Файл: Mikro_ch6.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.04.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
20 + 5р .
1 + р

118

Часть VI.

 

 

Отсюда следует, что суммарный со стороны индивидов A и В на благо Y:

5 +

Поскольку изначальное наделение благом Y индивида А составляло 5 единиц, а индивида В — 10 единиц, то легко заключить, что суммарное предложение блага Y равно 15

единиц. Отсюда:

5 + 201 ++ 5рр = 15.

Решение этого уравнения дает нам равновесную цену p* = 2. При данной равновесной цене спрос индивида B на благо Y = 10. Следовательно, равновесное размещение благ между индивидами: XA = 10, YA = 5; XB = 10, YB = 10.

Решение задачи № 4

4.1. Определим спрос на Q1 и Q2 и выразим его через I. Для этого составляем функцию Лагранжа:

V = Q10.5Q20.5 + λ(I − PQ1 1 − PQ2 2).

Максимизируем полезность, для чего находим условия первого порядка:

 

 

∂V

= 0.5Q−0.5Q0.5

− λP = 0;

(i)

 

 

 

 

 

 

∂Q1

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

∂V

 

= 0.5Q0.5Q−0.5

− λP = 0;

(ii)

 

 

∂Q2

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

∂V

 

= I – P Q – P Q = 0.

(iii)

 

 

∂λ

 

 

1

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

Умножаем обе части уравнения (i) на Q1 и упрощаем выражение:

0.5Q10.5Q20.5 – λP1Q1 = 0;

0.5U – λP1Q1 = 0;

Q1 = αU . (i′)

λP1

Аналогично умножаем обе части (ii) на Q2 и упрощаем выражение. Получаем:

Общее равновесие и общественное благосостояние.

119

 

 

 

Q =

 

0.5U

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

λP

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Теперь подставляем (i′) и (ii′′) в (iii):

I −

0.5PU

−

0.5PU

= 0;

1

 

2

λP

 

λP

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

λI = 0.5U + 0.5U = U;

 

λ =

 

U

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

(ii′′)

(iii′)

И наконец, подставляем (iii′) назад в (i′) и (ii′′), что дает нам функции спроса на товары, выраженные через I:

Q =

0.5U

 

 

I

=

 

0.5I

=

 

0.5(PLL1 + PKK1)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

P1

 

 

U

 

 

 

P1

 

 

P1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q =

0.5U

 

 

I

 

=

0.5I

 

=

0.5(PLL2 + PKK2)

.

 

 

 

 

 

 

2

 

P2

 

 

U

 

 

 

P2

 

 

P2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь определим функции предложения товаров. В

случае Q1 необходимо вывести функцию общих затрат из производственной функции. Для этого надо решить задачу на минимизацию этих затрат:

Z = PKK1 + PLL + λ(Q1 − K10.5L01.5).

Получаем следующие условия первого порядка:

 

∂Z

=P − 0.5λ K−0.5L0.5

 

 

 

∂K1

 

K

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Z

=

P − 0.5λ K0.5L−0.5

 

∂L1

 

 

L

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Z = Q − K0.5L0.5

= 0.

 

∂λ

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделив (v) на (vi), получаем:

 

 

 

 

 

PK

=

L1

,

 

 

 

 

 

P

K

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

L

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PKK1 = PLL1,

или

 

K = PLL1 .

1

PK

 

=0;

=0;

(v)

(vi)

(vii)

120 Часть VI.

Следовательно С1 = PKK1 + PLL1 = 2PLL1.

Теперь осталось только избавиться от L1 в данном выра-

жении. Для этого подставляем полученное выше выражение

для K в Q = K0.5L0.5 :

 

P

0,5

 

1

1

1 1

 

 

 

Q1

=

 

L

 

 

L1.

 

 

 

 

 

Откуда

 

 

PK

 

 

 

 

 

P

−0.5

 

 

 

 

 

 

L = Q

 

 

L

 

.

 

 

P

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

Подставляем выражение для L1

в функцию общих затрат C1:

 

 

C = 2P0.5P0.5Q .

