Файл: Электрическое поле в вакууме.pdf

Постоянный электрический ток
5
У ряда металлов и сплавов при температуре несколько кельвин, сопро- тивление скачком обращается в нуль (рис. 5.3). Это явление называют сверх-
проводимостью. Сверхпроводимость была обнаружена в 1911 г. Камерлинг-
Оннесом для ртути. В дальнейшем сверхпроводимость была обнаружена у свинца, олова, цинка, алюминия и других метал- лов и сплавов. Для каждого сверхпроводника имеется своя критическая температура T
к
, при которой он переходит в сверхпроводящее со- стояние. Сверхпроводимость объясняется тем, что при низких температурах тепловая энергия электрона меньше кванта энергии, и она уже не может перейти в тепло.
5.4. Закон Ома в дифференциальной форме
Закон Ома можно написать в дифференциальной форме, т.е. для малой части проводника. Выделим в окрестности данной точки внутри проводника элементарный цилиндри- ческий объем с образующими параллельными векто- ру плотности тока
j

в данной точке. Через попереч- ное сечение цилиндра течет ток силой jdS. Напряже- ние, приложенное к цилиндру, равно Edl, где E – напряженность поля в данном месте. Сопротивление цилиндра равно
S
l
R
d d


. Подставим эти значения в формулу закона Ома, тогда
l
E
l
S
S
j
d d
d d



Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора
E

. По- этому, направления векторов
E

и
j

совпадают. Следовательно,
E
E
j







1
, (5.3)
0
T
к
T

Рис. 5.3. Зависимость удельного сопротивления металлического проводника от температуры dl
J
E
dS
Рис. 5.4. Элементарный цилиндрический объем

Постоянный электрический ток
6
где



1
– удельная проводимость.
Формула (5.3) выражает закон Ома в дифференциальной форме.
5.5. Закон Джоуля – Ленца. Работа и мощность тока
При прохождении по проводнику тока проводник нагревается. Джоуль и независимо от него Ленц обнаружили экспериментально, что количество выде- ляющегося в проводнике тепла Q пропорционально квадрату силы тока I, его сопротивлению R и времени t:
Rt
I
Q
2

. (5.4)
Если сила тока изменяется во времени, то


t
t
R
i
Q
0 2
d
. (5.5)
Закон Джоуля – Ленца имеет следующее объяснение. Рассмотрим про- водник, к которому приложено напряжение U. За время dt из одного конца про- водника в другой конец переносится заряд dq  idt. При этом силы поля совер- шают работу dA  Udq  Uidt. Но U  iR (в соответствии с законом Ома), следо- вательно,
t
R
i
t
iU
A
d d
d
2


, (5.6) откуда следует, что


t
t
R
i
A
0 2
d
. (5.7)
Выражение (5.7) совпадает с формулой закона Джоуля – Ленца. Таким образом, нагревание проводника происходит за счет работы, совершаемой си- лами электрического поля над носителями заряда.
Работа тока, изменяющегося со временем, определяется по формуле (5.7).
Для постоянного тока работа равна:
IUt
Rt
I
A


2
Единица работы электрического тока – джоуль (Дж).
Работа, совершаемая источником ЭДС, равна

Постоянный электрический ток
7
It
A


Мощность P постоянного тока – это физическая величина, равная отно- шению работы, совершаемой током за время dt, к этому интервалу времени:
t
A
P
d d

. (5.8)
Подставив формулу (5.6) в (5.8) и заменив i на I, получим
R
U
R
I
IU
P
2 2



На практике для измерения работы и энергии электрического тока часто используют единицу - киловаттчас (кВтчас); 1 кВтчас = 3,610 6
Дж.
5.6. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме
Формулы (5.4) и (5.5) позволяют определить количество тепла, выде- ляющееся во всем проводнике.
Получим выражение, характеризующее выделение тепла в различных местах проводника. Рассмотрим элементарный объем внутри проводника
(рис. 5.4). Согласно закону Джоуля – Ленца за время dt в этом объеме выделит- ся тепло
t
V
j
t
S
j
S
l
t
Ri
Q
d d
d
)
d
(
d d
d d
2 2
2






