Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 3. 

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

56 

3.1.3. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ  ЗВЕНО 

Интегрирующим называется звено, поведение которого описывает 

уравнение 

0

( )

(0).

t

y

k u

d

y

(3.10) 

Примером  интегрирующего  звена  является  операционный  усили-

тель в режиме интегрирования. 

Основной  динамической  характеристикой  звена  является  его  диф-

ференциальное уравнение 

,

y

ku



(3.11) 

на основе которого можно получить передаточную функцию 

( )

.

y

k

W p

u

p

(3.12) 

Характеристическое уравнение 

( )

0

A p

p

имеет единственный корень (полюс), 

0

p

, который представляет со-

бой модальную характеристику интегрирующего звена. 

Переходная характеристика звена имеет вид линейно возрастающей 

функции 

0

( )

1( )

t

h t

k

d

kt 1(t), 

(3.13) 

а импульсная переходная функция – ступенчатой функции 

0

( )

( )

1( ).

t

g t

k

d

k t  

(3.14) 

3.1

. Типовые  динамические  звенья

57 

Выражение  для  амплитудно-фазовой  час-

тотной  характеристики  (рис.  3.7)  получим, 
заменив в (3.12)  p на  j : 

(

)

.

k

k

W j

j

j

Таким образом, АФХ интегрирующего звена 
имеет  вид  прямой,  совпадающей  с  отрица-
тельной  мнимой  полуосью  комплексной 
плоскости. 

Вещественная  частотная  характеристика  отсутствует, 

( )

0

R

. 

Выражение для мнимой частотной характеристики имеет вид 

( )

k

I

, 

а для амплитудной частотной характеристики 

( )

k

A

. 

При  этом  фазовая  частотная  характеристика  соответствует  соотно-
шению 

( )

( )

arctg

90 ,

( )

I

R

(3.15) 

т.  е.  звено  имеет  постоянный  фазовый  сдвиг,  который  не  зависит  от 
частоты. 

Запишем  выражение  для  логарифмической  амплитудно-частотной 

характеристики: 

( )

20lg

20lg

20lg

k

L

k

(3.16) 

и изобразим ее график (рис. 3.8).  

(

)

W j

Im

Re

(

)

W j

Re

Im 

Re 

(

)

W j

Рис.  3.7.  Амплитудно-

фазовая характеристика  

интегрирующего звена 

Глава 3. 

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

58 

20lg k

L, дБ

lg 

дек

20lg k

-20 дБ/дек

lg

ω, дек. 

– 20 дБ/дек. 

L, дБ 

20

lg

k 

Рис. 3.8. Логарифмическая амплитудная  

частотная  характеристика  интегрирую- 

щего звена 

 
Как видим, логарифмическая амплитудно-частотная характеристика 

интегратора представляет собой прямую с наклоном – 20 дБ/дек. и пе-
ресекает ось ординат в точке 20 lg k. Она показывает, что звено усили-
вает низкочастотные сигналы и ослабляет высокочастотные. 

3.1.4. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ  ЗВЕНО 

Апериодическим  называется  звено,  дифференциальное  уравнение 

которого имеет вид 

0

.

y

a y

bu



(3.17) 

Различного типа двигатели

могут быть примерами такого звена. 

Дифференциальное  уравнение  апериодического  звена  принято  за-

писывать в стандартном виде: 

Ty

y

ku



, 

  (3.18) 

где 

0

1

T

a  – постоянная времени; 

0

k

b a  – коэффициент усиления 

звена. 

Заменив в (3.18)  d dt  на p, перейдем к символической записи диф-

ференциального уравнения 

(

1)

Tp

y

ku

 (3.19) 

и найдем передаточную функцию апериодического звена: 

( )

.

1

y

k

W p

u

Tp

(3.20) 

3.1. Типовые  динамические  звенья

59 

Для определения модальных характеристик по передаточной функ-

ции (3.20) запишем характеристическое уравнение  

( )

1 0.

A p

Tp

(3.21) 

Оно имеет единственный корень (полюс), 

1 .

p

T  

Переходную  характеристику  звена  (рис.  3.9)  можно  найти  как  ре-

шение уравнения (3.18) при 

1( )

u

t  и  (0)

0

y

: 

( )

(1

)1( ).

t T

h t

k

e

t  

(3.22) 

h

k

t

Рис. 3.9. Переходная характеристика 

Импульсную  переходную  функцию  (рис.  3.10)  вычислим  по  соот-

ношению 

( )

( )

1( ).

t T

k

g t

h t

e

t

T



(3.23) 

Выражение,  соответствующее  амплитудно-фазовой  характеристике 

апериодического звена, имеет вид 

2

2

2

2

2

2

(1

)

(

)

.

1

1

1

1

k

Tj

k

k

T k

W j

j

Tj

T

T

T

(3.24) 

По выражению 

2

2

( )

1

k

R

T

(3.25) 

можно  построить  его  вещественную  частотную  характеристику  

(рис. 3.11). 
 

Глава 3. 

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

60 

k T

g

t

k T

g 

t 

t/T 

Рис. 3.10. Импульсная пере-

ходная функция 

R

k

Рис.  3.11.  Вещественная 

частотная характеристика 

апериодического звена 

R 

k 

Мнимая частотная характеристика (рис. 3.12) апериодического зве-

на соответствует уравнению 

2

2

( )

1

T k

I

T

.  

   (3.26) 

c

I

c

ω

0 

ω

I

Рис. 3.12. Мнимая частотная харак- 

теристика апериодического звена 

Амплитудно-частотную  характеристику  (рис.  3.13)  описывает  вы-

ражение 

2

2

2

2

( )

( )

( )

1

k

A

R

I

T

. 

(3.27) 

Фазовая частотная характеристика звена определяется соотношением 

( )

( )

arctg

arctg(

).

( )

I

T

R

(3.28) 

Она представляет собой кривую (рис. 3.14) с пределом  ( )

2 .