 

 

1

 

K

L

1

Отсюда функция предложения Q1:

 

 

P = MC = 2P0.5P0.5.

 

 

1

1

 

 

 

 

K

L

При совершенной конкуренции P1 = MC1, а функция

предельных издержек есть функция предложения Q1. Определим функцию предложения Q2. Так как в произ-

водстве в секторе 2 отсутствует капитал, то ее нахождение значительно упрощается.

 

 

 

3

 

 

Z = PLL2

+ λ Q2

−

 

L2

.

2

 

 

 

 

 

При совершенной конкуренции на рынке труда:

 

 

 

∂Z

 

= P −

3

λ = 0;

 

 

 

 

∂L

 

 

 

 

 

 

 

L

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Z

= Q −

3

L = 0.

 

 

 

∂λ

2

 

Отсюда:

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

L = Q L =

2

Q .

2

3

2

2

 

 

2

 

2

Теперь для нахождения функции предложения Q2 надо составить функцию общих затрат C2.

C2 = PLL2 = PL 23 Q2.

Тогда функция предложения Q2:

P2 = MC = 23 PL.

Общее равновесие и общественное благосостояние.

121

 

 

Осталось определить спрос на факторы. Для этого применяем лемму Шепарда (см. подсказку к вопросу 4.1):

L =

∂С1

 

= P0.5P−0.5Q ;

1

∂P

 

 

K

 

L

1

 

 

L

 

 

 

 

 

 

K =

 

∂C1

= P−0.5P0.5Q ;

 

∂P

 

1

 

 

 

K

 

L

1

 

 

K

 

 

 

 

 

L =

∂C2

=

2

Q .

 

∂P

 

 

 

2

 

3 2

 

L

Теперь внесем полученные результаты в таблицу VI.1.

Таблица VI.1

Двухсекторная конкурентная экономика

4.2. Примем цену PK

= 1.

 

В секторе товара 1 подставим в уравнение (1) выражение

для P1 из уравнения (2):

 

 

Q =

0.5(PLL + PKK)

.

 

1

 

2P0.5P0.5

 

 

K L

122

Часть VI.

 

 

Затем приравняем спрос и предложение на рынке капитала — правые части уравнений (5) и (6), — а затем подставим полученное выше выражение для Q1:

100 = PK−0.5PL0.5Q1;

100 =

0.5(PLL + PKK)

.

 

 

 

 

 

Отсюда получаем:

 

 

 

 

 

 

2PK

 

 

 

 

0.5(100PL

+100)

 

 

100 =

 

;

 

 

PL

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3.

 

 

 

 

Из уравнений (2) и (1) находим:

 

P1 = 2

 

3 ≈ 3.46;

 

Q =

100

 

≈ 57.74.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Теперь легко находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2 = 2;

 

 

 

Q2 = 100.

 

4.3. Убедимся, что найденные значения равновесных цен

товаров и факторов обеспечивают нам равновесие и на рынке труда. Иначе говоря, проверим действие закона Вальраса.

Приравняем спрос на труд к предложению труда: 10.5 ∙ (3-0.5) ∙ 57.74 + 2 (100) = 33.333 + 66.667 = 100.

4.4. Из (4.3) следует,3что в производстве Q1 задействована 1/3 общего количества располагаемого труда, в производстве

Q2 – 2/3.

Доход труда PLL = 3 ∙ 100 = 300.

Доход капитала PKK = 1 ∙ 100 = 100.

Решение задачи № 5

Представим исходную комбинацию благ индивида 1 через избыточный спрос X1 = Ex1 + 78 и Y1 = Ey1. Введем избыточный спрос в функцию полезности индивида и максимизируем ее при наличии бюджетного ограничения (PxEx1 + Py Ey1).

V1 = (Ex1 + 78) Ey1 + 2(Ex1 + 78) + 5Ey1 − λ(PxE x1 + Py Ey1).

Приравняем нулю частные производные по V1:

Смотрите также файлы