, где
l
S
V
d d
d

– величина элементарного объема.
Количество тепла dQ, отнесенное к единице времени и единице объема называ- ется удельной тепловой мощностью тока w. С учетом этого определения полу- чаем
2
j
w


. (5.9)
Воспользовавшись соотношением (5.3), формуле (5.9) можно придать вид
jE
w 
. (5.10)
Формулы (5.9) и (5.10) выражают закон Джоуля – Ленца в дифференци- альном виде. Чтобы, исходя из них, найти количество тепла, выделяющееся во всем проводнике за время t, нужно произвести интегрирование выражения


t
V
w
Q
d d

Постоянный электрический ток
8
5.7. Закон Ома для неоднородного участка цепи
Ранее мы получили формулу для напряжения на участке цепи 1–2 (5.1).
В соответствии с законом Ома для однородного участка цепи U
12
 IR, следова- тельно
12 2
1






IR
, (5.11) то есть произведение силы тока на сопротивление равно сумме разности по-
тенциалов и ЭДС, действующей на данном участке цепи. Это утверждение вы- ражает закон Ома для неоднородного участка цепи.
Формула (5.11) может быть записана в виде
R
I
12 2
1
)
(






. (5.12)
На рис. 5.5 показан неоднородный участок цепи. Ус- ловимся считать ток положительным, если он течет в направлении, показанном стрелкой. ЭДС будем счи- тать положительной, если ток внутри источника течет от отрицательного полюса источника к положительному полюсу. На рис. 5.5 ЭДС имеет отрицательный знак. Пусть 
1
 20 В; 
2
 15 В; 
12
 10 В;
R  5 Ом. Подставим заданные значения в формулу (5.12):
А
1 5
10 15 20





I
Для тока получилось отрицательное значение. Это означает, что ток течет в направлении 2–1. Из формулы (5.12) следует закон Ома для однородного участка цепи и закон Ома для замкнутой цепи.
Для однородного участка цепи 
12
 0,
R
U
R
I





2 1
Для замкнутой (полной) цепи
0 2
1




,
R
I
12


,

1

2

12 1
2
R
Рис. 5.5
-
+
(I >0)

Постоянный электрический ток
9
где н
0
R
r
R


– суммарное сопротивление цепи (r
0
– внутреннее сопротивление источника, R
н
– сопротивление нагрузки).
5.8. Правила Кирхгофа
С помощью правил Кирхгофа можно рассчитывать сложные разветвлен- ные цепи.
Первое правило Кирхгофа относится к узлу цепи. Узлом цепи называется точка, в которой сходится более двух проводников (рис. 5.6).
Первое правило Кирхгофа формулируется следующим образом: алгеб-
раическая сумма токов, сходящихся в узле цепи, равна нулю.
Это правило является следствием того, что при протекании тока по про- воднику, в проводнике не накапливается электрический заряд, проводник оста- ется электрически нейтральным.
Формула, выражающая первое правило Кирхгофа, записывается следую- щим образом:

 0
k
I
Чтобы применить первое правило Кирхгофа, нужно задать произвольно направления токов, текущих к данно- му узлу и от узла. Ток, текущий к узлу, считается поло- жительным, а ток, текущий от узла – отрицательным.
Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на
элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:




k
k
k
R
I
Контуром называется замкнутый фрагмент цепи. Чтобы написать урав- нение по второму правилу Кирхгофа, нужно задать произвольно направление обхода контура и учесть направления токов, текущих в ветвях контура к узлам
(направления токов мы задаем при составлении уравнения по первому правилу
Кирхгофа). Если направление обхода контура совпадает с направлением тока, то падение напряжения IR берут со знаком плюс, в противном случае падение напряжения имеет отрицательный знак. ЭДС имеет положительный знак, если
I
1
I
3
I
2
Рис. 5.6 Узел цепи

Постоянный электрический ток
10
она действует по направлению обхода контура и отрицательный знак в противном случае.
Напишем уравнения в соответствии с прави- лами Кирхгофа, для электрической цепи, показан- ной на рис. 5.7. Цепь содержит два узла B и E и три контура: ABED, BCFE, ACFD. ЭДС источников и сопротивления ветвей заданы. Требуется рассчитать токи I
1
, I
2
, I
3
, текущие в ветвях цепи.































