных частиц. Поэтому действие магнитного поля на провод- ник с током есть результат действия поля на движущиеся заряженные частицы внутри проводника.
Силу, действующую на заряженную частицу со стороны магнитного по- ля, называют силой Лоренца. Эту силу можно найти с помощью закона Ампера.
Заменив в формуле (7.1) произведение
l
I
d на
l
j
S d
, выражению закона Ам- пера можно придать вид
V
B
j
B
j
l
S
F
d d
d
, где dV – объем проводника, к которому приложена сила F
d .
Сила, действующая на единицу объема проводника, равна
B
j
V
F
F
d d
ед.об
Учитывая, что
v
n
e
j
, где e
–
положительный заряд, получим
B
v
n
e
F
ед.об
Эта сила равна сумме сил, приложенных к носителям заряда, заключен- ным в единице объема. Таких носителей n, следовательно, на один заряд дейст- вует сила
B
v
e
F
Л
. (7.4)
Сила (7.4) и есть сила Лоренца. Направлена сила Лоренца перпендику- лярно к плоскости, в которой лежат векторы
v
и
B
. Для положительного