3 2
1 3
2 3
3 2
2 2
1 2
2 1
1 3
2 1
0
I
I
I
R
I
R
I
R
I
R
I
I
I
I
. (5.13)
Решив систему уравнений (5.13), например, методом определителей, най- дем значения токов, текущих в ветвях цепи. Если ток имеет отрицательное зна- чение, то это означает, что в действительности ток будет течь противополож- ном направлении.
5.9. Распределение мощности в цепи постоянного тока
Электрическая цепь состоит, как правило, из источника ЭДС, соедини- тельных проводов и потребителя тока (нагрузки).
Рассмотрим, как распределяется мощность тока между элементами цепи. Если пренебречь сопротив- лением соединительных проводов, то закон Ома для замкнутой цепи, показанной на рис. 5.7, можно запи- сать в виде:
R
r
I



, где r – внутреннее сопротивление источника, R – сопротивление нагрузки.
Напряжение на нагрузке равно
R
r
R
IR
U





1
Рис. 5.7. Схема цепи
R
1
+
-

2
R
2
+
-
-
+

3
R
3
A
B
C
D
E
F
I
1
I
2
I
3

r
Рис. 5.7. Замкнутая электрическая цепь
R

Постоянный электрический ток
11
Поскольку работа, совершаемая над переносимым вдоль цепи зарядом dq, равна dA   dq, то мощность P, развиваемая источником ЭДС равна
I
t
q
t
A
P





d d
d d
Подставив в эту формулу значение
R
r
I



, получим полную мощность, выделяемую во всей цепи
R
r
P



2
. (5.14)
В нагрузке выделяется только часть этой мощности P
н
:
R
R
r
R
I
IU
P
2 2
2
н
)
( 




, (5.15) которая называется полезной мощностью.
Отношение полезной мощности P
н к полной мощности P определяет ко- эффициент полезного действия (КПД)  цепи:
R
r
R
P
P




н
. (5.16)
Из формулы (5.16) следует, что КПД будет тем больше, чем больше со- противление нагрузки R по сравнению с сопротивлением источника r. Поэтому внутреннее сопротивление источника стремятся делать как можно меньше.
Мощность, развиваемая данным источником ЭДС, зависит от сопротив- ления нагрузки R. Она максимальна в режиме короткого замыкания цепи (R0), но в этом случае вся мощность выделяется в самом источнике и оказывается бесполезной. С ростом сопротивления нагрузки R полная мощность убывает, стремится к нулю при


R
. Режим цепи, при котором


R
, называется
режимом холостого хода.
Найдем соотношение между R и r, при котором полезная мощность бу- дет наибольшей. Для этого найдем производную
R
P
н
d d
и приравняем ее к нулю:
3 2
)
(
d d
R
r
R
r
R
P
н




,

Постоянный электрический ток
12
r
R
R
r
R
r






0
)
(
3 2
Следовательно, чтобы отобрать от источника ЭДС наибольшую полез- ную мощность, нужно взять сопротивление нагрузки R равное внутреннему со- противлению источника r. Режим работы электрической цепи, при котором
сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, назы-
вают режимом согласования источника и нагрузки. Согласно формуле (1.9)
КПД в режиме согласования источника и нагрузки составляет 0,5. На рис.5.8 приведены графики зависимости функций (5.14), (5.15) и (5.16) от отношения сопротивлений R/r.
1 2 3 4 5 0
R/r
P
1 2 3 4 5 0
R/r

0,5 1
1 2 3 4 5 0
R/r
P
н
Рис. 5.8 Зависимости полной мощности (а), полезной мощности (б) и КПД цепи (в) от отношения сопротивлений нагрузки R и внутреннего сопротивления r источника
а)
б)
в)